Samenvatting Trillingen en golven
OPO: Trillingen en golven ZA0145 (College ZA5214, Oefensessie ZA5215 (3 SP))
Docent: Greet Langie, Luc Vanwesemael
Gebaseerd op: lessen AJ25-26 SEM2, PPT’s, handboek (Giancoli)
© Viktor Raeymaekers –
Deel 1: Trillingen
Les 1: Inleiding
• Trilling: een periodieke beweging rondom een evenwichtstoestand (op en
neer)
o Dit kan als een sinus gaan, maar BVB ook ‘gehoekt’ of als blokken
• Harmonische beweging: een categorie binnen de trillingen met een
sinusoïdale of cosinusoïdale beweging
• Terugroepkracht: als een massa een trilling aan een veer uitoefent, dan is de
terugroepkracht de kracht die de veer uitoefent op de massa
o De kracht is lineair (!(#) = −'. #)
o Steeds tegengesteld aan uitwijking (positief bij indrukking, negatief bij
trek)
o Ieder trillend systeem waarbij de terugroepkracht (of terugdrijvende
!!"
kracht) recht evenredig is met de negatieve uitwijking (). !# ! = −'#)
voert een harmonische beweging uit
• Tegenfase: Als de ene trilling op het minimum is terwijl de andere trilling op
het maximum is, dan zijn de twee trillingen in tegenfase (faseverschil *)
o Ter info: + is 90° graden in fase en , 180° (tegenfase)
Les 1: Voorschrift van een trilling
• -(.) = /. 012(3. + 5)
• #: positie [m]
• 9: tijd [s]
• ;: amplitude [m]: de (positieve) afstand van evenwicht tot top (of dal)
• <: frequentie [s $% ] of [Hz]
%
o <=&
'()
• ?: hoeksnelheid @ *
A (soms ook cirkelfrequentie)
1
, Samenvatting Trillingen en golven
+,
o ?= = 2*<
&
• C = D: periode [s]: de tijd van de ene top naar de volgende top
• E: golflengte [)]: afstand van de ene top naar de volgende top
o Let op: dit wordt niet gebruikt bij trillingen
• F: beginfase [rad]
• Het stuk ?9 + F [rad] noemt de fase
Les 1: Afleidingen van formules
-.
• 3= (& 3 = JKL)
/
o Methode: als de fase met 2* vermeerdert, dat blijft # constant
o ?9+ + F = ?9% + F + 2*
+,
o 9+ − 9% = 0
=C
• M123 = /. 3
o Methode: voorschrift afleiden naar 9 en maximaal maken (NOP = 1)
(maxS# 4 (9)T)
• U123 = /. 3-
o Methode: voorschrift dubbel afleiden en maximaal maken (PVW = 1)
(maxS# 4 ′(9)T)
o De #(9) en de ,(9) trilling van een trilling zijn steeds in tegenfase
5
• Bij een veer: 3 = Y
1
o Methode: 2e wet van Newton
o #(9) = ;. sin(?9 + F)
o ,(9) = # 44 (9) = −?+ . (;. sin(?9 + F))
o ,(9) = −#. ?+
o ! = ). , = −'. #
o ). (−#. ?+ ) = −'. #
9.; !
• \678 = +
9.0 ! ." !
• \<=# = +
6." !
o Methode 1: in de formule (\<=# = ) ' = ). ?+ invullen à \<=# =
+
9.0 ! ." !
+
o Methode 2: de energie in de veer letterlijk berekenen: \<=# = ∫ −!. E# =
∫ '#. E#
6.>!
• \#=# =
+
o Methode 1: \678 en \<=# optellen, eerst bewijzen dat het constant is,
daarna waarde berekenen (in een maximum van \<=# of \678 )
2
, Samenvatting Trillingen en golven
§ Door afleiding weten we dat , = −#. ?+ en dus , + #. ?+ = 0
! 9.; ! ?9.0 ! ." !
§ \678 + \<=# afleiden naar 9: !# _ ` = ). +. , +
+
). ?+ . #. + = ). +. (, + #. ?+ ) = 0
§ De afgeleide is dus steeds 0, dus is \#=# constant
9.; ! ?9.0 ! ." ! 9.@! ?9.0 ! .>! 6.>!
§ Zoek de waarde: +
= +
= +
o Methode 2: behoud van energie
Les 2: Slinger
• Een slinger is ook een harmonische beweging omdat de
tangentiële component van !A de terugroepkracht is
• Bepalen voorschrift:
B
o Start van !# = −)a. sin(b), je krijgt b 44 + C . b = 0 (zie
afbeelding), deze DV kan je uitrekenen
E
o Je krijgt c(.) = cD . 012(3. + 5) met 3 = Y (zie verder
F
voor bewijs)
o De frequentie (bij kleine hoeken (< 30°)) is dus
onafhankelijk van de massa of amplitude
• Ogenblikkelijke snelheid en versnelling van slinger
o # = d. b = d. b@ . sin(?9 + F)
o + = d. b 4 = d. b@ . ?. cos(?9 + F)
o ,# = d. b 44 = −d. ?+ . b@ . sin(?9 + F) = −d. ?+ . b
;!
§ Opm.: er is ook een versnelling naar het middelpunt: ,8 = C
, de
totale versnelling bereken je met Pythagoras
B
• ? = Y C , bewijs:
6
o ? = Y9 (zie Les 1)
".$
6 B
o Y9 = Y %
= YC
9
9.B.C.G&!
• \#=# = , bewijs:
+
9.C ! .G '! 9.B.C.G ! G!
o \678 = , \<=# = ). a. d. (1 − cos(b)) ≈ (cos(b) ≈ 1 − )
+ + +
9.C ! .G '! ?9.B.C.G !
o \#=# =
+
!H()(
o = ). d. b . d. b 44 + ). a. d. b. b′
4
!#
B B
o = ). d + . b 4 . _b 44 + C . b` = 0 (want b 44 + C . b = 0, zie bewijs hierboven)
9.C ! .@! 9.B.C.G&! 9.B.C.G&!
o In het uiterste punt (b = b@ , b 4 = 0): \#=# = + =
+ + +
3
OPO: Trillingen en golven ZA0145 (College ZA5214, Oefensessie ZA5215 (3 SP))
Docent: Greet Langie, Luc Vanwesemael
Gebaseerd op: lessen AJ25-26 SEM2, PPT’s, handboek (Giancoli)
© Viktor Raeymaekers –
Deel 1: Trillingen
Les 1: Inleiding
• Trilling: een periodieke beweging rondom een evenwichtstoestand (op en
neer)
o Dit kan als een sinus gaan, maar BVB ook ‘gehoekt’ of als blokken
• Harmonische beweging: een categorie binnen de trillingen met een
sinusoïdale of cosinusoïdale beweging
• Terugroepkracht: als een massa een trilling aan een veer uitoefent, dan is de
terugroepkracht de kracht die de veer uitoefent op de massa
o De kracht is lineair (!(#) = −'. #)
o Steeds tegengesteld aan uitwijking (positief bij indrukking, negatief bij
trek)
o Ieder trillend systeem waarbij de terugroepkracht (of terugdrijvende
!!"
kracht) recht evenredig is met de negatieve uitwijking (). !# ! = −'#)
voert een harmonische beweging uit
• Tegenfase: Als de ene trilling op het minimum is terwijl de andere trilling op
het maximum is, dan zijn de twee trillingen in tegenfase (faseverschil *)
o Ter info: + is 90° graden in fase en , 180° (tegenfase)
Les 1: Voorschrift van een trilling
• -(.) = /. 012(3. + 5)
• #: positie [m]
• 9: tijd [s]
• ;: amplitude [m]: de (positieve) afstand van evenwicht tot top (of dal)
• <: frequentie [s $% ] of [Hz]
%
o <=&
'()
• ?: hoeksnelheid @ *
A (soms ook cirkelfrequentie)
1
, Samenvatting Trillingen en golven
+,
o ?= = 2*<
&
• C = D: periode [s]: de tijd van de ene top naar de volgende top
• E: golflengte [)]: afstand van de ene top naar de volgende top
o Let op: dit wordt niet gebruikt bij trillingen
• F: beginfase [rad]
• Het stuk ?9 + F [rad] noemt de fase
Les 1: Afleidingen van formules
-.
• 3= (& 3 = JKL)
/
o Methode: als de fase met 2* vermeerdert, dat blijft # constant
o ?9+ + F = ?9% + F + 2*
+,
o 9+ − 9% = 0
=C
• M123 = /. 3
o Methode: voorschrift afleiden naar 9 en maximaal maken (NOP = 1)
(maxS# 4 (9)T)
• U123 = /. 3-
o Methode: voorschrift dubbel afleiden en maximaal maken (PVW = 1)
(maxS# 4 ′(9)T)
o De #(9) en de ,(9) trilling van een trilling zijn steeds in tegenfase
5
• Bij een veer: 3 = Y
1
o Methode: 2e wet van Newton
o #(9) = ;. sin(?9 + F)
o ,(9) = # 44 (9) = −?+ . (;. sin(?9 + F))
o ,(9) = −#. ?+
o ! = ). , = −'. #
o ). (−#. ?+ ) = −'. #
9.; !
• \678 = +
9.0 ! ." !
• \<=# = +
6." !
o Methode 1: in de formule (\<=# = ) ' = ). ?+ invullen à \<=# =
+
9.0 ! ." !
+
o Methode 2: de energie in de veer letterlijk berekenen: \<=# = ∫ −!. E# =
∫ '#. E#
6.>!
• \#=# =
+
o Methode 1: \678 en \<=# optellen, eerst bewijzen dat het constant is,
daarna waarde berekenen (in een maximum van \<=# of \678 )
2
, Samenvatting Trillingen en golven
§ Door afleiding weten we dat , = −#. ?+ en dus , + #. ?+ = 0
! 9.; ! ?9.0 ! ." !
§ \678 + \<=# afleiden naar 9: !# _ ` = ). +. , +
+
). ?+ . #. + = ). +. (, + #. ?+ ) = 0
§ De afgeleide is dus steeds 0, dus is \#=# constant
9.; ! ?9.0 ! ." ! 9.@! ?9.0 ! .>! 6.>!
§ Zoek de waarde: +
= +
= +
o Methode 2: behoud van energie
Les 2: Slinger
• Een slinger is ook een harmonische beweging omdat de
tangentiële component van !A de terugroepkracht is
• Bepalen voorschrift:
B
o Start van !# = −)a. sin(b), je krijgt b 44 + C . b = 0 (zie
afbeelding), deze DV kan je uitrekenen
E
o Je krijgt c(.) = cD . 012(3. + 5) met 3 = Y (zie verder
F
voor bewijs)
o De frequentie (bij kleine hoeken (< 30°)) is dus
onafhankelijk van de massa of amplitude
• Ogenblikkelijke snelheid en versnelling van slinger
o # = d. b = d. b@ . sin(?9 + F)
o + = d. b 4 = d. b@ . ?. cos(?9 + F)
o ,# = d. b 44 = −d. ?+ . b@ . sin(?9 + F) = −d. ?+ . b
;!
§ Opm.: er is ook een versnelling naar het middelpunt: ,8 = C
, de
totale versnelling bereken je met Pythagoras
B
• ? = Y C , bewijs:
6
o ? = Y9 (zie Les 1)
".$
6 B
o Y9 = Y %
= YC
9
9.B.C.G&!
• \#=# = , bewijs:
+
9.C ! .G '! 9.B.C.G ! G!
o \678 = , \<=# = ). a. d. (1 − cos(b)) ≈ (cos(b) ≈ 1 − )
+ + +
9.C ! .G '! ?9.B.C.G !
o \#=# =
+
!H()(
o = ). d. b . d. b 44 + ). a. d. b. b′
4
!#
B B
o = ). d + . b 4 . _b 44 + C . b` = 0 (want b 44 + C . b = 0, zie bewijs hierboven)
9.C ! .@! 9.B.C.G&! 9.B.C.G&!
o In het uiterste punt (b = b@ , b 4 = 0): \#=# = + =
+ + +
3
