Samenvatting Wiskundige modellen
OPO: Wiskundige modellen ZA0143 (College ZA5210, Oefensessie ZA5211 (3 SP))
Docent: Mariya Ishteva, Joppe De Jonghe
Gebaseerd op: lessen AJ25-26 SEM2, PPT’s, cursus, lesopnames
© Viktor Raeymaekers –
Differentialen
Hoofdstuk 1: Multivariate
differentiaalrekening
• Scalaire functie: een functie die één waarde teruggeeft als beeld
o Univariate (scalaire) functie: een functie met één veranderlijke die het
beeld bepaald (BVB !(#), ℝ ⟼ ℝ)
o Bivariate (scalaire) functie: een functie met twee veranderlijken die het
beeld bepalen (BVB !(#; (), ℝ! ⟼ ℝ)
o Multivariate (scalaire) functie: meerdere veranderlijken die het beeld
bepalen (BVB )(*; +; ,), ℝ" ⟼ ℝ)
• (zie Hoofdstuk 4) Vectoriële functie (ℝ" ⟼ ℝ# )
• Onafhankelijke veranderlijken: input, de x-waarde(n) van een functie, kunnen
er meerdere zijn
• Afhankelijke veranderlijke: output, de y-waarde van een functie, kan er maar
één zijn (uitgezonderd vectoriële functies), de waarde is afhankelijk van de x-
waarde(n)
• Expliciet functievoorschrift: van de vorm ( = ⋯
• Impliciet functievoorschrift: alle andere vormen BVB # ! + ( ! = 1
• Differentiaalrekening: alles met de helling van een functie, de afgeleide
• We gaan in dit hoofdstuk dus de helling van functies met meerdere
veranderlijken bekijken
(1.1.1) !(#) uitbreiden naar !(#; &)
• Bij univariate functies kan een punt op de grafiek voorgesteld worden als een
tupel van 2 punten (#; !(#)) (= coördinaat)
o De verzameling van alle geordende 2-tallen is ∈ ℝ! ofwel een 2-
dimensionale ruimte (cfr. 2D-grafiek)
1
, Samenvatting Wiskundige modellen
• Bij multivariate functies met + veranderlijken zijn de invoerwaarden geordende
n-tallen (ℝ" ⟼ ℝ)
o Al deze n-tallen vormen de n-dimensionale ruimte ℝ" van de functie
• (#$ , #! , … , #" ) kan een geordend n-tal, een coördinaat en een tupel genoemd
worden, als symbool wordt het als # geschreven
• (1.1) De rekenregels van twee coördinaten van ℝ" zijn dezelfde als in ℝ! (co.
optellen bij ander co., co. vermenigvuldigen met getal)
(1.1.2) Assenstelsels
• Cartesisch coördinatenstelsel in 3D (de ruimte)
o 3 assen met geijkte en reële waarden erop
o De 3 drie assen snijden loodrecht in één punt, de oorsprong
o Als de ijk gelijk is op de 3 assen, dan is het orthonormaal of een
Euclidische ruimte (als de ijk anders is, dan is het orthogonaal)
• Rechtshandige assen:
o Linkshandige assen: zelfde bij linkerhand.
o Let op: staat verkeerd in het boek!!!
• Abscis: als je een punt loodrecht op een as projecteert op de x-as
(om het x-co. te lezen), dan lees je de abscis af
o BVB bij ! = 2# heeft het punt met ( = 6, (3; 6), absis 3
• De afstand tussen 2 punten wordt met de afstandsformule berekend:
8 9); :; = <∑(:% − )% )! = <(∆#)! + (∆()! + (∆@)! + ⋯
(1.1.3) Vectoren
• Vector: de pijl van de oorsprong tot de coördinaat
• Vrije vector: een vector met grootte, richting, zin, maar zonder
aangrijpingspunt
• Eenheidsvectoren:
o Ligt samen met de ijk van de assen, in 3D heb je dus 3
eenheidsvectoren
o Ze hebben lengte 1
o A⃗$ (1; 0; 0), A⃗! (0; 1; 0), A⃗& (0; 0; 1)
o Elk punt kan voorgesteld worden door de eenheidsvectoren (D⃗ = D$ A⃗$ +
⋯)
(1.2) Meer over (multivariate) functies
• Beeld Im(!): alle (-waarden die de functie uitkomt
• Domein G: alle #-waarden waarvoor het beeld bepaald is
2
, Samenvatting Wiskundige modellen
• Omgeving H: de punten in de omgeving, in ℝ is dit een cirkel, in ℝ! is dit een
bol, in ℝ& kan je dit niet tekenen
o Als een functie gedefinieerd is in alle punten in de omgeving van I, dan
is I een inwendig punt
• Niveaukromme: de 2D-lijn die je krijgt als je stelt dat !J#K = L (met L ∈ ℝ)
o Je kijkt dus eigelijk in de richting van de z-as
o Vaak teken je meerdere niveaukrommen met verschillende C’s zodat je
iets zoals de isolijnen op een hoogtekaart krijgt
(1.3) Partiële afgeleiden (PA)
• PA: de RICO van een functie als je in één #% -richting
kijkt
'(
• Notatie:
')!
• Oplossen: doen alsof #% de enige variable in het
voorschrift is en de anderen x’en getallen zijn,
rekenregels van vroeger (productregel, kettingregel, …)
'(
• Def. 1.6: eerste orde PA wordt formeel zo gedefinieerd: (I; M) =
')
((./*;1)3((.;1) '( ((.;1/*)3((.;1)
lim *
en '4 (I; M) = lim *
*→, *→,
o Merk hierbij op:
§ In de praktijk zijn I en M ℝ-getallen
§ # en ( komen overeen met respectievelijk a en b
§ Het +ℎ-stuk staat enkel in de variable waarnaar je je PA neemt
§ Als je de PA neemt van een functie met één onafhankelijke
variable, dan heb je een gewone afgeleide zoals vroeger
(1.3.1) Limieten van een mulitivariate functie
• Vroeger (bij !(#), 2D): als de functiewaarde net links en rechts van een punt
dezelfde zijn, dan is dat de limiet van dat punt
• Nu (in 3D of meer): niet enkel links en rechts kijken, maar ook boven, onder,
schuin, … Als al deze (∞ veel) functiewaarden gelijk zijn, dan bestaat de limiet
o Je kan dus eenvoudig (met een tegenvoorbeeld) aantonen dat een
limiet niet bestaat (zie Voorbeeld 1.4 (p.9))
o Aantonen dat een limiet wel bestaat is moeilijker omdat je de limiet
langs oneindig veel kanten zou moeten berekenen
• Def. 1.5: Als een functie met een omgeving H heeft waarin de functie
gedefinieerd is (H ∖ RIS → ℝ), dan is het ℝ-getal U de limiet van de functie voor
# → I als !J#K heel dicht bij !JIK ligt als je # dicht genoeg bij I kiest.
3
, Samenvatting Wiskundige modellen
• Def. 1.5: Een functie is continu in een punt als er geen spong is, dit betekent
dat de functie continu is in punt I als de punten in de omgeving van I ook
gelijk zijn aan I. Dit kan je met de limiet controleren: lim !J#K = !(I)
)→.
(1.3.2) Different van multivariate functies
• In wisk. BT leerden we over de different: ∆!(I) = !(I + ∆#) − !(I)
• Nu geldt een soortgelijke definitie: ∆!J#K = !(#$ + ∆#$ ; #! + ∆#! ; … ; #" +
∆#" ) − !(#$ ; #! ; … ; #" )
(1.3.3) Hogere orde PA
5"(
• De PA 5)5456 betekent: eerst PA naar #, van die uitkomst de PA naar ( en dan
nog naar @. Je doet dus 3 keer een gewone PA. Dit wordt een 3e orde PA
genoemd.
5#( 5#(
• 5)5)
= 5) #
5#( 5#(
• = (stelling van Schwartz)
5)54 545)
(1.4.1) Raakvlakken in een punt op !(#; &)
• Def. 1.8: elk punt (in dit voorbeeld (I; M)) op de grafiek heeft een raakvlak, dit
vlak is bepaald door twee snijdende, niet-evenwijdige rechten (= opspanning
van vlak)
o Rechte 1: # ↦ !(#; M) – Intuitief:
als ‘input’ wordt er enkel naar de
x-waarden gekeken (deze rechte
ligt in een vlak evenwijdig met het
xz-vlak) en als ‘output’ is er
!(#; M) (dit toont nogmaals aan
dat de y-waarde (M) constant is)
§ De rechte heeft als
vergelijking: @ = !(I; M) +
'(
. (# − I)
')
o Rechte 2: ( ↦ !(I; () – Intuitief: analoog aan rechte 1
o De twee rechten snijden dan in (I; M; @), het punt dat we zoeken
'((.;1) '((.;1)
• (1.7) Vergelijking vlak: @ = !(I; M) + . (# − I) + . (( − M)
') '4
• Een vlak schrijf je (carthesisch) als I. # + M. ( + X. @ + 8 = 0, als je het vlak zo
schrijft en je neemt vector (I; M; X), dan heb je een normaalvector die loodrecht
'( '(
op het vlak staat: +Y⃗ 9') ; '4 ; −1;
4
OPO: Wiskundige modellen ZA0143 (College ZA5210, Oefensessie ZA5211 (3 SP))
Docent: Mariya Ishteva, Joppe De Jonghe
Gebaseerd op: lessen AJ25-26 SEM2, PPT’s, cursus, lesopnames
© Viktor Raeymaekers –
Differentialen
Hoofdstuk 1: Multivariate
differentiaalrekening
• Scalaire functie: een functie die één waarde teruggeeft als beeld
o Univariate (scalaire) functie: een functie met één veranderlijke die het
beeld bepaald (BVB !(#), ℝ ⟼ ℝ)
o Bivariate (scalaire) functie: een functie met twee veranderlijken die het
beeld bepalen (BVB !(#; (), ℝ! ⟼ ℝ)
o Multivariate (scalaire) functie: meerdere veranderlijken die het beeld
bepalen (BVB )(*; +; ,), ℝ" ⟼ ℝ)
• (zie Hoofdstuk 4) Vectoriële functie (ℝ" ⟼ ℝ# )
• Onafhankelijke veranderlijken: input, de x-waarde(n) van een functie, kunnen
er meerdere zijn
• Afhankelijke veranderlijke: output, de y-waarde van een functie, kan er maar
één zijn (uitgezonderd vectoriële functies), de waarde is afhankelijk van de x-
waarde(n)
• Expliciet functievoorschrift: van de vorm ( = ⋯
• Impliciet functievoorschrift: alle andere vormen BVB # ! + ( ! = 1
• Differentiaalrekening: alles met de helling van een functie, de afgeleide
• We gaan in dit hoofdstuk dus de helling van functies met meerdere
veranderlijken bekijken
(1.1.1) !(#) uitbreiden naar !(#; &)
• Bij univariate functies kan een punt op de grafiek voorgesteld worden als een
tupel van 2 punten (#; !(#)) (= coördinaat)
o De verzameling van alle geordende 2-tallen is ∈ ℝ! ofwel een 2-
dimensionale ruimte (cfr. 2D-grafiek)
1
, Samenvatting Wiskundige modellen
• Bij multivariate functies met + veranderlijken zijn de invoerwaarden geordende
n-tallen (ℝ" ⟼ ℝ)
o Al deze n-tallen vormen de n-dimensionale ruimte ℝ" van de functie
• (#$ , #! , … , #" ) kan een geordend n-tal, een coördinaat en een tupel genoemd
worden, als symbool wordt het als # geschreven
• (1.1) De rekenregels van twee coördinaten van ℝ" zijn dezelfde als in ℝ! (co.
optellen bij ander co., co. vermenigvuldigen met getal)
(1.1.2) Assenstelsels
• Cartesisch coördinatenstelsel in 3D (de ruimte)
o 3 assen met geijkte en reële waarden erop
o De 3 drie assen snijden loodrecht in één punt, de oorsprong
o Als de ijk gelijk is op de 3 assen, dan is het orthonormaal of een
Euclidische ruimte (als de ijk anders is, dan is het orthogonaal)
• Rechtshandige assen:
o Linkshandige assen: zelfde bij linkerhand.
o Let op: staat verkeerd in het boek!!!
• Abscis: als je een punt loodrecht op een as projecteert op de x-as
(om het x-co. te lezen), dan lees je de abscis af
o BVB bij ! = 2# heeft het punt met ( = 6, (3; 6), absis 3
• De afstand tussen 2 punten wordt met de afstandsformule berekend:
8 9); :; = <∑(:% − )% )! = <(∆#)! + (∆()! + (∆@)! + ⋯
(1.1.3) Vectoren
• Vector: de pijl van de oorsprong tot de coördinaat
• Vrije vector: een vector met grootte, richting, zin, maar zonder
aangrijpingspunt
• Eenheidsvectoren:
o Ligt samen met de ijk van de assen, in 3D heb je dus 3
eenheidsvectoren
o Ze hebben lengte 1
o A⃗$ (1; 0; 0), A⃗! (0; 1; 0), A⃗& (0; 0; 1)
o Elk punt kan voorgesteld worden door de eenheidsvectoren (D⃗ = D$ A⃗$ +
⋯)
(1.2) Meer over (multivariate) functies
• Beeld Im(!): alle (-waarden die de functie uitkomt
• Domein G: alle #-waarden waarvoor het beeld bepaald is
2
, Samenvatting Wiskundige modellen
• Omgeving H: de punten in de omgeving, in ℝ is dit een cirkel, in ℝ! is dit een
bol, in ℝ& kan je dit niet tekenen
o Als een functie gedefinieerd is in alle punten in de omgeving van I, dan
is I een inwendig punt
• Niveaukromme: de 2D-lijn die je krijgt als je stelt dat !J#K = L (met L ∈ ℝ)
o Je kijkt dus eigelijk in de richting van de z-as
o Vaak teken je meerdere niveaukrommen met verschillende C’s zodat je
iets zoals de isolijnen op een hoogtekaart krijgt
(1.3) Partiële afgeleiden (PA)
• PA: de RICO van een functie als je in één #% -richting
kijkt
'(
• Notatie:
')!
• Oplossen: doen alsof #% de enige variable in het
voorschrift is en de anderen x’en getallen zijn,
rekenregels van vroeger (productregel, kettingregel, …)
'(
• Def. 1.6: eerste orde PA wordt formeel zo gedefinieerd: (I; M) =
')
((./*;1)3((.;1) '( ((.;1/*)3((.;1)
lim *
en '4 (I; M) = lim *
*→, *→,
o Merk hierbij op:
§ In de praktijk zijn I en M ℝ-getallen
§ # en ( komen overeen met respectievelijk a en b
§ Het +ℎ-stuk staat enkel in de variable waarnaar je je PA neemt
§ Als je de PA neemt van een functie met één onafhankelijke
variable, dan heb je een gewone afgeleide zoals vroeger
(1.3.1) Limieten van een mulitivariate functie
• Vroeger (bij !(#), 2D): als de functiewaarde net links en rechts van een punt
dezelfde zijn, dan is dat de limiet van dat punt
• Nu (in 3D of meer): niet enkel links en rechts kijken, maar ook boven, onder,
schuin, … Als al deze (∞ veel) functiewaarden gelijk zijn, dan bestaat de limiet
o Je kan dus eenvoudig (met een tegenvoorbeeld) aantonen dat een
limiet niet bestaat (zie Voorbeeld 1.4 (p.9))
o Aantonen dat een limiet wel bestaat is moeilijker omdat je de limiet
langs oneindig veel kanten zou moeten berekenen
• Def. 1.5: Als een functie met een omgeving H heeft waarin de functie
gedefinieerd is (H ∖ RIS → ℝ), dan is het ℝ-getal U de limiet van de functie voor
# → I als !J#K heel dicht bij !JIK ligt als je # dicht genoeg bij I kiest.
3
, Samenvatting Wiskundige modellen
• Def. 1.5: Een functie is continu in een punt als er geen spong is, dit betekent
dat de functie continu is in punt I als de punten in de omgeving van I ook
gelijk zijn aan I. Dit kan je met de limiet controleren: lim !J#K = !(I)
)→.
(1.3.2) Different van multivariate functies
• In wisk. BT leerden we over de different: ∆!(I) = !(I + ∆#) − !(I)
• Nu geldt een soortgelijke definitie: ∆!J#K = !(#$ + ∆#$ ; #! + ∆#! ; … ; #" +
∆#" ) − !(#$ ; #! ; … ; #" )
(1.3.3) Hogere orde PA
5"(
• De PA 5)5456 betekent: eerst PA naar #, van die uitkomst de PA naar ( en dan
nog naar @. Je doet dus 3 keer een gewone PA. Dit wordt een 3e orde PA
genoemd.
5#( 5#(
• 5)5)
= 5) #
5#( 5#(
• = (stelling van Schwartz)
5)54 545)
(1.4.1) Raakvlakken in een punt op !(#; &)
• Def. 1.8: elk punt (in dit voorbeeld (I; M)) op de grafiek heeft een raakvlak, dit
vlak is bepaald door twee snijdende, niet-evenwijdige rechten (= opspanning
van vlak)
o Rechte 1: # ↦ !(#; M) – Intuitief:
als ‘input’ wordt er enkel naar de
x-waarden gekeken (deze rechte
ligt in een vlak evenwijdig met het
xz-vlak) en als ‘output’ is er
!(#; M) (dit toont nogmaals aan
dat de y-waarde (M) constant is)
§ De rechte heeft als
vergelijking: @ = !(I; M) +
'(
. (# − I)
')
o Rechte 2: ( ↦ !(I; () – Intuitief: analoog aan rechte 1
o De twee rechten snijden dan in (I; M; @), het punt dat we zoeken
'((.;1) '((.;1)
• (1.7) Vergelijking vlak: @ = !(I; M) + . (# − I) + . (( − M)
') '4
• Een vlak schrijf je (carthesisch) als I. # + M. ( + X. @ + 8 = 0, als je het vlak zo
schrijft en je neemt vector (I; M; X), dan heb je een normaalvector die loodrecht
'( '(
op het vlak staat: +Y⃗ 9') ; '4 ; −1;
4
