EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
𝑥+ 𝑦+𝑧 =9 3𝑥 − 2 𝑦 + 7𝑧 = 1 (−
31𝑧+11
,−
23+𝑧
, 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅
1) 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 3 } (4,3,2) 8) 𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 8 }
13 13
𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0 ⬚
−2𝑥 + 10𝑦 − 4𝑧 = −16
⬚
𝑥 + 3 𝑦 + 3𝑧 = 5
2 −7 20 𝑥− 𝑦+𝑧 = 0
2) 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 11} ( , , )
3 9 9 9) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0} (0,0,0)
−𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥−5
𝑥 + 3 𝑦 + 4𝑧 = 2 (𝑥, 4 − 𝑥, ) 𝑥∈𝑅 𝑧 4𝑧
4 𝑥− 𝑦+𝑧 = 0 (− , , 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅
3) 2𝑥 + 2𝑦 = 8 } 𝑜 5 5
10) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0 } 𝑜
2𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 6 (2𝑧 + 5, −1 − 2𝑧, 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅
4𝑥 + 𝑦 = 0 (𝑥, −4𝑥, −5𝑥) 𝑥 ∈ 𝑅
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥+𝑦=3
4) 2𝑦 − 𝑧 = 1 } (1, 2, 3)
11) 2𝑥 − 3𝑦 = 1} 𝑆. 𝐼.
−𝑥 + 𝑦 = 1
3𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥−𝑦+𝑧−𝑡 =1
5) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4 } 𝑆. 𝐼.
12) { 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 4𝑡 = 5
6𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 5𝑡 = 4
𝑥+𝑦−𝑧 =4 17+4𝑧 3− 𝑧
6) }( , , 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅 (2 − 𝑡, 1 + 𝑧 − 2𝑡, 𝑧, 𝑡) 𝑐𝑜𝑛 𝑧, 𝑡 ∈ 𝑅
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 5 5 5
5 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2 𝑡 = 0
𝑥+𝑦=5
2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 13) }
7) } 𝑆. 𝐼. 7𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =1
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11
3𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 + 3𝑡 = 3
𝑦+𝑧 =7
2. Los sueldos del padre la madre y un hijo sumados dan 3250€. La madre gana el doble que el hijo. El
padre gana 2/3 de lo que gana la madre. Calcula cuánto gana cada uno. P:1000, M: 1500, H:750
3. Tengo 9,50 € en monedas de 5 céntimos, de 10 céntimos y de 50 céntimos. El número de monedas de
10 céntimos excede en 9 unidades al número de monedas de 50 céntimos y por cada 3 monedas de 10
céntimos se obtienen cuatro de 5 céntimos. ¿Cuántas monedas tengo de cada valor?
5: 28, 10: 21, 50: 12
4. Una fábrica dispone de 3 máquinas A, B y C para producir cierto artículo. Cuando trabajan las 3 se
fabrican 2000 unidades de dicho artículo por día. Si la A no funciona, pero la B y la C sí, la producción
desciende un 25%. Y cuando A y B funcionan normalmente, pero C solo a 3/4 partes de su rendimiento
normal, la producción baja un 10%. ¿Cuántas unidades fabrica habitualmente cada máquina?
A: 500, B:700, C:800
5. Una persona desea invertir 8 millones de euros en tres productos financieros A, B y C. Entre el
producto A y B quiere invertir 7 veces más que en el producto C. El producto A ofrece una rentabilidad
del 6%, el B del 5% y el C del 2%.
Calcula cuántos millones tienes que dedicar a cada producto para obtener una rentabilidad total de
5%. A: 3, B.4, C: 1
6. Una empresa del sector de la alimentación produce 3 tipos de bombones A, B y C que vende a 0,3,
0,4 y 0,5 € por unidad, respectivamente. Si la empresa quiere lanzar al mercado una nueva caja de
bombones variados que contenga 10 unidades y valga 4,5 €. ¿Cuántos bombones de cada clase debe
colocar en la caja? (B:5, C:5), (A:1, B:3, C:6), (A:2, B:1, C:7)
7. En un colegio, la relación del número de alumnas al de alumnos era 8/7 al principio de curso. Durante
el curso, causaron baja 40 chicas y el 4% de los chicos, quedando la relación en 15/14. ¿Cuántos
alumnos de cada sexo acabaron el curso? (A: 400, O:350)
8. Dado un número de tres cifras, se sabe que la suma de sus cifras es 16. Si permutamos las centenas
con las unidades obtenemos el número inicial incrementado en 198. En cambio, si permutamos las
decenas con las unidades obtenemos el número inicial disminuido en 27. ¿Cuál es el número dado? 385
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
𝑥+ 𝑦+𝑧 =9 3𝑥 − 2 𝑦 + 7𝑧 = 1 (−
31𝑧+11
,−
23+𝑧
, 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅
1) 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 3 } (4,3,2) 8) 𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 8 }
13 13
𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0 ⬚
−2𝑥 + 10𝑦 − 4𝑧 = −16
⬚
𝑥 + 3 𝑦 + 3𝑧 = 5
2 −7 20 𝑥− 𝑦+𝑧 = 0
2) 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 11} ( , , )
3 9 9 9) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0} (0,0,0)
−𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥−5
𝑥 + 3 𝑦 + 4𝑧 = 2 (𝑥, 4 − 𝑥, ) 𝑥∈𝑅 𝑧 4𝑧
4 𝑥− 𝑦+𝑧 = 0 (− , , 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅
3) 2𝑥 + 2𝑦 = 8 } 𝑜 5 5
10) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0 } 𝑜
2𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 6 (2𝑧 + 5, −1 − 2𝑧, 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅
4𝑥 + 𝑦 = 0 (𝑥, −4𝑥, −5𝑥) 𝑥 ∈ 𝑅
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥+𝑦=3
4) 2𝑦 − 𝑧 = 1 } (1, 2, 3)
11) 2𝑥 − 3𝑦 = 1} 𝑆. 𝐼.
−𝑥 + 𝑦 = 1
3𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥−𝑦+𝑧−𝑡 =1
5) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4 } 𝑆. 𝐼.
12) { 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 4𝑡 = 5
6𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 5𝑡 = 4
𝑥+𝑦−𝑧 =4 17+4𝑧 3− 𝑧
6) }( , , 𝑧) 𝑧 ∈ 𝑅 (2 − 𝑡, 1 + 𝑧 − 2𝑡, 𝑧, 𝑡) 𝑐𝑜𝑛 𝑧, 𝑡 ∈ 𝑅
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 5 5 5
5 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2 𝑡 = 0
𝑥+𝑦=5
2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 13) }
7) } 𝑆. 𝐼. 7𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =1
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11
3𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 + 3𝑡 = 3
𝑦+𝑧 =7
2. Los sueldos del padre la madre y un hijo sumados dan 3250€. La madre gana el doble que el hijo. El
padre gana 2/3 de lo que gana la madre. Calcula cuánto gana cada uno. P:1000, M: 1500, H:750
3. Tengo 9,50 € en monedas de 5 céntimos, de 10 céntimos y de 50 céntimos. El número de monedas de
10 céntimos excede en 9 unidades al número de monedas de 50 céntimos y por cada 3 monedas de 10
céntimos se obtienen cuatro de 5 céntimos. ¿Cuántas monedas tengo de cada valor?
5: 28, 10: 21, 50: 12
4. Una fábrica dispone de 3 máquinas A, B y C para producir cierto artículo. Cuando trabajan las 3 se
fabrican 2000 unidades de dicho artículo por día. Si la A no funciona, pero la B y la C sí, la producción
desciende un 25%. Y cuando A y B funcionan normalmente, pero C solo a 3/4 partes de su rendimiento
normal, la producción baja un 10%. ¿Cuántas unidades fabrica habitualmente cada máquina?
A: 500, B:700, C:800
5. Una persona desea invertir 8 millones de euros en tres productos financieros A, B y C. Entre el
producto A y B quiere invertir 7 veces más que en el producto C. El producto A ofrece una rentabilidad
del 6%, el B del 5% y el C del 2%.
Calcula cuántos millones tienes que dedicar a cada producto para obtener una rentabilidad total de
5%. A: 3, B.4, C: 1
6. Una empresa del sector de la alimentación produce 3 tipos de bombones A, B y C que vende a 0,3,
0,4 y 0,5 € por unidad, respectivamente. Si la empresa quiere lanzar al mercado una nueva caja de
bombones variados que contenga 10 unidades y valga 4,5 €. ¿Cuántos bombones de cada clase debe
colocar en la caja? (B:5, C:5), (A:1, B:3, C:6), (A:2, B:1, C:7)
7. En un colegio, la relación del número de alumnas al de alumnos era 8/7 al principio de curso. Durante
el curso, causaron baja 40 chicas y el 4% de los chicos, quedando la relación en 15/14. ¿Cuántos
alumnos de cada sexo acabaron el curso? (A: 400, O:350)
8. Dado un número de tres cifras, se sabe que la suma de sus cifras es 16. Si permutamos las centenas
con las unidades obtenemos el número inicial incrementado en 198. En cambio, si permutamos las
decenas con las unidades obtenemos el número inicial disminuido en 27. ¿Cuál es el número dado? 385
