+EJERCICIOS DEL TEMA DE CONTINUIDAD
1. Estudia la continuidad de la función:
√2−√2−𝑥 7) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1|
1) 𝑓(𝑥) =
𝑥
1
8) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥∙(𝑥−1))
2) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥))
8𝑥 9) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2
𝑠𝑖 𝑥<1
3) 𝑓(𝑥) = {𝑥+3
√10 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥≥1 𝑥−1
𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥 2 +1
10) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥 2 +|𝑥| √
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−|𝑥| 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥≥2
𝑥 2 −2𝑥−3
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − |𝑥| 𝑠𝑖 𝑥≠3
11) 𝑓(𝑥) = { 𝑥−3
5 𝑠𝑖 𝑥=3
𝑥−|𝑥|
6) 𝑓(𝑥) = { 𝑠𝑖 𝑥≠0
𝑥
0 𝑠𝑖 𝑥=0
−1⁄ 2
2. Demuestra que la función 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 es continua en toda la recta real si se define f(0) = 0.
3. Calcula “k” para que f sea continua en todos los puntos:
2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 1 + 𝑘𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
1) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 5) 𝑓(𝑥) = { 2 𝑎>0
𝑠𝑖 𝑥 > 1 ln(𝑥 + 𝑎) 𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑥+𝑘
6) 𝑓(𝑥) = { 3
𝑎𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < −1
2 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑥 − 𝑎𝑥 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1
2) 𝑓(𝑥) = { 𝑥+𝑘
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1
𝑥 2 +1
1+|𝑥|
𝑠𝑖 𝑥 ≠ −1
7) 𝑓(𝑥) = { 1−|𝑥|
𝑠𝑖 𝑥 ≤ − 𝜋⁄2
4𝑥⁄𝜋 −2 𝑠𝑖 𝑥 = 1
3) 𝑓(𝑥) = {
𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑏 𝑠𝑖 −𝜋⁄2 < 𝑥 < 𝜋⁄2
𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 < 2
8) 𝑓(𝑥) = {𝑘𝑥 + 1 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 5
𝑥 5 +4𝑥 4
4) 𝑓(𝑥) = { 𝑘∙𝑥 4
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
−2 𝑠𝑖 𝑥 = 0
3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
9) 𝑓(𝑥) = {𝑘𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 3
−3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
𝑥 2 +𝑥−2
4. Halla el valor de “a” para que 𝑓(𝑥) = sea discontinua en x = 3, y clasifica todas las discontinuidades.
𝑥 2 −𝑥−𝑎
5. Prueba que la ecuación 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1 tiene al menos una solución en R.
1. Estudia la continuidad de la función:
√2−√2−𝑥 7) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1|
1) 𝑓(𝑥) =
𝑥
1
8) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥∙(𝑥−1))
2) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥))
8𝑥 9) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2
𝑠𝑖 𝑥<1
3) 𝑓(𝑥) = {𝑥+3
√10 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥≥1 𝑥−1
𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥 2 +1
10) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥 2 +|𝑥| √
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−|𝑥| 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥≥2
𝑥 2 −2𝑥−3
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − |𝑥| 𝑠𝑖 𝑥≠3
11) 𝑓(𝑥) = { 𝑥−3
5 𝑠𝑖 𝑥=3
𝑥−|𝑥|
6) 𝑓(𝑥) = { 𝑠𝑖 𝑥≠0
𝑥
0 𝑠𝑖 𝑥=0
−1⁄ 2
2. Demuestra que la función 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 es continua en toda la recta real si se define f(0) = 0.
3. Calcula “k” para que f sea continua en todos los puntos:
2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 1 + 𝑘𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
1) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 5) 𝑓(𝑥) = { 2 𝑎>0
𝑠𝑖 𝑥 > 1 ln(𝑥 + 𝑎) 𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑥+𝑘
6) 𝑓(𝑥) = { 3
𝑎𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < −1
2 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑥 − 𝑎𝑥 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1
2) 𝑓(𝑥) = { 𝑥+𝑘
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1
𝑥 2 +1
1+|𝑥|
𝑠𝑖 𝑥 ≠ −1
7) 𝑓(𝑥) = { 1−|𝑥|
𝑠𝑖 𝑥 ≤ − 𝜋⁄2
4𝑥⁄𝜋 −2 𝑠𝑖 𝑥 = 1
3) 𝑓(𝑥) = {
𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑏 𝑠𝑖 −𝜋⁄2 < 𝑥 < 𝜋⁄2
𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 < 2
8) 𝑓(𝑥) = {𝑘𝑥 + 1 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 5
𝑥 5 +4𝑥 4
4) 𝑓(𝑥) = { 𝑘∙𝑥 4
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
−2 𝑠𝑖 𝑥 = 0
3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
9) 𝑓(𝑥) = {𝑘𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 3
−3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
𝑥 2 +𝑥−2
4. Halla el valor de “a” para que 𝑓(𝑥) = sea discontinua en x = 3, y clasifica todas las discontinuidades.
𝑥 2 −𝑥−𝑎
5. Prueba que la ecuación 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1 tiene al menos una solución en R.
