TEMA-3 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
➢ Sea f una función real de variable real.
1.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
❑ Se dice que la derivada de la función f en el punto x = x0, se denota por 𝑓 ′ (𝑥0 ), es el
f (x ) − f (x 0 )
valor del límite lim = f (x 0 )
x → xo x − x0
➢ Para que exista la derivada de f en el punto x = x0, es preciso que exista f(xo),
𝑥𝑜 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), pues de lo contrario no podríamos calcular el límite.
➢ Si escribo que x = x0 + h y hago tender la x hacia x0, entonces x0 = x0 + 0, es decir, la h
f (x0 + h ) − f (x0 )
tiende a cero, y el límite se puede reescribir como lim = f ( x0 ) .
h →0 h
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 )
f (x0 ) = lim = lim
h→0 h x → x0 x − x0
Ejemplo ¿Es derivable 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 en x = - 1?
❑ La derivada de la función f en el punto x = x0, 𝑓 ′ (𝑥0 ), es el límite del incremento de la
función dividido por el incremento de la variable cuando éste tiende a cero.
f (x )
f (x0 ) = lim
x →0 x
❑ Se dice que f es derivable en el punto x = x0 si f (x0 ) es un número real.
- 1 –TEORÍA DE DERIVADAS
, 1.2. DERIVADAS LATERALES.
Puesto que la derivada en un punto es un límite, podemos considerar también la existencia
de límites laterales en dicho punto. Se tiene así el concepto de derivadas laterales.
❑ Se dice que la derivada por la izquierda de la función f en el punto x = x0 es el valor
del límite.
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 )
lim−
x − x0
= lim
h
( )
= f x0
−
x → x0 h→0−
❑ Una función es derivable por la izquierda en el punto x = x0 si 𝑓 ′ (𝑥0 − ) es un número
real.
❑ Se dice que la derivada por la derecha de la función f en el punto x = x0 es el valor del
límite.
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 )
lim+
x − x0
= lim
+ h
( )
= f x0
+
x → x0 h→0
❑ Una función es derivable por la derecha en el punto x = x0 si 𝑓 ′ (𝑥0 + ) es un número real.
❑ Las derivadas por la izquierda y por la derecha se denominan derivadas laterales.
𝟐
Ejemplo Estudia la derivabilidad de la función 𝒇(𝒙) = { 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏 en x = 1
𝒙−𝟐 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟏
- 2 –TEORÍA DE DERIVADAS
1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
➢ Sea f una función real de variable real.
1.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
❑ Se dice que la derivada de la función f en el punto x = x0, se denota por 𝑓 ′ (𝑥0 ), es el
f (x ) − f (x 0 )
valor del límite lim = f (x 0 )
x → xo x − x0
➢ Para que exista la derivada de f en el punto x = x0, es preciso que exista f(xo),
𝑥𝑜 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), pues de lo contrario no podríamos calcular el límite.
➢ Si escribo que x = x0 + h y hago tender la x hacia x0, entonces x0 = x0 + 0, es decir, la h
f (x0 + h ) − f (x0 )
tiende a cero, y el límite se puede reescribir como lim = f ( x0 ) .
h →0 h
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 )
f (x0 ) = lim = lim
h→0 h x → x0 x − x0
Ejemplo ¿Es derivable 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 en x = - 1?
❑ La derivada de la función f en el punto x = x0, 𝑓 ′ (𝑥0 ), es el límite del incremento de la
función dividido por el incremento de la variable cuando éste tiende a cero.
f (x )
f (x0 ) = lim
x →0 x
❑ Se dice que f es derivable en el punto x = x0 si f (x0 ) es un número real.
- 1 –TEORÍA DE DERIVADAS
, 1.2. DERIVADAS LATERALES.
Puesto que la derivada en un punto es un límite, podemos considerar también la existencia
de límites laterales en dicho punto. Se tiene así el concepto de derivadas laterales.
❑ Se dice que la derivada por la izquierda de la función f en el punto x = x0 es el valor
del límite.
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 )
lim−
x − x0
= lim
h
( )
= f x0
−
x → x0 h→0−
❑ Una función es derivable por la izquierda en el punto x = x0 si 𝑓 ′ (𝑥0 − ) es un número
real.
❑ Se dice que la derivada por la derecha de la función f en el punto x = x0 es el valor del
límite.
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 )
lim+
x − x0
= lim
+ h
( )
= f x0
+
x → x0 h→0
❑ Una función es derivable por la derecha en el punto x = x0 si 𝑓 ′ (𝑥0 + ) es un número real.
❑ Las derivadas por la izquierda y por la derecha se denominan derivadas laterales.
𝟐
Ejemplo Estudia la derivabilidad de la función 𝒇(𝒙) = { 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏 en x = 1
𝒙−𝟐 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟏
- 2 –TEORÍA DE DERIVADAS
