Tema-7 INTEGRAL DEFINIDA 2ºBACH

TEMA -7 INTEGRAL DEFINIDA
1. INTEGRAL DEFINIDA.
✓ Supongo que f es una función real de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] e
intentamos calcular el área de la región limitada por la curva, el eje de abscisas y las
rectas x = a y x = b; el problema tiene fácil solución si f tiene por gráfica una forma
conocida (recta, semicircunferencia, ...)
y




x
a b

✓ Si f no tiene una gráfica “sencilla” tenemos que realizar una aproximación. Para ello
hacemos una partición Pn del intervalo [a, b] en n intervalos más pequeños (utilizamos n +1
puntos)

𝑃 = {𝑥𝑜 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } 𝑐𝑜𝑛 𝑥𝑜 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] 𝑑ó𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑜 = 𝑎 𝑦 𝑥𝑛 = 𝑏
El intervalo [a, b] queda dividido en intervalos del tipo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]
Denominamos a la amplitud del intervalo 𝛥𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

Nota
▪ Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces posee un máximo y un
mínimo absoluto en el intervalo [a,b]. (Teorema de Weierstrass)

La función f alcanza un mínimo, mi , y un máximo, Mi , en cada intervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]

❑ Calculando una aproximación por defecto del área buscada obtenemos

𝑠𝑛 = 𝑚1 ⋅ 𝛥𝑥1 + 𝑚2 ⋅ 𝛥𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛 ⋅ 𝛥𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ⋅ 𝛥𝑥𝑖 Suma inferior de Riemann


❑ Calculando una aproximación por exceso del área buscada obtenemos

𝑆𝑛 = 𝑀1 ⋅ 𝛥𝑥1 + 𝑀2 ⋅ 𝛥𝑥2 + ⋯ + 𝑀𝑛 ⋅ 𝛥𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 ⋅ 𝛥𝑥𝑖 Suma superior de Riemann

Si hallamos el área buscada A,
M3 y
M2
obtenemos 𝑠𝑛 ≤ 𝐴 ≤ 𝑆𝑛

m3
m2=M1
m1




x
a=xo x1 x2 b=x3
- 1 –TEORÍA DE LA INTEGRAL DEFINIDA

, ✓ Si seguimos refinando la partición, es decir, haciendo que las amplitudes de los intervalos
sean cada vez más pequeñas (añadimos nuevos puntos a la partición) las aproximaciones por
defecto y por exceso tienden al mismo valor que es el área buscada.
𝑠1 < 𝑠2 < ⋯ 𝑠𝑛 < ⋯ < 𝐴 < ⋯ < 𝑆𝑛 < ⋯ < 𝑆2 < 𝑆1
y y y




x x x
a=xo x1 b=x2 a=xo x1 x2 b=x3 a=xo x1 x2 x3 b=x4

y y




x
a=xo x1 x2 x3 x4 x5 b=x6 x
a=xo x1 x2 x3 x4 x5 b=x7
y y y




x x x
a=xo x1 b=x2 a=xo x1 x2 b=x3 a=xo x1 x2 x3 b=x4


y y




x x
a=xox1 x2 x3 x4 x5 b=x6 a=xo x1 x2 x3x4x5x6x7x8 x9 b=x12



lim (S
n→
n − sn ) = 0  lim S n = lim sn
n→ n→


❑ El área comprendida entre la función f, el eje de abscisas y la recta x = a y x = b lo
𝑏
denominaremos integral definida entre a y b y se denota por ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

❑ Dada la función f continua y positiva en el intervalo [a, b], se define su integral definida
en el intervalo [a, b] como el límite cuando n tiende a infinito de sus sumas inferiores o

 f (x ) dx = lim S
b
de sus sumas superiores: n = lim s n
a
n → n →

al número a se le denomina límite inferior de integración y al número b límite superior de
integración.
Se dice que la función f es integrable de Riemann.

➢ Toda función continua en [a,b] es integrable de Riemann.

- 2 –TEORÍA DE LA INTEGRAL DEFINIDA