TEMA-2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
❑ Una función es continua cuando a variaciones pequeñas de la variable independiente
le corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente. y
y
Ejemplo f no es continua en “0
f continua en “0” Ejemplo
lim f ( x ) f (0 )
x →0
x f no es continua en “0”
x
Ejemplo
0 Dom( f ) Ejemplo
y y
lim f ( x ) lim f ( x )
lim f (x ) = 0 x →0 − x →0 +
x→0
f no es continua en “0”
x
Definición x
❑ Una función f es continua en el punto “a”, o en x = a, si se verifica que:
lim f ( x ) = f (a )
x→a
➢ Los pasos para estudiar la continuidad de una función f en el punto “a”, o en x = a, son
los siguientes:
1) Existencia de la imagen del punto “a” mediante f, f(a), es decir, a Dom(f).
2) Existencia del límite de la función f cuando la “x” tiende a ”a”, es decir, el límite
de la función f cuando “x” tiende a “a” por la derecha es igual al límite de la función
f cuando “x” tiende a “a” por la izquierda.
lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x )
x→a − x→a + x→a
3) El límite de la función f cuando “x” tiende a “a” es igual al valor de la imagen del
punto “a” mediante la función f.
lim f (x ) = f (a )
x →a
❑ Una función f es continua por la derecha en x = a si se verifica que
lim f (x ) = f (a )
x →a +
❑ Una función f es continua en x = a por la izquierda si se verifica que
lim f (x ) = f (a )
x →a −
❑ Una función es continua en un punto si es continua por la derecha y por la izquierda en
dicho punto.
- 1 –TEORÍA DE FUNCIONES CONTINUAS
, ❑ Una función f es continua en el intervalo abierto = (a , b) si es continua en todos los
puntos del intervalo .
❑ Una función f es continua en el intervalo cerrado = [a , b] si es continua en todos
los puntos del intervalo abierto (a , b) y además es continua por la izquierda en x = b y por
la derecha en x = a.
Ejemplo Estudia la continuidad de la función f en los puntos x = 2 y x = 3
5 𝑠𝑖 𝑥<2
𝑓(𝑥) = { 3𝑥 − 1 𝑠𝑖 2≤𝑥<3
2𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥>3
1 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥≤0
Ejemplo Estudia la continuidad de la función 𝑓(𝑥) = {√5𝑥 − 1 𝑠𝑖 0<𝑥<2
𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥≥2
- 2 –TEORÍA DE FUNCIONES CONTINUAS
1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
❑ Una función es continua cuando a variaciones pequeñas de la variable independiente
le corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente. y
y
Ejemplo f no es continua en “0
f continua en “0” Ejemplo
lim f ( x ) f (0 )
x →0
x f no es continua en “0”
x
Ejemplo
0 Dom( f ) Ejemplo
y y
lim f ( x ) lim f ( x )
lim f (x ) = 0 x →0 − x →0 +
x→0
f no es continua en “0”
x
Definición x
❑ Una función f es continua en el punto “a”, o en x = a, si se verifica que:
lim f ( x ) = f (a )
x→a
➢ Los pasos para estudiar la continuidad de una función f en el punto “a”, o en x = a, son
los siguientes:
1) Existencia de la imagen del punto “a” mediante f, f(a), es decir, a Dom(f).
2) Existencia del límite de la función f cuando la “x” tiende a ”a”, es decir, el límite
de la función f cuando “x” tiende a “a” por la derecha es igual al límite de la función
f cuando “x” tiende a “a” por la izquierda.
lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x )
x→a − x→a + x→a
3) El límite de la función f cuando “x” tiende a “a” es igual al valor de la imagen del
punto “a” mediante la función f.
lim f (x ) = f (a )
x →a
❑ Una función f es continua por la derecha en x = a si se verifica que
lim f (x ) = f (a )
x →a +
❑ Una función f es continua en x = a por la izquierda si se verifica que
lim f (x ) = f (a )
x →a −
❑ Una función es continua en un punto si es continua por la derecha y por la izquierda en
dicho punto.
- 1 –TEORÍA DE FUNCIONES CONTINUAS
, ❑ Una función f es continua en el intervalo abierto = (a , b) si es continua en todos los
puntos del intervalo .
❑ Una función f es continua en el intervalo cerrado = [a , b] si es continua en todos
los puntos del intervalo abierto (a , b) y además es continua por la izquierda en x = b y por
la derecha en x = a.
Ejemplo Estudia la continuidad de la función f en los puntos x = 2 y x = 3
5 𝑠𝑖 𝑥<2
𝑓(𝑥) = { 3𝑥 − 1 𝑠𝑖 2≤𝑥<3
2𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥>3
1 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥≤0
Ejemplo Estudia la continuidad de la función 𝑓(𝑥) = {√5𝑥 − 1 𝑠𝑖 0<𝑥<2
𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥≥2
- 2 –TEORÍA DE FUNCIONES CONTINUAS
