Tema-4 APLICACIONES DERIVADAS 2ºBACH

TEMA-4 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN.
❑ Una función f es creciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par de puntos
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )

❑ Una función f es decreciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par de puntos
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 )

❑ Una función f es estrictamente creciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par de
puntos 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )

❑ Una función f es estrictamente decreciente en el intervalo  = (a,b), si para cualquier par
de puntos 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
Ejemplo y
y
y




x
x
x




TEOREMA

✓ Si f es derivable en cada punto del intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏), entonces:

1) Si f es creciente en I, 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 para cada x.

2) Si f es decreciente en I, 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 para cada x.

3) Si f es constante en I, 𝑓 ′ (𝑥) = 0 para cada x.
Demostración
(a) Si f es creciente en el intervalo (a,b), la tasa de variación media para dos puntos cualesquiera
del mismo es positiva.
f (x + h ) − f (x ) f (x + h ) − f (x )
para x  (a, b )  0  f (x ) = lim 0
h h →0 h
(b) Si f es decreciente en el intervalo (a,b), la tasa de variación media para dos puntos cualesquiera
del mismo es negativa.
f (x + h ) − f (x ) f (x + h ) − f (x )
para x  (a, b )  0  f (x ) = lim 0
h h →0 h
(c) Si f es constante en el intervalo (a,b), la tasa de variación media para dos puntos cualesquiera
del mismo es cero.
f (x + h ) − f (x ) f (x + h ) − f (x )
para x  (a, b ) = 0  f (x ) = lim =0
h h →0 h
-1-TEORÍA DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

,❑ Una función f es estrictamente creciente (decreciente) en el punto x = xo, si es
estrictamente creciente (estrictamente decreciente) en un entorno del punto.

➢ Por lo tanto, para determinar los puntos en los que una función crece o decrece bastará con
estudiar el signo de la derivada en cada punto (si la función derivada está definida en ese
punto).

1) 𝑓 ′ (𝑥0 ) > 0 ⇒ f es estrictamente creciente en x = x0.
2) 𝑓 ′ (𝑥0 ) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en x = x0.


Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

➢ El sentido del crecimiento de una función variará con el de signo de 𝑓 ′ (si existe). Los puntos
en los que posiblemente la derivada cambiará de signo son:

▪ Puntos de discontinuidad de la función f.
▪ Puntos en los que se anula la primera derivada de f o no existe.

estos puntos dividen el dominio de f en intervalos y/o semirrectas en los que el signo de𝑓 ′
es constante. y
y




x
a b
b x
a c


f creciente (-∞,a)  (a,b)
f decreciente (b, +∞) f creciente (-∞,a)  (b,c)
f es discontinua en x =a f decreciente (a,b)  (c,+ ∞)
La derivada de f en x = b es cero, f’(b) = 0 f no es derivable en x =a,
f es discontinua en x = c
Ejemplo
1
Estudia la monotonía de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2
4

1) Calculo la primera derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥

2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula
𝑥=0
𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 3 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 2 − 4) = 0 ⇒ { 2
𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2
3) Estudio el signo de la función derivada f 
f es creciente en (−2, 0) ∪ (2, +∞)
f es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 2)



-2-TEORÍA DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

, Ejemplo
2𝑥−1
Estudia la monotonía de la función 𝑓(𝑥) =
3𝑥+9


1) Calculo la primera derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥) =
21
(3𝑥+9)2




2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula.

𝑓 ′ (𝑥) > 0 para cualquier punto del dominio.

Por lo tanto, la función es creciente en su dominio.



Ejemplo

Estudia la monotonía de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥)

1) Calculo la primera derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥) = 1 −
1 𝑥−1
=
𝑥 𝑥


2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒
𝑥−1
=0⇒𝑥−1=0⇒𝑥 =1
𝑥


3) Estudio el signo de la función derivada 𝑓 ′



f es creciente en (1, +)
f es decreciente en (0, 1)

Ejemplo
𝑥
Estudia la monotonía de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −6𝑥−16
−𝑥 2 −16
1) Calculo la primera derivada de la función 𝑓 ′ (𝑥) =
(𝑥 2 −6𝑥−16)2




2) Hallo los puntos en los que la función derivada se anula 𝑓 ′ (𝑥) = 0; la función derivada no se anula en
ningún punto, ya que −𝑥 2 − 16 ≠ 0para cualquier número real.

3) Calculo los puntos en los que la función es discontinua, es decir, en los que se anula el denominador
𝑥 2 − 6𝑥 − 16 = 0 ⇒ 𝑥 = 8 𝑦 𝑥 = −2

4) Estudio el signo de la función derivada f 

f es decreciente en todo su dominio.

-3-TEORÍA DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS