Estimation of Definite Integration
Prove the following inequalities
(i) < ∫ <
√ √
/
(ii) I < ∫ dx <
(iii) I < ∫ e dx < e
(iv) I < ∫ e dx <
(v) I < ∫ e dx < e − 1
(vi) ∫ 𝑒 cos 𝑥𝑑𝑥 < ∫ 𝑒 cos 𝑥𝑑𝑥 < ∫ 𝑒 𝑑𝑥
/ /
(vii) 0 < ∫ sin xdx < ∫ sin xdx, n > 1
/
(viii) e <∫ e dx < 1
(ix) − ≤ ∫ <
/
(x) I < ∫ √sin xdx <
√ / √
(xi) <∫ / dx <
(xii) 4 ≤ ∫ √3 + 𝑥 dx ≤ 2√30
(xiii) <∫ dx <
√ √
(xiv) ℓn2 < ∫ dx <
(xv) Let I = ∫ √x + x dx, then
(A) I > 6√10
(B) I < 2√2
(C) 2√2 < I < 6√10
(D) I < 1
(xvi) Let 𝑓 (𝑥) ≥ 0, 𝑓 (𝑥) > 0, 𝑓(0) = 3 and 𝑓(𝑥) is defined on [−2,2]. If 𝑓(𝑥) ≥ 0, then
(A) ∫ f(x)dx > 6
(B) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > 12
(C) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 12
(D) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > 12
(xvii) If S = ∫ e dx, then
(A) S ≥
(B) S ≥ 1 −
(C) S ≤ 1+
√
(D) S ≤ + 1−
√ √ √
Prove the following inequalities
(i) < ∫ <
√ √
/
(ii) I < ∫ dx <
(iii) I < ∫ e dx < e
(iv) I < ∫ e dx <
(v) I < ∫ e dx < e − 1
(vi) ∫ 𝑒 cos 𝑥𝑑𝑥 < ∫ 𝑒 cos 𝑥𝑑𝑥 < ∫ 𝑒 𝑑𝑥
/ /
(vii) 0 < ∫ sin xdx < ∫ sin xdx, n > 1
/
(viii) e <∫ e dx < 1
(ix) − ≤ ∫ <
/
(x) I < ∫ √sin xdx <
√ / √
(xi) <∫ / dx <
(xii) 4 ≤ ∫ √3 + 𝑥 dx ≤ 2√30
(xiii) <∫ dx <
√ √
(xiv) ℓn2 < ∫ dx <
(xv) Let I = ∫ √x + x dx, then
(A) I > 6√10
(B) I < 2√2
(C) 2√2 < I < 6√10
(D) I < 1
(xvi) Let 𝑓 (𝑥) ≥ 0, 𝑓 (𝑥) > 0, 𝑓(0) = 3 and 𝑓(𝑥) is defined on [−2,2]. If 𝑓(𝑥) ≥ 0, then
(A) ∫ f(x)dx > 6
(B) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > 12
(C) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 12
(D) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > 12
(xvii) If S = ∫ e dx, then
(A) S ≥
(B) S ≥ 1 −
(C) S ≤ 1+
√
(D) S ≤ + 1−
√ √ √
