TEMA-7 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS.
1. LUGARES GEOMÉTRICOS.
❑ Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que verifican una propiedad
determinada.
➢ Dado un sistema de referencia, podemos encontrar la ecuación que satisfacen todos los
puntos del lugar geométrico. Para ello, tomamos un punto cualquiera del lugar geométrico y
expresamos algebraicamente la propiedad que lo define.
2. LA CIRCUNFERENCIA.
❑ La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo, C, que llamamos centro de la circunferencia.
❑ La distancia entre un punto cualquiera de la circunferencia y el centro es el radio de la
circunferencia, r.
2.1 OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.
➢ Sea C (a, b) el centro de la circunferencia y sea P (x, y) un punto cualquiera de la
circunferencia.
𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑟 ⇒ √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 ⇒ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
Circunferencia de radio r y centro C (a, b) (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐
Desarrollando esta expresión
𝑥2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑥 + 𝑦 2 + 𝑏 2 − 2𝑏𝑦 = 𝑟 2 ⇒
𝑥2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑥 + 𝑦 2 + 𝑏 2 − 2𝑏𝑦 − 𝑟 2 = 0
Renombrando 𝐴 = −2𝑎
𝐵 = −2𝑏
𝐶 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2
Ecuación general de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
➢ Dada la ecuación general de la circunferencia podemos determinar las coordenadas del
centro de la circunferencia, su radio y un punto cualquiera de ella:
𝐴
𝐴 = −2𝑎 ⇒ 𝑎=− 𝑨 𝑩
2 ⇒ 𝑪 (− , − ) 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝐵 𝟐 𝟐
𝐵 = −2𝑏 ⇒ 𝑏=−
2
2 2 2
𝐴 2 𝐵 2 𝐴2 𝐵2 𝐴2 + 𝐵2
𝐶 =𝑎 +𝑏 −𝑟 ⇒ 𝐶 = (− ) + (− ) − 𝑟 2 ⇒ 𝐶= + − 𝑟2 ⇒ 𝐶 = − 𝑟2 ⇒
2 2 4 4 4
-1-TEMA LUGARES GEOMÉTRICOS
, 𝐴2 + 𝐵2 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶
𝑟2 = − 𝐶 ⇒ 𝑟2 = ⇒
4 4
𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟒𝑪
𝒓 = ±√ 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝟒
𝑆𝑖 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 > 0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑆𝑖 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 = 0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝑆𝑖 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 < 0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
➢ Si B= 0 el centro de la circunferencia está en el eje de abscisas.
Si A = 0 el centro de la circunferencia está en el eje de ordenadas.
Si A = B = 0 el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas.
Ejemplo
Determinar el centro y radio de las circunferencias:
a) x2 + y2 - 6x + 5 = 0
b) x2 + y2 - 4x – 2y + 4 = 0 𝐶(2,1) 𝑟 = 1
2 2 1
c) 3x + 3y + 2x – 8y = 0
√17
𝐶 (− , 4/3) 𝑟=
3 3
-2-TEMA LUGARES GEOMÉTRICOS
1. LUGARES GEOMÉTRICOS.
❑ Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que verifican una propiedad
determinada.
➢ Dado un sistema de referencia, podemos encontrar la ecuación que satisfacen todos los
puntos del lugar geométrico. Para ello, tomamos un punto cualquiera del lugar geométrico y
expresamos algebraicamente la propiedad que lo define.
2. LA CIRCUNFERENCIA.
❑ La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo, C, que llamamos centro de la circunferencia.
❑ La distancia entre un punto cualquiera de la circunferencia y el centro es el radio de la
circunferencia, r.
2.1 OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.
➢ Sea C (a, b) el centro de la circunferencia y sea P (x, y) un punto cualquiera de la
circunferencia.
𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑟 ⇒ √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 ⇒ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
Circunferencia de radio r y centro C (a, b) (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐
Desarrollando esta expresión
𝑥2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑥 + 𝑦 2 + 𝑏 2 − 2𝑏𝑦 = 𝑟 2 ⇒
𝑥2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑥 + 𝑦 2 + 𝑏 2 − 2𝑏𝑦 − 𝑟 2 = 0
Renombrando 𝐴 = −2𝑎
𝐵 = −2𝑏
𝐶 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2
Ecuación general de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
➢ Dada la ecuación general de la circunferencia podemos determinar las coordenadas del
centro de la circunferencia, su radio y un punto cualquiera de ella:
𝐴
𝐴 = −2𝑎 ⇒ 𝑎=− 𝑨 𝑩
2 ⇒ 𝑪 (− , − ) 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝐵 𝟐 𝟐
𝐵 = −2𝑏 ⇒ 𝑏=−
2
2 2 2
𝐴 2 𝐵 2 𝐴2 𝐵2 𝐴2 + 𝐵2
𝐶 =𝑎 +𝑏 −𝑟 ⇒ 𝐶 = (− ) + (− ) − 𝑟 2 ⇒ 𝐶= + − 𝑟2 ⇒ 𝐶 = − 𝑟2 ⇒
2 2 4 4 4
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, 𝐴2 + 𝐵2 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶
𝑟2 = − 𝐶 ⇒ 𝑟2 = ⇒
4 4
𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟒𝑪
𝒓 = ±√ 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝟒
𝑆𝑖 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 > 0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑆𝑖 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 = 0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝑆𝑖 𝐴2 + 𝐵2 − 4𝐶 < 0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
➢ Si B= 0 el centro de la circunferencia está en el eje de abscisas.
Si A = 0 el centro de la circunferencia está en el eje de ordenadas.
Si A = B = 0 el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas.
Ejemplo
Determinar el centro y radio de las circunferencias:
a) x2 + y2 - 6x + 5 = 0
b) x2 + y2 - 4x – 2y + 4 = 0 𝐶(2,1) 𝑟 = 1
2 2 1
c) 3x + 3y + 2x – 8y = 0
√17
𝐶 (− , 4/3) 𝑟=
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