LOGARITMOS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Resumen completo con fórmulas, propiedades, ecuaciones y gráficos
IDEA GENERAL
La función exponencial y la función logarítmica están directamente relacionadas: son funciones inversas. Entender
una ayuda a entender la otra.
PARTE 1 — EXPONENCIALES
1. ¿QUÉ ES UNA EXPRESIÓN EXPONENCIAL?
Una expresión exponencial tiene la forma a■, donde:
• a es la base.
• x es el exponente.
Ejemplo: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
CONDICIONES DE LA BASE
Para trabajar con funciones exponenciales normalmente se cumple: a > 0 y a ≠ 1.
2. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
Propiedad Regla
Producto de igual base a■ · a■ = a■■■
Cociente de igual base a■ / a■ = a■■■
Potencia de una potencia (a■)■ = a■■
Potencia de un producto (ab)■ = a■b■
Exponente cero a■ = 1, si a ≠ 0
Exponente negativo a■■ = 1/a■
Exponente fraccionario a^(1/n) = raíz n-ésima de a
3. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Forma básica: f(x) = a■
La variable está en el exponente. Esto es lo que diferencia a una función exponencial de una función potencia
como x².
4. DOMINIO E IMAGEN DE LA EXPONENCIAL
Dominio: ■ (todos los números reales).
Imagen: (0, +∞).
Una exponencial básica nunca vale 0 ni toma valores negativos.
Además, siempre pasa por el punto (0, 1), porque a■ = 1.
, 5. FUNCIÓN EXPONENCIAL CRECIENTE Y DECRECIENTE
Depende del valor de la base:
• Si a > 1, la función es creciente.
Ejemplo: y = 2■.
• Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
Ejemplo: y = (1/2)■.
TRUCO
Base mayor que 1 → crece. Base entre 0 y 1 → decrece.
6. GRÁFICO DE LA EXPONENCIAL
Características principales:
• Pasa por (0, 1).
• Se acerca al eje x pero no lo toca en la función básica.
• Tiene asíntota horizontal y = 0.
• Su dominio son todos los reales.
• Su imagen son solo valores positivos.
7. ECUACIONES EXPONENCIALES
Son ecuaciones donde la incógnita aparece en el exponente.
Ejemplo 1: 2■ = 8
Como 8 = 2³, entonces 2■ = 2³ y por lo tanto x = 3.
Ejemplo 2: 3^(x+1) = 27
Como 27 = 3³: x + 1 = 3 → x = 2.
8. CUANDO NO SE PUEDE IGUALAR LA BASE
Si no es fácil expresar ambos lados con la misma base, se pueden usar logaritmos.
Ejemplo general: a■ = b.
Aplicando logaritmo: log(a■) = log(b).
Usando propiedades: x·log(a) = log(b).
Entonces: x = log(b) / log(a).
MACHETE DE EXPONENCIALES
✓ f(x) = a■.
✓ Dominio = ■.
✓ Imagen = (0, +∞).
✓ Pasa por (0,1).
✓ a > 1: creciente.
✓ 0 < a < 1: decreciente.
EXPONENCIALES
Resumen completo con fórmulas, propiedades, ecuaciones y gráficos
IDEA GENERAL
La función exponencial y la función logarítmica están directamente relacionadas: son funciones inversas. Entender
una ayuda a entender la otra.
PARTE 1 — EXPONENCIALES
1. ¿QUÉ ES UNA EXPRESIÓN EXPONENCIAL?
Una expresión exponencial tiene la forma a■, donde:
• a es la base.
• x es el exponente.
Ejemplo: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
CONDICIONES DE LA BASE
Para trabajar con funciones exponenciales normalmente se cumple: a > 0 y a ≠ 1.
2. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
Propiedad Regla
Producto de igual base a■ · a■ = a■■■
Cociente de igual base a■ / a■ = a■■■
Potencia de una potencia (a■)■ = a■■
Potencia de un producto (ab)■ = a■b■
Exponente cero a■ = 1, si a ≠ 0
Exponente negativo a■■ = 1/a■
Exponente fraccionario a^(1/n) = raíz n-ésima de a
3. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Forma básica: f(x) = a■
La variable está en el exponente. Esto es lo que diferencia a una función exponencial de una función potencia
como x².
4. DOMINIO E IMAGEN DE LA EXPONENCIAL
Dominio: ■ (todos los números reales).
Imagen: (0, +∞).
Una exponencial básica nunca vale 0 ni toma valores negativos.
Además, siempre pasa por el punto (0, 1), porque a■ = 1.
, 5. FUNCIÓN EXPONENCIAL CRECIENTE Y DECRECIENTE
Depende del valor de la base:
• Si a > 1, la función es creciente.
Ejemplo: y = 2■.
• Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
Ejemplo: y = (1/2)■.
TRUCO
Base mayor que 1 → crece. Base entre 0 y 1 → decrece.
6. GRÁFICO DE LA EXPONENCIAL
Características principales:
• Pasa por (0, 1).
• Se acerca al eje x pero no lo toca en la función básica.
• Tiene asíntota horizontal y = 0.
• Su dominio son todos los reales.
• Su imagen son solo valores positivos.
7. ECUACIONES EXPONENCIALES
Son ecuaciones donde la incógnita aparece en el exponente.
Ejemplo 1: 2■ = 8
Como 8 = 2³, entonces 2■ = 2³ y por lo tanto x = 3.
Ejemplo 2: 3^(x+1) = 27
Como 27 = 3³: x + 1 = 3 → x = 2.
8. CUANDO NO SE PUEDE IGUALAR LA BASE
Si no es fácil expresar ambos lados con la misma base, se pueden usar logaritmos.
Ejemplo general: a■ = b.
Aplicando logaritmo: log(a■) = log(b).
Usando propiedades: x·log(a) = log(b).
Entonces: x = log(b) / log(a).
MACHETE DE EXPONENCIALES
✓ f(x) = a■.
✓ Dominio = ■.
✓ Imagen = (0, +∞).
✓ Pasa por (0,1).
✓ a > 1: creciente.
✓ 0 < a < 1: decreciente.
