EJERCICIOS TEMA-5 Geometría MATEMÁTICAS 1°BACH

1

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. Dados los puntos A(2,1) y B(1,2), calcula las coordenadas del vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵.

2. Si A(3,1), B(5,7) y C(6,4) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo, ¿Cuál es el
cuarto vértice?

3. Las coordenadas del vector 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑠𝑜𝑛 (3, −1), y las del punto A, (3,4). ¿Qué coordenadas tiene
el punto B?

4. Calcula las coordenadas del punto A, sabiendo que las coordenadas del vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 𝑠𝑜𝑛 (−5,7)
y las coordenadas del punto B son (-2,1).

5. Calcula los valores de m y n, sabiendo que el vector de origen, A(2, m-2), y de extremo,
B(3n,5), tiene por coordenadas el par (-5,6).

6. Determina qué figura representan los puntos extremos de todos los vectores que, con origen
en el origen de coordenadas, tienen de módulo 2 unidades.

7. Dados los puntos: P(-1,1), Q(3,1) y R(-1,3)
1) Representa los puntos P,Q y R.
2) Comprueba que el triángulo PQR es rectángulo.
3) Calcula su perímetro y su área.

8. Dados los puntos A(3,-1), B(4,6) y C(1,0), halla las coordenadas del punto D para que los
vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 sean equipolentes.
𝐴𝐵 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗

6
9. Averigua el valor de “k” para que se cumpla ( , −2) = 𝑘 · (−3,5)
5


10. De las siguientes expresiones, indica cuáles son verdaderas:
1) Dos vectores con distinta dirección no se pueden sumar.
2) Dos vectores opuestos tienen igual dirección.
3) Si 𝑢 ⃗ =𝑘·𝑣 y k es negativo, entonces 𝑢⃗ 𝑦 𝑣 tienen distinta dirección.
4) Si 𝑢⃗ = −𝑣, entonces 𝑢⃗ 𝑦 𝑣 tienen igual módulo.

11. Dados los puntos A (1, 1) y B (2, 4), los trasladamos mediante el vector 𝑣 = (3,1) y
obtenemos los puntos A’ y B’. Se pide:
1) Las coordenadas de A’ y B’.
2) Demuestra que A, A’, B, B’ son los vértices de un paralelogramo (rombo).


12. Dos fuerzas ⃗⃗⃗ 𝑓2 de intensidades 20 y 30 N, respectivamente, actúan sobre el mismo cuerpo
𝑓1 𝑦 ⃗⃗⃗
y forman entre ellas un ángulo de 60o. ¿Cuántos N tiene una fuerza ⃗⃗⃗
𝑓3 de manera que sirva
para establecer el equilibrio?

13. Un vector tiene por extremos A (2, 3) y B (8, 6). Calcula las coordenadas de los puntos que
lo dividen en tres partes iguales.

, 2

14. Dado el vector 𝑣 = (6, −8)
1) Halla tres vectores paralelos a 𝑣 .
2) Encuentra tres vectores perpendiculares a 𝑣 .
3) Halla un vector unitario paralelo a 𝑣 .
4) Determina un vector unitario y perpendicular a 𝑣 .

15. Halla la proyección del vector 𝑣 = 3 · 𝑖 + 𝑗 sobre el vector ⃗ = 3 · 𝑖 + 5 · 𝑗.
𝑢

16. Si 𝑣 es un vector de coordenadas (1, 3) respecto de la base canónica, halla las coordenadas
de 𝑣 respecto de las bases:
a) B = { (1, -1), (2, 1)} b) B’ = { (3, 0), (-2, -1)}

17. Halla el producto escalar 𝑣 𝑦 𝑤
⃗⃗ en los siguientes casos:
a) |𝑣 | = 4 , |𝑤 ̂
⃗⃗ | = 6, 𝑣 , 𝑤 = 45𝑜
⃗⃗⃗⃗ c) 𝑣 = (3, −4), 𝑤
⃗⃗ = (−12, −5)
b) |𝑣 | = 3 , |𝑤
⃗⃗ | = (2,5), 𝑣̂ ⃗⃗ = 60𝑜
,𝑤

18. Dados los vectores 𝑢
⃗ = (2, −3) 𝑦 𝑣 = (5,4) , calcula:
1) 𝑢
⃗ · 𝑣
2) Calcula el ángulo que forman 𝑢
⃗ 𝑦 𝑣.
3) ¿Cuánto tiene que valer “x” para que 𝑤
⃗⃗ = (𝑥, 1) sea ortogonal a 𝑢
⃗?


19. Sean los vectores 𝑣 = (3, 𝑥) 𝑦 𝑤
⃗⃗ = (𝑦, 5). Calcula x e y, de manera que ambos vectores sean
perpendiculares.

20. Dados los vectores 𝑣 = (1,5), 𝑤 ⃗ = (5,12), halla:
⃗⃗ = (−3,4) 𝑦 𝑢
a)|𝑢
⃗ |, |𝑣 | |𝑤
𝑦 ⃗⃗ | d) Un vector normal a 𝑤
⃗⃗
b) El coseno del ángulo que forman 𝑣 𝑦 𝑤
⃗⃗ . e) Un vector paralelo a 𝑣
c) Los ángulos que forman dos a dos. f) 𝑣 + 𝑤 ⃗ , analítica y gráficamente.
⃗⃗ + 𝑢


21. Resuelve la ecuación 2 · 𝑢
⃗ +3·𝑥 =𝑤 ⃗ = (−2,5) 𝑦 𝑤
⃗⃗ , 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 ⃗⃗ = (0, −5).

22. De los vectores 𝑎 𝑦 𝑏⃗ conocemos que |𝑎 | = 2, |𝑏⃗| = 5 y el ángulo que forman, 𝛼 = 60𝑜 .
Calcula |𝑎 + 𝑏⃗ | 𝑦 |𝑎 − 𝑏⃗ |.

22. Calcula el valor numérico de x para que los vectores 𝑢
⃗ = (1,2) 𝑦 𝑣 = (𝑥, 1)
a) Sean ortogonales. c) Sean paralelos.
b) Formen un ángulo de 60º.

23. Sabiendo que 𝑢
⃗ 𝑦 𝑣 son unitarios, demuestra que 𝑢
⃗ + 𝑣 es ortogonal a 𝑢
⃗ −𝑣.

24. Dados los vectores 𝑎 = (1,5) 𝑦 𝑏⃗ = (3, −1), halla un vector 𝑐 de manera que se verifique
𝑐 · 𝑎 = 1 𝑦 𝑐 ⊥ 𝑏⃗.

25. Dado el vector 𝑣 = (−5, 𝑘), calcula “k” para que su módulo sea igual a 34.

26. Determina un vector 𝑎 que forme con 𝑏⃗ = (−1, −2) un ángulo de 30o y tal que |𝑎| = √3 · |𝑏⃗ |.

27. Calcula el valor de “m” para que 𝑢 ⃗⃗ = (𝑚, 6) sean paralelos.
⃗ = (7, −2) 𝑦 𝑤