Q1 – Integralrechnung & Exponentialfunktion
Von der Änderungsrate zum Bestand, Flächen zwischen Graphen und Wachstums-
modelle mit e
Inhaltsfeld A (Funktionen und Analysis) · Kernlehrplan NRW · gültig für Zentralabitur 2027 · Unter-
richtsvorhaben Q1-II „Integral“ und Q1-III „Exponentialfunktion“
Lernziele dieses Hefts
• Du verstehst das Integral als Grenzwert von Produktsummen: Änderungsrate × Zeit →
Gesamtänderung/Bestand.
• Du bestimmst Stammfunktionen, nutzt den Hauptsatz und rechnest Flächen zwischen zwei
Graphen aus.
• Du kannst die Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion erklären und ln-Gesetze
anwenden.
• Du baust Wachstumsmodelle B(t) = a · bt bzw. a · ekt auf, bestimmst Parameter aus
Datenpunkten und deutest Verdopplungszeit.
1 Integral verstehen statt auswendig lernen
aufsummieren
Das Denk-Instrument des Abiturs ist die Kette: Änderungsrate (Ableitung) −−−−−−−−→ Be-
standsänderung (Integral). Wer eine Füllrate kennt, kennt dadurch den Füllstand; wer eine Ge-
schwindigkeit kennt, kennt den Weg.
Der Hauptsatz in einer Zeile
Ist F eine Stammfunktion von f (F ′ = f ), dann gilt
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Eine Integralfunktion (Bestandsfunktion) entsteht durch wandernde Obergrenze: B(x) = B0 +
Z x
f (t) dt.
0
1.1 Referenzbeispiel 1: Fläche unter einem Bergbogen
1
, Mathematik Abitur 2027 (NRW) · Q1 · Heft 2: Integralrechnung & Exponentialfunktion
Z 3
Beispiel – (−x2 + 6x) dx
0
Lösung (Schritt für Schritt)
3
Stammfunktion suchen (Potenzregel rückwärts): (−x2 + 6x) dx = − x3 + 3x2 + C.
R
Hauptsatz anwenden:
h i3
x3
− 3 + 3x2 = − 27
3 + 27 − 0 = −9 + 27 = 18.
0
Deutung: Zwischen x = 0 und x = 3 liegt genau 18 Flächeneinheiten zwischen Graph und
x-Achse – positiv, weil der Bogen dort vollständig oberhalb liegt.
1.2 Referenzbeispiel 2: Fläche zwischen zwei Graphen
Genau hier trennen sich gute von sehr guten Klausurbögen. Kernunterscheidung:
Vorzeichenintegral vs. geometrische Fläche
Das Integral ab f −g dx zählt Flächen mit Vorzeichen: Schnell kann sich positives gegen nega-
R
tives aufheben. Die Aufgabenfrage „Fläche zwischen den Graphen“ verlangt aber geometrische
Fläche: Teilstücke je zwischen Schnittpunkten getrennt betrachten und Beträge addieren.
Beispiel – f (x) = x + 2 und g(x) = x2 auf [−1; 3]
Lösung (Schritt für Schritt)
Schnittpunkte (wer überholt wen?): x+2 = x2 ⇐⇒ x2 −x−2 = 0 ⇐⇒ (x−2)(x+1) = 0,
also x = −1 (Intervallrand) und x = 2 (im Inneren).
Die Graphen tauschen bei x = 2 die Plätze, deshalb Trennstelle einziehen:
9 11 19
Z Z
2
[−1; 2] : (x + 2 − x ) dx + [2; 3] : (x + 2 − x2 ) dx = + = ≈ 6,33.
2 6 3
Zum Vergleich das ungeteilte Vorzeichenintegral:
Z 3
8
x + 2 − x2 dx =
≈ 2,67,
−1 3
Offensichtlich kleiner – die negative Sackfläche rechts von x = 2 hat einen Teil „weggestri-
chen“. Genau dieser Kontrast ist eine beliebte Abi-Fragestellung („Erklären Sie den Unter-
schied.“).
Seite 2 von 5
Von der Änderungsrate zum Bestand, Flächen zwischen Graphen und Wachstums-
modelle mit e
Inhaltsfeld A (Funktionen und Analysis) · Kernlehrplan NRW · gültig für Zentralabitur 2027 · Unter-
richtsvorhaben Q1-II „Integral“ und Q1-III „Exponentialfunktion“
Lernziele dieses Hefts
• Du verstehst das Integral als Grenzwert von Produktsummen: Änderungsrate × Zeit →
Gesamtänderung/Bestand.
• Du bestimmst Stammfunktionen, nutzt den Hauptsatz und rechnest Flächen zwischen zwei
Graphen aus.
• Du kannst die Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion erklären und ln-Gesetze
anwenden.
• Du baust Wachstumsmodelle B(t) = a · bt bzw. a · ekt auf, bestimmst Parameter aus
Datenpunkten und deutest Verdopplungszeit.
1 Integral verstehen statt auswendig lernen
aufsummieren
Das Denk-Instrument des Abiturs ist die Kette: Änderungsrate (Ableitung) −−−−−−−−→ Be-
standsänderung (Integral). Wer eine Füllrate kennt, kennt dadurch den Füllstand; wer eine Ge-
schwindigkeit kennt, kennt den Weg.
Der Hauptsatz in einer Zeile
Ist F eine Stammfunktion von f (F ′ = f ), dann gilt
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Eine Integralfunktion (Bestandsfunktion) entsteht durch wandernde Obergrenze: B(x) = B0 +
Z x
f (t) dt.
0
1.1 Referenzbeispiel 1: Fläche unter einem Bergbogen
1
, Mathematik Abitur 2027 (NRW) · Q1 · Heft 2: Integralrechnung & Exponentialfunktion
Z 3
Beispiel – (−x2 + 6x) dx
0
Lösung (Schritt für Schritt)
3
Stammfunktion suchen (Potenzregel rückwärts): (−x2 + 6x) dx = − x3 + 3x2 + C.
R
Hauptsatz anwenden:
h i3
x3
− 3 + 3x2 = − 27
3 + 27 − 0 = −9 + 27 = 18.
0
Deutung: Zwischen x = 0 und x = 3 liegt genau 18 Flächeneinheiten zwischen Graph und
x-Achse – positiv, weil der Bogen dort vollständig oberhalb liegt.
1.2 Referenzbeispiel 2: Fläche zwischen zwei Graphen
Genau hier trennen sich gute von sehr guten Klausurbögen. Kernunterscheidung:
Vorzeichenintegral vs. geometrische Fläche
Das Integral ab f −g dx zählt Flächen mit Vorzeichen: Schnell kann sich positives gegen nega-
R
tives aufheben. Die Aufgabenfrage „Fläche zwischen den Graphen“ verlangt aber geometrische
Fläche: Teilstücke je zwischen Schnittpunkten getrennt betrachten und Beträge addieren.
Beispiel – f (x) = x + 2 und g(x) = x2 auf [−1; 3]
Lösung (Schritt für Schritt)
Schnittpunkte (wer überholt wen?): x+2 = x2 ⇐⇒ x2 −x−2 = 0 ⇐⇒ (x−2)(x+1) = 0,
also x = −1 (Intervallrand) und x = 2 (im Inneren).
Die Graphen tauschen bei x = 2 die Plätze, deshalb Trennstelle einziehen:
9 11 19
Z Z
2
[−1; 2] : (x + 2 − x ) dx + [2; 3] : (x + 2 − x2 ) dx = + = ≈ 6,33.
2 6 3
Zum Vergleich das ungeteilte Vorzeichenintegral:
Z 3
8
x + 2 − x2 dx =
≈ 2,67,
−1 3
Offensichtlich kleiner – die negative Sackfläche rechts von x = 2 hat einen Teil „weggestri-
chen“. Genau dieser Kontrast ist eine beliebte Abi-Fragestellung („Erklären Sie den Unter-
schied.“).
Seite 2 von 5
