Q1 – Ganzrationale Funktionen & Differentialrechnung
Kurvendiskussion Schritt für Schritt: Krümmung, Extrempunkte, Tangenten, Ex-
tremwertaufgabe
Inhaltsfeld A (Funktionen und Analysis) · Kernlehrplan NRW · gültig für Zentralabitur 2027 · Unter-
richtsvorhaben Q1-I „ganzrationale Funktionen“
Lernziele dieses Hefts
• Du kannst f ′ (x), f ′′ (x) und f ′′′ (x) für ganzrationale Funktionen bestimmen und ihren Sinn
erklären.
• Du findest Hoch-, Tief- und Wendepunkte mit den richtigen Kriterien und begründest sie
abiturkonform.
• Du stellst eine Tangente an einen gegebenen Punkt auf und erkennst den Spezialfall waa-
gerechte Tangente.
• Du löst eine Extremwertaufgabe vom Typ Karton-Kasten inklusive Modellierungskreislauf.
1 Warum die zweite Ableitung der Schlüssel ist
Im Zentralabitur werden ganzrationale Funktionen nicht mehr nur abgeleitet, sondern voll untersucht.
Die Rollenteilung ist klar: Die erste Ableitung sagt dir, wo der Graph steigt oder fällt; die zweite
Ableitung sagt dir, wie er sich dabei krümmt. Beides zusammen liefert alle markanten Punkte des
Graphen.
1.1 Die drei Kriterien – kompakt und korrekt formuliert
Extremwerte: erst suchen, dann sortieren
Notwendiges Kriterium: Bei einem Extrempunkt gilt f ′ (x0 ) = 0. Damit weißt du nur: Hier
lohnt sich ein Blick.
Hinreichende Kriterien (ist f ′ (x0 ) = 0, prüfe eines von beiden):
• Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt f ′ bei x0 von + nach − ⇒ Hochpunkt; von − nach
+ ⇒ Tiefpunkt.
• f ′′ -Kriterium: f ′′ (x0 ) < 0 ⇒ Hochpunkt (Rechtskurve), f ′′ (x0 ) > 0 ⇒ Tiefpunkt (Links-
kurve).
Das f ′′ -Kriterium ist schnell; das Vorzeichenwechselkriterium brauchst du immer dann, wenn
f ′′ (x0 ) = 0 ist oder du keine zweite Ableitung herleiten willst.
Wendepunkte: analog aufgebaut
Suchen: f ′′ (xw ) = 0 setzen.
Bestätigen: f ′′′ (xw ) ̸= 0 zeigen oder einen Vorzeichenwechsel von f ′′ an xw .
Koordinaten-Satz: W xw f (xw ) – den y-Wert nie vergessen!
1
, Mathematik Abitur 2027 (NRW) · Q1 · Heft 1: Ganzrationale Funktionen
Zwei Klassiker im Original
„f ′ (x0 ) = 0 heißt Extremstelle“ – falsch! Das ist zunächst nur ein Kandidat. Ohne hinreichendes
Kriterium gibt es dafür null Punkte.
Und umgekehrt: Wer nur f ′′ (xw ) = 0 notiert, ohne zu begründen (Wechsel oder f ′′′ ), präsentiert
einen Verdächtigen ohne Beweis.
2 Referenzbeispiel: Die Kurve im Detail
Wir begleiten durch das gesamte Heft die Funktion
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
Sie gehört zum Standardrepertoire, weil alle Besonderheiten ganzzahlig ausfallen.
2.1 Ableitungen bilden
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 f ′ (x) = 3x2 − 12x + 9 f ′′ (x) = 6x − 12
| {z } | {z } | {z }
Graph = 3(x−1)(x−3) = 6(x−2)
2.2 Extrempunkte finden
Lösung (Schritt für Schritt)
Schritt 1 (notwendig):
f ′ (x) = 0 ⇐⇒ 3(x − 1)(x − 3) = 0 ⇐⇒ x1 = 1, x2 = 3.
Schritt 2 (hinreichend mit f ′′ ):
f ′′ (1) = 6 · 1 − 12 = −6 < 0 ⇒ Hochpunkt, f ′′ (3) = 18 − 12 = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt.
Schritt 3 (y-Koordinaten):
f (1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5, f (3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1.
Also: H(1 | 5) und T (3 | 1) .
2.3 Wendepunkt finden
Lösung (Schritt für Schritt)
f ′′ (x) = 6x − 12 = 0 =⇒ xw = 2, f ′′′ (x) = 6 ̸= 0 ⇒ echter Wendepunkt.
Der Graph wechselt dort von Links- zu Rechtskurve. Mit f (2) = 8−24+18+1 = 3 folgt W (2 | 3).
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Kurvendiskussion Schritt für Schritt: Krümmung, Extrempunkte, Tangenten, Ex-
tremwertaufgabe
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richtsvorhaben Q1-I „ganzrationale Funktionen“
Lernziele dieses Hefts
• Du kannst f ′ (x), f ′′ (x) und f ′′′ (x) für ganzrationale Funktionen bestimmen und ihren Sinn
erklären.
• Du findest Hoch-, Tief- und Wendepunkte mit den richtigen Kriterien und begründest sie
abiturkonform.
• Du stellst eine Tangente an einen gegebenen Punkt auf und erkennst den Spezialfall waa-
gerechte Tangente.
• Du löst eine Extremwertaufgabe vom Typ Karton-Kasten inklusive Modellierungskreislauf.
1 Warum die zweite Ableitung der Schlüssel ist
Im Zentralabitur werden ganzrationale Funktionen nicht mehr nur abgeleitet, sondern voll untersucht.
Die Rollenteilung ist klar: Die erste Ableitung sagt dir, wo der Graph steigt oder fällt; die zweite
Ableitung sagt dir, wie er sich dabei krümmt. Beides zusammen liefert alle markanten Punkte des
Graphen.
1.1 Die drei Kriterien – kompakt und korrekt formuliert
Extremwerte: erst suchen, dann sortieren
Notwendiges Kriterium: Bei einem Extrempunkt gilt f ′ (x0 ) = 0. Damit weißt du nur: Hier
lohnt sich ein Blick.
Hinreichende Kriterien (ist f ′ (x0 ) = 0, prüfe eines von beiden):
• Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt f ′ bei x0 von + nach − ⇒ Hochpunkt; von − nach
+ ⇒ Tiefpunkt.
• f ′′ -Kriterium: f ′′ (x0 ) < 0 ⇒ Hochpunkt (Rechtskurve), f ′′ (x0 ) > 0 ⇒ Tiefpunkt (Links-
kurve).
Das f ′′ -Kriterium ist schnell; das Vorzeichenwechselkriterium brauchst du immer dann, wenn
f ′′ (x0 ) = 0 ist oder du keine zweite Ableitung herleiten willst.
Wendepunkte: analog aufgebaut
Suchen: f ′′ (xw ) = 0 setzen.
Bestätigen: f ′′′ (xw ) ̸= 0 zeigen oder einen Vorzeichenwechsel von f ′′ an xw .
Koordinaten-Satz: W xw f (xw ) – den y-Wert nie vergessen!
1
, Mathematik Abitur 2027 (NRW) · Q1 · Heft 1: Ganzrationale Funktionen
Zwei Klassiker im Original
„f ′ (x0 ) = 0 heißt Extremstelle“ – falsch! Das ist zunächst nur ein Kandidat. Ohne hinreichendes
Kriterium gibt es dafür null Punkte.
Und umgekehrt: Wer nur f ′′ (xw ) = 0 notiert, ohne zu begründen (Wechsel oder f ′′′ ), präsentiert
einen Verdächtigen ohne Beweis.
2 Referenzbeispiel: Die Kurve im Detail
Wir begleiten durch das gesamte Heft die Funktion
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
Sie gehört zum Standardrepertoire, weil alle Besonderheiten ganzzahlig ausfallen.
2.1 Ableitungen bilden
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 f ′ (x) = 3x2 − 12x + 9 f ′′ (x) = 6x − 12
| {z } | {z } | {z }
Graph = 3(x−1)(x−3) = 6(x−2)
2.2 Extrempunkte finden
Lösung (Schritt für Schritt)
Schritt 1 (notwendig):
f ′ (x) = 0 ⇐⇒ 3(x − 1)(x − 3) = 0 ⇐⇒ x1 = 1, x2 = 3.
Schritt 2 (hinreichend mit f ′′ ):
f ′′ (1) = 6 · 1 − 12 = −6 < 0 ⇒ Hochpunkt, f ′′ (3) = 18 − 12 = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt.
Schritt 3 (y-Koordinaten):
f (1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5, f (3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1.
Also: H(1 | 5) und T (3 | 1) .
2.3 Wendepunkt finden
Lösung (Schritt für Schritt)
f ′′ (x) = 6x − 12 = 0 =⇒ xw = 2, f ′′′ (x) = 6 ̸= 0 ⇒ echter Wendepunkt.
Der Graph wechselt dort von Links- zu Rechtskurve. Mit f (2) = 8−24+18+1 = 3 folgt W (2 | 3).
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