MUESTRA DE PRUEBA DE VALIDACIÓN Y DE EXAMEN
1. Si en el modelo de regresión: 𝑌# = ∝& +∝( ∗ 𝐸𝑋𝑃𝑂𝑅𝑇𝑆# + ∝1 ∗ 𝐼𝑀𝑃𝑂𝑅𝑇𝑆# + 𝑈# , donde i = 1,
..., 150, la Var (U i ) = s 2 (a + b * EXPORTS i ) , explicad dos maneras de estimar de
manera eficiente el modelo (definid con detalle las matrices aplicadas que recojan las
características de la varianza de Ui):
Solución:
Las dos soluciones son:
a. Estimar el modelo por MCG, utilizando la matriz Ω-1:
æ1 /(d 0 + d 1 Exports1 ) 0 ... 0 ö
ç ÷
ç 0 1 /(d + d 1 Exports2 ) ... 0 ÷
W -1 =ç 0
÷
... ... ... ...
ç ÷
ç 0 0 ... 1 /(d 0 + d 1 Exports150 ) ÷ø
è
Así, el estimador sería: 𝛽678 = (𝑋 : W -1𝑋)<( (𝑋 : W -1 Y)
b. Estimar el modelo por MCPonderados, transformando las variables del modelo original
mediante:
æ 1 ö
ç 0 ... 0 ÷
ç d 0 + d 1 Exports1 ÷
ç 1 ÷
0 ... 0
T =ç d 0 + d 1 Exports 2
÷
ç ÷
ç ... ... ... ... ÷
ç 1 ÷
ç 0 0 ... ÷
è d 0 + d 1 Exports150 ø
Así: 𝛽67> = (𝑋 ∗: 𝑋 ∗ )<( (𝑋 ∗: 𝑌 ∗ ) , donde las variables con * son las que resultan de la
transformación de la variable inicial al ser multiplicada por la matriz T.
2. Se ha procedido a estimar una ecuación que relaciona el término de perturbación estimado
(et) de un modelo con los regresores del modelo original (x1,t y x2,t) y un retardo del término
de perturbación (et-1), obteniendo la siguiente información:
𝑒@ = 0,3 + 0,23𝑥(,@ + 0,8𝑥1,@ + 0,51𝑒@<( + 𝑣@ ;
𝑅 1 = 0,46; 𝑆𝐶𝑅 = 125,6; 𝑇 = 100
A partir de esta información contrastad la presencia de autocorrelación en el término de
perturbación, indicando las hipótesis nula y alternativa, estadístico de prueba y resultado de
la inferencia que realices.
Solución:
La información que se proporciona permite calcular el estadístico de prueba de Breusch-
Godfrey, estadístico que contrasta la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la
hipótesis alternativa de autocorrelación. El estadístico de prueba se calcula como BG =
, R2*T = 0,46*100 = 46, donde R2 es el coeficiente de determinación de la regresión auxiliar
que relaciona los residuos estimados con una constante, los regresores del modelo original y
tantos retardos de los residuos como el orden del modelo autorregresivo que se quiera
contrastar (uno en este caso). El valor de este estadístico de prueba hay que compararlo con
una distribución Gi-cuadrado con tantos grados de libertad como el orden del modelo
autorregresivo que se quiera contrastar (uno en este caso). Por tanto, como el valor del
estadístico de prueba BG es superior al valor de una Gi-cuadrado con un grado de libertad a
un nivel de significación del 5% (valor que es de 3.841), se rechaza la hipótesis nula de no
autocorrelación en el término de perturbación.
3. Dado el modelo de ecuaciones simultaneas:
%
' Y1t = β12Y2t + γ11Z1t − γ12 Z 2t + u1t
'
& Y2t = β 21Y1t + β 23Y3t − γ 21Z1t + u2t
'Y = β Y + β Y − γ Z + u
'( 3t 31 1t 32 2t 33 3t 3t
Se pide identificar la segunda ecuación del modelo.
Solución: €
Para identificar las ecuaciones, tenemos que construir la matriz A asociada a los parámetros
de la forma estructural:
1 −β12 0 −γ11 γ12 0
A= −β 21 1 −β 23 γ 21 0 0
−β 31 −β 32 1 0 0 γ 33
# 0 0&
% (
€ % 0 0(
% 0 0(
La matriz de restricciones de la segunda ecuación es: φ = % ( de manera que:
% 0 0 (
% 1 0(
% (
$ 0 1'
$ γ12 0 '
& )
Aφ = & 0 0 ) . El rango de esta matriz es 2, que coincide con el número total de endógenas
& )
% 0 γ 33 ( €
menos 1, de manera que la ecuación está identificada.
La ecuación está exactamente identificada ya que hay 2 restricciones, número de restricciones
€ que iguala el número de endógenas menos 1.
4. Sea el modelo:
Yt = −0,80 + 0,64 X t + 0,17 X t−1 + 0,54 Yt−1 + uˆ t
€
1. Si en el modelo de regresión: 𝑌# = ∝& +∝( ∗ 𝐸𝑋𝑃𝑂𝑅𝑇𝑆# + ∝1 ∗ 𝐼𝑀𝑃𝑂𝑅𝑇𝑆# + 𝑈# , donde i = 1,
..., 150, la Var (U i ) = s 2 (a + b * EXPORTS i ) , explicad dos maneras de estimar de
manera eficiente el modelo (definid con detalle las matrices aplicadas que recojan las
características de la varianza de Ui):
Solución:
Las dos soluciones son:
a. Estimar el modelo por MCG, utilizando la matriz Ω-1:
æ1 /(d 0 + d 1 Exports1 ) 0 ... 0 ö
ç ÷
ç 0 1 /(d + d 1 Exports2 ) ... 0 ÷
W -1 =ç 0
÷
... ... ... ...
ç ÷
ç 0 0 ... 1 /(d 0 + d 1 Exports150 ) ÷ø
è
Así, el estimador sería: 𝛽678 = (𝑋 : W -1𝑋)<( (𝑋 : W -1 Y)
b. Estimar el modelo por MCPonderados, transformando las variables del modelo original
mediante:
æ 1 ö
ç 0 ... 0 ÷
ç d 0 + d 1 Exports1 ÷
ç 1 ÷
0 ... 0
T =ç d 0 + d 1 Exports 2
÷
ç ÷
ç ... ... ... ... ÷
ç 1 ÷
ç 0 0 ... ÷
è d 0 + d 1 Exports150 ø
Así: 𝛽67> = (𝑋 ∗: 𝑋 ∗ )<( (𝑋 ∗: 𝑌 ∗ ) , donde las variables con * son las que resultan de la
transformación de la variable inicial al ser multiplicada por la matriz T.
2. Se ha procedido a estimar una ecuación que relaciona el término de perturbación estimado
(et) de un modelo con los regresores del modelo original (x1,t y x2,t) y un retardo del término
de perturbación (et-1), obteniendo la siguiente información:
𝑒@ = 0,3 + 0,23𝑥(,@ + 0,8𝑥1,@ + 0,51𝑒@<( + 𝑣@ ;
𝑅 1 = 0,46; 𝑆𝐶𝑅 = 125,6; 𝑇 = 100
A partir de esta información contrastad la presencia de autocorrelación en el término de
perturbación, indicando las hipótesis nula y alternativa, estadístico de prueba y resultado de
la inferencia que realices.
Solución:
La información que se proporciona permite calcular el estadístico de prueba de Breusch-
Godfrey, estadístico que contrasta la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la
hipótesis alternativa de autocorrelación. El estadístico de prueba se calcula como BG =
, R2*T = 0,46*100 = 46, donde R2 es el coeficiente de determinación de la regresión auxiliar
que relaciona los residuos estimados con una constante, los regresores del modelo original y
tantos retardos de los residuos como el orden del modelo autorregresivo que se quiera
contrastar (uno en este caso). El valor de este estadístico de prueba hay que compararlo con
una distribución Gi-cuadrado con tantos grados de libertad como el orden del modelo
autorregresivo que se quiera contrastar (uno en este caso). Por tanto, como el valor del
estadístico de prueba BG es superior al valor de una Gi-cuadrado con un grado de libertad a
un nivel de significación del 5% (valor que es de 3.841), se rechaza la hipótesis nula de no
autocorrelación en el término de perturbación.
3. Dado el modelo de ecuaciones simultaneas:
%
' Y1t = β12Y2t + γ11Z1t − γ12 Z 2t + u1t
'
& Y2t = β 21Y1t + β 23Y3t − γ 21Z1t + u2t
'Y = β Y + β Y − γ Z + u
'( 3t 31 1t 32 2t 33 3t 3t
Se pide identificar la segunda ecuación del modelo.
Solución: €
Para identificar las ecuaciones, tenemos que construir la matriz A asociada a los parámetros
de la forma estructural:
1 −β12 0 −γ11 γ12 0
A= −β 21 1 −β 23 γ 21 0 0
−β 31 −β 32 1 0 0 γ 33
# 0 0&
% (
€ % 0 0(
% 0 0(
La matriz de restricciones de la segunda ecuación es: φ = % ( de manera que:
% 0 0 (
% 1 0(
% (
$ 0 1'
$ γ12 0 '
& )
Aφ = & 0 0 ) . El rango de esta matriz es 2, que coincide con el número total de endógenas
& )
% 0 γ 33 ( €
menos 1, de manera que la ecuación está identificada.
La ecuación está exactamente identificada ya que hay 2 restricciones, número de restricciones
€ que iguala el número de endógenas menos 1.
4. Sea el modelo:
Yt = −0,80 + 0,64 X t + 0,17 X t−1 + 0,54 Yt−1 + uˆ t
€
