Kansrekening en statistiek
Bart Peiren
1
,Inhoudsopgave
1 Inleiding 5
1.1 Soorten statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Gegevens en variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Soorten data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Kwalitatieve en kwantitatieve gegevens . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Univariate en multivariate gegevens . . . . . . . . . . . . 6
2 Beschrijvende statistiek 7
2.1 Grafische voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Histogram met relatieve frequentie (dichtheidsschaal) . . . 7
Oppervlak bij histogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Cumulatief frequentiediagram . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Polygonen en ogieven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 Empirische verdelingsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.6 Stengel-en-bladdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.7 Pareto-diagram en taartdiagram . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.8 Scatterdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Data samenvatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Kengetallen van centrale tendus of centrummaten . . . . 11
2.2.1.1 Gemiddelde . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1.2 Mediaan . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1.3 Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1.4 Midrange . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1.5 Gewogen gemiddelde . . . . . . . . . 12
2.2.2 Kengetallen van variantie of spreidingsmaten . . . . . . . 12
2.2.2.1 Bereik of range . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2.2 Variantie en standaardafwijking . . . 12
Variantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Standaardafwijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chebychev’s theorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2.3 Mediaan absolute afwijking (MAD)
en gemiddelde absolute afwijking (Me-
anAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Kengetallen voor de positie van een datapunt . . . . . . . 14
2.2.3.1 z-score of standaardscore . . . . . . . 14
2.2.3.2 Percentielen . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.3 Kwantielen . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.4 Interkwartiel . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 De symmetrie van een verdeling . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 EDA - Exploratory Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Kansrekening 19
2
,4 Stochastische variabelen en hun verdelingsfunctie 22
4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Discrete en continue verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Gevolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Functies van stochastieken en hun verdelingsfunctie . . . 23
4.3 Percentielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Meerdimensionale stochastieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Onafhankelijke stochastische variabelen . . . . . . . . . . . . . . 23
Gevolg 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Gevolg 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Verwachtingswaarde, variantie, en standaardafwijking . . . . . . 24
Gevolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Eigenschappen van verwachtingswaarde en variantie . . . 25
4.7 Momenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.8 Kengetallen van locatie, schaal en vorm van een stochastiek . . . 30
4.8.5 Covariantie en correlatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Verdelingen van toevalsvariabelen 31
5.1 Discrete verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Discrete uniforme verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.2 Bernoulli-verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.3 Binomiale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.4 Geometrische verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.5 Hypergeometrische verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.6 Poissonverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.7 Overzicht van discrete verdelingen . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Continue verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.1 Continue uniforme verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.2 Exponentiële verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.3 Normale verdeling of Gaussverdeling . . . . . . . . . . . . 41
5.2.3.1 De standaard normale verdeling . . . 41
5.2.4 De Chi-kwadraatverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.5 De Student t-verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.6 De F-verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.7 Overzicht van continue verdelingen . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 De meerdimensionale normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 De meerdimensionale standaard normale verdeling . . . . 43
5.3.2 De meerdimensionale normale verdeling . . . . . . . . . . 43
5.4 De centrale limietstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Gevolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.2 De stelling en haar gevolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.3 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
, 6 Verklarende statistiek 45
6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Statistieken en schatters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Het schatten van de verwachtingswaarde en de variantie . . . . . 48
6.4 Het schatten van parameters en betrouwbaarheidsintervallen . . 48
6.4.1 Het schatten van mu indien sigma bekend is . . . . . . . . 48
6.4.2 Het schatten van mu indien sigma niet bekend is . . . . . 48
6.4.3 Het schatten van sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 Het toetsen van hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5.1 Het toetsen van het gemiddelde als de variantie gekend is 48
6.5.2 T-toets: het toetsen van het gemiddelde als de variantie
ongekend is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4
Bart Peiren
1
,Inhoudsopgave
1 Inleiding 5
1.1 Soorten statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Gegevens en variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Soorten data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Kwalitatieve en kwantitatieve gegevens . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Univariate en multivariate gegevens . . . . . . . . . . . . 6
2 Beschrijvende statistiek 7
2.1 Grafische voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Histogram met relatieve frequentie (dichtheidsschaal) . . . 7
Oppervlak bij histogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Cumulatief frequentiediagram . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Polygonen en ogieven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5 Empirische verdelingsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.6 Stengel-en-bladdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.7 Pareto-diagram en taartdiagram . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.8 Scatterdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Data samenvatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Kengetallen van centrale tendus of centrummaten . . . . 11
2.2.1.1 Gemiddelde . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1.2 Mediaan . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1.3 Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1.4 Midrange . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1.5 Gewogen gemiddelde . . . . . . . . . 12
2.2.2 Kengetallen van variantie of spreidingsmaten . . . . . . . 12
2.2.2.1 Bereik of range . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2.2 Variantie en standaardafwijking . . . 12
Variantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Standaardafwijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chebychev’s theorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2.3 Mediaan absolute afwijking (MAD)
en gemiddelde absolute afwijking (Me-
anAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Kengetallen voor de positie van een datapunt . . . . . . . 14
2.2.3.1 z-score of standaardscore . . . . . . . 14
2.2.3.2 Percentielen . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.3 Kwantielen . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3.4 Interkwartiel . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 De symmetrie van een verdeling . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 EDA - Exploratory Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Kansrekening 19
2
,4 Stochastische variabelen en hun verdelingsfunctie 22
4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Discrete en continue verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Gevolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Functies van stochastieken en hun verdelingsfunctie . . . 23
4.3 Percentielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Meerdimensionale stochastieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Onafhankelijke stochastische variabelen . . . . . . . . . . . . . . 23
Gevolg 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Gevolg 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Verwachtingswaarde, variantie, en standaardafwijking . . . . . . 24
Gevolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Eigenschappen van verwachtingswaarde en variantie . . . 25
4.7 Momenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.8 Kengetallen van locatie, schaal en vorm van een stochastiek . . . 30
4.8.5 Covariantie en correlatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Verdelingen van toevalsvariabelen 31
5.1 Discrete verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Discrete uniforme verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.2 Bernoulli-verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.3 Binomiale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.4 Geometrische verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.5 Hypergeometrische verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.6 Poissonverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.7 Overzicht van discrete verdelingen . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Continue verdelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.1 Continue uniforme verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.2 Exponentiële verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.3 Normale verdeling of Gaussverdeling . . . . . . . . . . . . 41
5.2.3.1 De standaard normale verdeling . . . 41
5.2.4 De Chi-kwadraatverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.5 De Student t-verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.6 De F-verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.7 Overzicht van continue verdelingen . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 De meerdimensionale normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 De meerdimensionale standaard normale verdeling . . . . 43
5.3.2 De meerdimensionale normale verdeling . . . . . . . . . . 43
5.4 De centrale limietstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Gevolg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.2 De stelling en haar gevolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.3 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
, 6 Verklarende statistiek 45
6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Statistieken en schatters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Het schatten van de verwachtingswaarde en de variantie . . . . . 48
6.4 Het schatten van parameters en betrouwbaarheidsintervallen . . 48
6.4.1 Het schatten van mu indien sigma bekend is . . . . . . . . 48
6.4.2 Het schatten van mu indien sigma niet bekend is . . . . . 48
6.4.3 Het schatten van sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 Het toetsen van hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5.1 Het toetsen van het gemiddelde als de variantie gekend is 48
6.5.2 T-toets: het toetsen van het gemiddelde als de variantie
ongekend is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4
