Module 14: Afgeleiden
voor functies van meerdere
veranderlijken
Les 6 – deel a
Partiële afgeleiden & eersteordebenadering
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
De afgeleide meet de mate van verandering van een functie. In Module 13 deed
je dat voor f (x) – één veranderlijke. Maar wat met f (x1 , x2 )? De grafiek is dan
een oppervlak in R3 . Twee strategieën:
1. kijken hoe f verandert langs elke as – de partiële afgeleiden (deze les);
2. kijken hoe f verandert in elke richting – de richtingsafgeleiden (volgende les).
Daarna leer je hoe je f in de buurt van een punt mooi kan benaderen door een
vlak – de eersteordebenadering (= raakvlak).
Studiedocument — alle definities, stellingen, voorbeelden en toepassingen
Les 6 – Module 14a
, Module 14: Afgeleiden meerdere veranderlijken Les 6 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Inleiding: van één naar meerdere veranderlijken 3
2 Partiële afgeleiden 3
2.1 Het idee: één veranderlijke constant houden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Definitie voor n = 2 veranderlijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Meetkundige betekenis: het raakkruis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Eerste voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Algemene definitie (voor n veranderlijken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 Meer voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7 Economische interpretatie: marginale productiviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Eersteordebenadering 7
3.1 Het idee: omweg via twee stappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Algemene stelling (voor n veranderlijken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Meetkundige interpretatie: het raakvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Waarom is continuïteit van Di f nodig? – een tegenvoorbeeld . . . . . . . . . . . . 9
P ∂f
3.5 De praktische formule: ∆f ≈ ∆xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
∂xi
4 Volledig uitgewerkte toepassing – waspoeder Wit & Witter 11
4.1 Het probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Aanpak met de eersteordebenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Samenvattend formuleblad 12
1
voor functies van meerdere
veranderlijken
Les 6 – deel a
Partiële afgeleiden & eersteordebenadering
Volledige samenvatting met uitleg, grafieken en uitgewerkte oefeningen
Waar gaat deze les over?
De afgeleide meet de mate van verandering van een functie. In Module 13 deed
je dat voor f (x) – één veranderlijke. Maar wat met f (x1 , x2 )? De grafiek is dan
een oppervlak in R3 . Twee strategieën:
1. kijken hoe f verandert langs elke as – de partiële afgeleiden (deze les);
2. kijken hoe f verandert in elke richting – de richtingsafgeleiden (volgende les).
Daarna leer je hoe je f in de buurt van een punt mooi kan benaderen door een
vlak – de eersteordebenadering (= raakvlak).
Studiedocument — alle definities, stellingen, voorbeelden en toepassingen
Les 6 – Module 14a
, Module 14: Afgeleiden meerdere veranderlijken Les 6 – Volledige samenvatting
Contents
Hoe lees je deze samenvatting? 2
1 Inleiding: van één naar meerdere veranderlijken 3
2 Partiële afgeleiden 3
2.1 Het idee: één veranderlijke constant houden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Definitie voor n = 2 veranderlijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Meetkundige betekenis: het raakkruis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Eerste voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Algemene definitie (voor n veranderlijken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 Meer voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.7 Economische interpretatie: marginale productiviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Eersteordebenadering 7
3.1 Het idee: omweg via twee stappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Algemene stelling (voor n veranderlijken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Meetkundige interpretatie: het raakvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Waarom is continuïteit van Di f nodig? – een tegenvoorbeeld . . . . . . . . . . . . 9
P ∂f
3.5 De praktische formule: ∆f ≈ ∆xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
∂xi
4 Volledig uitgewerkte toepassing – waspoeder Wit & Witter 11
4.1 Het probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Aanpak met de eersteordebenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Samenvattend formuleblad 12
1
