Samenvatting Wiskunde D
Hoofdstukken 9 tot en met 12
Inhoudsopgave
1 Hoofdstuk 9: Meetkundige plaatsen en raaklijneigenschappen 2
1.1 9.1 Meetkundige plaatsen met GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 9.2 Meetkundige plaatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 9.3 Raaklijneigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Hoofdstuk 10: Complexe getallen 4
2.1 10.1 Rekenen met complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 10.2 Het complexe vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 10.3 Poolcoördinaten en de formule van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 10.4 Complexe e-machten en complexe wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 10.5 Krachten en snelheden met complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Hoofdstuk 11: Lineaire algebra 7
3.1 11.1 Matrixrekening met GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 11.2 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Hoofdstuk 12: Continue kansverdelingen 10
4.1 12.1 Kansdichtheid en verdelingsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 12.2 De normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 12.3 Toepassingen van de normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 12.4 Som en verschil van toevalsvariabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 12.5 De exponentiële verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
, 1 Hoofdstuk 9: Meetkundige plaatsen en raaklijneigenschappen
1.1 9.1 Meetkundige plaatsen met GeoGebra
Een meetkundige plaats is een verzameling punten die allemaal aan dezelfde meetkundige eigen-
schap voldoen. Een meetkundige plaats kan worden onderzocht door een punt te laten bewegen en
het spoor van een hiervan afhankelijk punt te tekenen. GeoGebra kan de volledige meetkundige
plaats ook direct bepalen.
Bij de constructies in dit hoofdstuk wordt vaak het volgende principe gebruikt:
• kies een beweeglijk punt V op een lijn of cirkel;
• construeer een lijn door V en een middelloodlijn van een geschikt lijnstuk F V ;
• het snijpunt P van deze lijnen voldoet aan de vereiste afstandseigenschap;
• terwijl V beweegt, beschrijft P een parabool, ellips of hyperbool.
Een belangrijk voorbeeld is de parabool met brandpunt F en richtlijn l. Kies V ∈ l, teken
door V de loodlijn op l en teken de middelloodlijn van F V . Het snijpunt P voldoet dan aan
d(P, F ) = d(P, l).
De middelloodlijn die bij deze constructie wordt gebruikt, blijkt bovendien de raaklijn aan de
parabool in P te zijn.
1.2 9.2 Meetkundige plaatsen
Elementaire meetkundige plaatsen
De volgende meetkundige plaatsen moet je herkennen:
• d(P, A) = d(P, B): de middelloodlijn van het lijnstuk AB;
• d(P, k) = d(P, l) bij twee snijdende lijnen: het bissectricepaar van k en l;
• d(P, k) = d(P, l) bij twee evenwijdige lijnen: de middenparallel van k en l;
• d(P, M ) = r: de cirkel met middelpunt M en straal r.
De parabool
Een parabool met brandpunt F en richtlijn l, waarbij F ∈
/ l, is de verzameling punten P waarvoor
d(P, F ) = d(P, l).
De lijn door het brandpunt loodrecht op de richtlijn is de symmetrieas. Het punt van de parabool
op deze as dat het dichtst bij de richtlijn ligt, heet de top.
De ellips
Een ellips kan worden geconstrueerd als de meetkundige plaats van punten die gelijke afstanden
hebben tot een punt F binnen een cirkel c en tot die cirkel. De cirkel heet dan een richtcirkel.
De ellips heeft twee brandpunten F1 en F2 en voor elk punt P op de ellips geldt
d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = constant.
In de gebruikelijke notatie is deze constante gelijk aan de lengte 2a van de lange as.
De belangrijkste onderdelen van een ellips zijn:
• de lange as met lengte 2a;
• de korte as met lengte 2b;
• de brandpuntsafstand F1 F2 = 2c;
• het middelpunt: het snijpunt van de twee symmetrieassen;
2
Hoofdstukken 9 tot en met 12
Inhoudsopgave
1 Hoofdstuk 9: Meetkundige plaatsen en raaklijneigenschappen 2
1.1 9.1 Meetkundige plaatsen met GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 9.2 Meetkundige plaatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 9.3 Raaklijneigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Hoofdstuk 10: Complexe getallen 4
2.1 10.1 Rekenen met complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 10.2 Het complexe vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 10.3 Poolcoördinaten en de formule van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 10.4 Complexe e-machten en complexe wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 10.5 Krachten en snelheden met complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Hoofdstuk 11: Lineaire algebra 7
3.1 11.1 Matrixrekening met GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 11.2 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 11.3 Eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 11.4 Machtreeksen en differentievergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Hoofdstuk 12: Continue kansverdelingen 10
4.1 12.1 Kansdichtheid en verdelingsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 12.2 De normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 12.3 Toepassingen van de normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 12.4 Som en verschil van toevalsvariabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 12.5 De exponentiële verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
, 1 Hoofdstuk 9: Meetkundige plaatsen en raaklijneigenschappen
1.1 9.1 Meetkundige plaatsen met GeoGebra
Een meetkundige plaats is een verzameling punten die allemaal aan dezelfde meetkundige eigen-
schap voldoen. Een meetkundige plaats kan worden onderzocht door een punt te laten bewegen en
het spoor van een hiervan afhankelijk punt te tekenen. GeoGebra kan de volledige meetkundige
plaats ook direct bepalen.
Bij de constructies in dit hoofdstuk wordt vaak het volgende principe gebruikt:
• kies een beweeglijk punt V op een lijn of cirkel;
• construeer een lijn door V en een middelloodlijn van een geschikt lijnstuk F V ;
• het snijpunt P van deze lijnen voldoet aan de vereiste afstandseigenschap;
• terwijl V beweegt, beschrijft P een parabool, ellips of hyperbool.
Een belangrijk voorbeeld is de parabool met brandpunt F en richtlijn l. Kies V ∈ l, teken
door V de loodlijn op l en teken de middelloodlijn van F V . Het snijpunt P voldoet dan aan
d(P, F ) = d(P, l).
De middelloodlijn die bij deze constructie wordt gebruikt, blijkt bovendien de raaklijn aan de
parabool in P te zijn.
1.2 9.2 Meetkundige plaatsen
Elementaire meetkundige plaatsen
De volgende meetkundige plaatsen moet je herkennen:
• d(P, A) = d(P, B): de middelloodlijn van het lijnstuk AB;
• d(P, k) = d(P, l) bij twee snijdende lijnen: het bissectricepaar van k en l;
• d(P, k) = d(P, l) bij twee evenwijdige lijnen: de middenparallel van k en l;
• d(P, M ) = r: de cirkel met middelpunt M en straal r.
De parabool
Een parabool met brandpunt F en richtlijn l, waarbij F ∈
/ l, is de verzameling punten P waarvoor
d(P, F ) = d(P, l).
De lijn door het brandpunt loodrecht op de richtlijn is de symmetrieas. Het punt van de parabool
op deze as dat het dichtst bij de richtlijn ligt, heet de top.
De ellips
Een ellips kan worden geconstrueerd als de meetkundige plaats van punten die gelijke afstanden
hebben tot een punt F binnen een cirkel c en tot die cirkel. De cirkel heet dan een richtcirkel.
De ellips heeft twee brandpunten F1 en F2 en voor elk punt P op de ellips geldt
d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = constant.
In de gebruikelijke notatie is deze constante gelijk aan de lengte 2a van de lange as.
De belangrijkste onderdelen van een ellips zijn:
• de lange as met lengte 2a;
• de korte as met lengte 2b;
• de brandpuntsafstand F1 F2 = 2c;
• het middelpunt: het snijpunt van de twee symmetrieassen;
2
