Résumé Limites de suites | Fiche de révision

LIMITES DE SUITES


Suites convergentes de référence Suites divergentes de référence
1
lim =0 lim n = +∞
n→+∞ n n→+∞

1 lim en = +∞
lim √ = 0 n→+∞
n→+∞ n
lim nk = +∞, avec k ≥ 1
1 n→+∞
lim = 0, avec k ∈ N∗ √
n→+∞ nk
lim n = +∞
n→+∞

Opérations sur les limites
Somme de deux suites
lim un l l l +∞ −∞ +∞
lim vn l ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
lim(un + vn ) l + l′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I.

Produit de deux suites
lim un l l ̸= 0 ±∞ 0
lim vn l′ ±∞ ±∞ ±∞
lim(un × vn ) l × l′ ±∞ (règle des signes) ±∞ (règle des signes) F.I.

Quotient de deux suites
lim un l l > 0 ou +∞ l < 0 ou −∞ l ou ±∞ ±∞ 0
lim vn l′ ̸= 0 0+ ou 0− 0+ ou 0− ±∞ ±∞ 0
lim(un ÷ vn ) l ÷ l′ ±∞ (règle des signes) ±∞ (règle des signes) 0 F.I. F.I.

Forme indeterminée (F.I.) Limite de q n (Suites géométriques)
Pour résoudre une F.I., il faut d’abord fac- Si q > 1 alors lim q n = +∞
n→+∞
toriser par le terme de plus haut degrès. On Si q = 1 alors lim q n = 1
simplifie ensuite pour trouver la limite finale n→+∞
Si -1 < q < 1 alors lim q n = 0
de manière classique. n→+∞
Si q ≤ −1 alors la suite n’a pas de limite.

Théorèmes de comparaison
Soit (un ), (vn ) et (wn ) des suites et l un réel.
Supposons qu’il existe un entier N tel que pour tout n > N , un ≤ vn ≤ wn .

→ Minoration : Si lim un = +∞ alors lim vn = +∞
n→+∞ n→+∞
→ Majoration : Si lim wn = −∞ alors lim vn = −∞
n→+∞ n→+∞
→ Théorème des gendarmes : Si lim un = lim wn = l alors lim vn = l
n→+∞ n→+∞ n→+∞


Théorèmes de convergence monotone
→ Une suite croissante et majorée converge.
→ Une suite décroissante et minorée converge.
→ Une suite croissante non majorée tend vers +∞.
→ Une suite décroissante non minorée tend vers −∞.
© Erick VITTET