Wiskundige methoden en technieken
Alle theorie, definities en rekenregels uit het boek, nodig voor de werkcolleges.
Werkcollege 1: Reële functies van één veranderlijke,
exponentiële en logaritmische functies
p. 1-32 van de theoriecursus.
Reële functies van één veranderlijke
Domein bepalen
Zorg er voor dat je:
• Niet deelt door nul
• Geen even wortel neemt van een negatief getal
• Enkel een logaritme neemt van een strikt positief getal (en het grondtal is strikt
positief en verschillend van 1)
• Enkel een Boogsinus of Boogcosinus neemt van een getal tussen -1 en +1.
Bereik bepalen
Ga na welke y-waarden je kan bekomen als beeldwaarden.
Nagaan of een functie even/oneven is:
• Bereken f(-x)
• Als f(-x) gelijk is aan f(x), dan is de functie even
• Als f(-x) gelijk is aan –f(x), dan is de functie oneven.
Bepalen inverse functie
• Controleer of het domein beperkt moet worden (een functie is enkel
inverteerbaar indien elk beeld y het beeld is van precies één x-waarde)
• Herschrijf het voorschrift y = f(x) tot een vorm “x is een functie van y”.
• Wissel x en y om
• Je bekomt het voorschrift 𝑦 = 𝑓 !" (𝑥)
Samenstellen van functies
Een reële functie h is een samenstelling van functies ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓 (g na f)
Indien voor elke waarde van x geldt ℎ(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
Continuïteit in een punt
Een functie is continu in een punt x = a als lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
#→%
De functie is niet continu (of discontinu) in het betreTende punt indien één van volgende
situaties zich voordoet:
• De functiewaarde f(a) bestaat niet
• De limietwaarde lim 𝑓(𝑥) bestaat niet
#→%
, • De functiewaarde en de limietwaarde bestaan allebei, maar zijn niet aan elkaar
gelijk.
Veeltermfuncties
Lineaire functies
Een lineaire functie heeft voorschrift 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞
Een lineaire functie is continu en wordt grafisch voorgesteld door een rechte.
De waarde m is de richtingscoëTicient of helling van de rechte, de waarde q bepaalt het
snijpunt van de rechte met de y-as.
Een vergelijking van een rechte kan geschreven worden in
• Impliciete vorm 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑚𝑒𝑡 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ niet beide nul, of
• Expliciete vorm 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞, 𝑚𝑒𝑡 𝑚, 𝑞 ∈ ℝ, of
• Expliciete vorm 𝑥 = 𝑝, 𝑚𝑒𝑡 𝑝 ∈ ℝ.
Methode schetsen van een rechte (veeltermfunctie van de eerste graad):
Kies twee punten die aan de vergelijking voldoen en verbindt ze met een rechte lijn.
De parabool
Methode schetsen van een parabool (veeltermfunctie van de tweede graad):
• Breng de vergelijking in de algemene vorm 𝑦 = 𝑎𝑥 & + 𝑏𝑥 + 𝑐
(
• Bereken de x-coördinaat van de top: 𝑥' = − &%
• Bereken de y-coördinaat van de top: 𝑦' = 𝑓(𝑥' )
• Als a > 0, dan ligt de open kant naar boven, als a < 0, dan ligt de open kant naar
onder.
• Kies een tweede punt (naast de top) dat op de parabool ligt, zodat je weet hoe
breed of smal je de parabool moet tekenen. Maak er gebruik van dat 𝑥 = 𝑥' een
symmetrie-as is van de parabool.
De algemene vergelijking kan ook geschreven worden in de standaardvorm
𝑦 − 𝑦' = 𝑎(𝑥 − 𝑥' )&
Rationale functies
Een rationale functie heeft voorschrift
𝑎) 𝑥 ) + 𝑎) !" 𝑥 ) !" + ⋯ + 𝑎" 𝑥 + 𝑎'
𝑓(𝑥) =
𝑏* 𝑥 * + 𝑏* !" 𝑥 * !" + ⋯ + 𝑏" 𝑥 + 𝑏'
Irrationale functies
Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin één of meer wortelvormen
voorkomen.
,Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor
het argument onder de wortel het juiste teken bezit. Een irrationale functie is continu op
haar domein.
De cirkel
De impliciete vergelijking
(𝑥 − 𝑥' )& + (𝑦 − 𝑦' )& = 𝑟 &
Beschrijft een cirkel. Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (𝑥' , 𝑦' ); de straal
is r.
Expliciet maken
(𝑥 − 𝑥' )& + (𝑦 − 𝑦' )& = 𝑟 &
(𝑦 − 𝑦' )& = 𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )&
𝑦 − 𝑦' = ±?𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )&
𝑦 = 𝑦' ± ?𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )&
Domein bepalen
Het domein van een cirkel vind je als
𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )& ≥ 0
(𝑥 − 𝑥' )& ≤ 𝑟 &
−𝑟 ≤ 𝑥 − 𝑥' ≤ +𝑟
𝑥' − 𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥' + 𝑟
of het interval [𝑥' − 𝑟, 𝑥' + 𝑟]
Exponentiële functies
Een exponentiële functie heeft voorschrift:
exp% (𝑥) = 𝑎 #
Het domein van een exponentiële functie is ℝ, het bereik is ℝ+ '.
Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1. (𝑎 > 0 𝑒𝑛 𝑎 ≠ 1)
Een exponentiële functie is
• Een continue functie;
• Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie indien a<1;
• Een functie met de x-as als horizontale asymptoot aan de linkerkant van de
grafiek indien a>1, en een functie met de x-as als de horizontale asymptoot aan
de rechterkant van de grafiek indien a<1.
Een belangrijke exponentiële functie is de natuurlijke exponentiële functie; deze functie
heeft het getal van Euler e = 2,7182818….
Notatie: exp(𝑥) = 𝑒 #
Voor een exponentiële vergelijking:
• Zorg dat alle machten een zelfde grondtal krijgen
• Pas eigenschappen van machten toe:
, 𝑎 # . 𝑎 , = 𝑎 # +,
𝑎#
= 𝑎 # !,
𝑎,
(𝑎 # ), = 𝑎 # .,
Zodat aan elke kant van het gelijkheidsteken maximaal één macht blijft staan.
• Neem van beide leden de logaritme met als grondtal het grondtal van de
macht(en). Gebruik dat een logaritme de inverse is van de exponentiële functie
met zelfde grondtal, m.a.w.
log % (𝑎 # ) = 𝑥
• Los de vergelijking op.
Logaritmische functies
De logaritmische functie log % is de inverse van de exponentiële functie exp%
Ze heeft voorschrift log % (𝑥)
En wordt gedefinieerd als 𝑦 = log % 𝑥 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ,
Het domein van een logaritmische functie is ℝ+ ' , het bereik is ℝ.
Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.
Een logaritmische functie is
• Een continue functie op het domein;
• Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie indien a<1;
• Een functie met de y-as als verticale asymptoot.
Kiest men als grondtal 10, dan spreekt men van de Briggse logaritmische functie, we
noteren deze functie als log:
log(𝑥) = log"' (𝑥)
Een andere belangrijke logaritmische functie is de natuurlijke of neperiaanse
logaritmische functie; deze logaritmische functie heeft als grondtal het getal van Euler,
we noteren deze functie als ln:
Ze heeft voorschrift: ln(𝑥) = log . (𝑥)
En wordt gedefinieerd als 𝑦 = ln(𝑥) ⇔ 𝑥 = 𝑒 ,
Voor een logaritmische vergelijking:
• Stel voorwaarden op (het grondtal is strikt positief en verschillend van 1, het
argument is strikt positief)
• Pas eigenschappen van logaritmen toe:
log % (𝑥. 𝑦) = log / (𝑥) + log % (𝑦)
Alle theorie, definities en rekenregels uit het boek, nodig voor de werkcolleges.
Werkcollege 1: Reële functies van één veranderlijke,
exponentiële en logaritmische functies
p. 1-32 van de theoriecursus.
Reële functies van één veranderlijke
Domein bepalen
Zorg er voor dat je:
• Niet deelt door nul
• Geen even wortel neemt van een negatief getal
• Enkel een logaritme neemt van een strikt positief getal (en het grondtal is strikt
positief en verschillend van 1)
• Enkel een Boogsinus of Boogcosinus neemt van een getal tussen -1 en +1.
Bereik bepalen
Ga na welke y-waarden je kan bekomen als beeldwaarden.
Nagaan of een functie even/oneven is:
• Bereken f(-x)
• Als f(-x) gelijk is aan f(x), dan is de functie even
• Als f(-x) gelijk is aan –f(x), dan is de functie oneven.
Bepalen inverse functie
• Controleer of het domein beperkt moet worden (een functie is enkel
inverteerbaar indien elk beeld y het beeld is van precies één x-waarde)
• Herschrijf het voorschrift y = f(x) tot een vorm “x is een functie van y”.
• Wissel x en y om
• Je bekomt het voorschrift 𝑦 = 𝑓 !" (𝑥)
Samenstellen van functies
Een reële functie h is een samenstelling van functies ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓 (g na f)
Indien voor elke waarde van x geldt ℎ(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
Continuïteit in een punt
Een functie is continu in een punt x = a als lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
#→%
De functie is niet continu (of discontinu) in het betreTende punt indien één van volgende
situaties zich voordoet:
• De functiewaarde f(a) bestaat niet
• De limietwaarde lim 𝑓(𝑥) bestaat niet
#→%
, • De functiewaarde en de limietwaarde bestaan allebei, maar zijn niet aan elkaar
gelijk.
Veeltermfuncties
Lineaire functies
Een lineaire functie heeft voorschrift 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞
Een lineaire functie is continu en wordt grafisch voorgesteld door een rechte.
De waarde m is de richtingscoëTicient of helling van de rechte, de waarde q bepaalt het
snijpunt van de rechte met de y-as.
Een vergelijking van een rechte kan geschreven worden in
• Impliciete vorm 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑚𝑒𝑡 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ niet beide nul, of
• Expliciete vorm 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞, 𝑚𝑒𝑡 𝑚, 𝑞 ∈ ℝ, of
• Expliciete vorm 𝑥 = 𝑝, 𝑚𝑒𝑡 𝑝 ∈ ℝ.
Methode schetsen van een rechte (veeltermfunctie van de eerste graad):
Kies twee punten die aan de vergelijking voldoen en verbindt ze met een rechte lijn.
De parabool
Methode schetsen van een parabool (veeltermfunctie van de tweede graad):
• Breng de vergelijking in de algemene vorm 𝑦 = 𝑎𝑥 & + 𝑏𝑥 + 𝑐
(
• Bereken de x-coördinaat van de top: 𝑥' = − &%
• Bereken de y-coördinaat van de top: 𝑦' = 𝑓(𝑥' )
• Als a > 0, dan ligt de open kant naar boven, als a < 0, dan ligt de open kant naar
onder.
• Kies een tweede punt (naast de top) dat op de parabool ligt, zodat je weet hoe
breed of smal je de parabool moet tekenen. Maak er gebruik van dat 𝑥 = 𝑥' een
symmetrie-as is van de parabool.
De algemene vergelijking kan ook geschreven worden in de standaardvorm
𝑦 − 𝑦' = 𝑎(𝑥 − 𝑥' )&
Rationale functies
Een rationale functie heeft voorschrift
𝑎) 𝑥 ) + 𝑎) !" 𝑥 ) !" + ⋯ + 𝑎" 𝑥 + 𝑎'
𝑓(𝑥) =
𝑏* 𝑥 * + 𝑏* !" 𝑥 * !" + ⋯ + 𝑏" 𝑥 + 𝑏'
Irrationale functies
Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin één of meer wortelvormen
voorkomen.
,Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor
het argument onder de wortel het juiste teken bezit. Een irrationale functie is continu op
haar domein.
De cirkel
De impliciete vergelijking
(𝑥 − 𝑥' )& + (𝑦 − 𝑦' )& = 𝑟 &
Beschrijft een cirkel. Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (𝑥' , 𝑦' ); de straal
is r.
Expliciet maken
(𝑥 − 𝑥' )& + (𝑦 − 𝑦' )& = 𝑟 &
(𝑦 − 𝑦' )& = 𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )&
𝑦 − 𝑦' = ±?𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )&
𝑦 = 𝑦' ± ?𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )&
Domein bepalen
Het domein van een cirkel vind je als
𝑟 & − (𝑥 − 𝑥' )& ≥ 0
(𝑥 − 𝑥' )& ≤ 𝑟 &
−𝑟 ≤ 𝑥 − 𝑥' ≤ +𝑟
𝑥' − 𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥' + 𝑟
of het interval [𝑥' − 𝑟, 𝑥' + 𝑟]
Exponentiële functies
Een exponentiële functie heeft voorschrift:
exp% (𝑥) = 𝑎 #
Het domein van een exponentiële functie is ℝ, het bereik is ℝ+ '.
Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1. (𝑎 > 0 𝑒𝑛 𝑎 ≠ 1)
Een exponentiële functie is
• Een continue functie;
• Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie indien a<1;
• Een functie met de x-as als horizontale asymptoot aan de linkerkant van de
grafiek indien a>1, en een functie met de x-as als de horizontale asymptoot aan
de rechterkant van de grafiek indien a<1.
Een belangrijke exponentiële functie is de natuurlijke exponentiële functie; deze functie
heeft het getal van Euler e = 2,7182818….
Notatie: exp(𝑥) = 𝑒 #
Voor een exponentiële vergelijking:
• Zorg dat alle machten een zelfde grondtal krijgen
• Pas eigenschappen van machten toe:
, 𝑎 # . 𝑎 , = 𝑎 # +,
𝑎#
= 𝑎 # !,
𝑎,
(𝑎 # ), = 𝑎 # .,
Zodat aan elke kant van het gelijkheidsteken maximaal één macht blijft staan.
• Neem van beide leden de logaritme met als grondtal het grondtal van de
macht(en). Gebruik dat een logaritme de inverse is van de exponentiële functie
met zelfde grondtal, m.a.w.
log % (𝑎 # ) = 𝑥
• Los de vergelijking op.
Logaritmische functies
De logaritmische functie log % is de inverse van de exponentiële functie exp%
Ze heeft voorschrift log % (𝑥)
En wordt gedefinieerd als 𝑦 = log % 𝑥 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ,
Het domein van een logaritmische functie is ℝ+ ' , het bereik is ℝ.
Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.
Een logaritmische functie is
• Een continue functie op het domein;
• Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie indien a<1;
• Een functie met de y-as als verticale asymptoot.
Kiest men als grondtal 10, dan spreekt men van de Briggse logaritmische functie, we
noteren deze functie als log:
log(𝑥) = log"' (𝑥)
Een andere belangrijke logaritmische functie is de natuurlijke of neperiaanse
logaritmische functie; deze logaritmische functie heeft als grondtal het getal van Euler,
we noteren deze functie als ln:
Ze heeft voorschrift: ln(𝑥) = log . (𝑥)
En wordt gedefinieerd als 𝑦 = ln(𝑥) ⇔ 𝑥 = 𝑒 ,
Voor een logaritmische vergelijking:
• Stel voorwaarden op (het grondtal is strikt positief en verschillend van 1, het
argument is strikt positief)
• Pas eigenschappen van logaritmen toe:
log % (𝑥. 𝑦) = log / (𝑥) + log % (𝑦)
