Fenòmens de Transport | Tema 2: Transport Multidimensional | UAB
FENÒMENS DE TRANSPORT
Teoria — Tema 2: Transport Multidimensional
Enginyeria Química · UAB · Curs 2025-2026
Objectius del Tema
En completar aquest tema l'estudiant ha de ser capaç de:
1. Identificar i treballar amb els tres sistemes de coordenades: cartesianes, cilíndriques i
esfèriques.
2. Escriure i simplificar les equacions de balanç vectorials en el sistema de coordenades
adequat.
3. Aplicar les lleis de velocitat (Fourier, Fick, Newton-Stokes) en 3D.
4. Obtenir l'equació de canvi (equació del perfil) per a cada fenomen de transport.
5. Reconèixer i aplicar els operadors diferencials (gradient, divergència, laplacià, rotacional).
6. Establir condicions de contorn correctament (Dirichlet, Neumann, Robin).
7. Usar FlexPDE com a eina numèrica per resoldre EDPs.
Glossari de Conceptes Clau
Terme Definició
Sistema de coordenades Conjunt de variables que especifiquen la posició
d'un punt a l'espai. L'elecció correcta simplifica
enormement les equacions.
Operador Nabla (∇) Operador vectorial diferencial. En cartesianes: ∇
= (∂/∂x)eₓ + (∂/∂y)eᵧ + (∂/∂z)e_z. La seva
expressió canvia amb el sistema de coordenades.
Gradient (∇s) Operació sobre un escalar → vector. Indica la
direcció i magnitud del màxim augment del camp
escalar.
Divergència (∇·v) Operació sobre un vector → escalar. Mesura la
'font' o 'embornal' d'un camp vectorial en un punt.
Laplacià (∇²s) Divergència del gradient d'un escalar. Apareix a
les equacions de canvi de T, v i cₐ.
Rotacional (∇×v) Operació sobre un vector → vector. Mesura la
rotació local del camp vectorial.
Equació de balanç vectorial Equació general de conservació d'una propietat
extensiva (massa, momentum, energia, espècie j)
en forma vectorial compacta.
Llei de velocitat / Equació constitutiva Relació que expressa el flux d'una propietat en
funció del gradient de la variable de transport:
Fourier (calor), Fick (matèria), Newton-Stokes
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 1 de 16
,Fenòmens de Transport | Tema 2: Transport Multidimensional | UAB
(QDM).
Equació de canvi Equació diferencial en derivades parcials (EDP)
que governa el perfil de la variable de transport
(T, v, cₐ). S'obté substituint la llei de velocitat a
l'equació de balanç.
Condició de Dirichlet (1a espècie) Valor de la variable prescrit a la frontera. Ex: T(R)
= T₀.
Condició de Neumann (2a espècie) Flux normal prescrit a la frontera. Ex: -
k(∂T/∂r)|_r=R = q₀. Si q₀ = 0: superfície adiabàtica
o eix de simetria.
Condició de Robin (3a espècie / mixta) Combinació lineal de variable i flux. Ex: -k(∂T/∂n)
= h(T - T∞). Representa convecció a la superfície.
FlexPDE Programari de resolució numèrica d'EDPs per
elements finits. S'utilitza als seminaris per obtenir
solucions numèriques dels perfils de T, v i cₐ.
1. Sistemes de Coordenades
L'elecció del sistema de coordenades és el primer pas en qualsevol problema. Cal triar el que
millor s'adapta a la geometria del sistema per minimitzar el nombre de variables i simplificar
l'equació de canvi.
CLAUS PER A LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES — Elecció del sistema
• Geometria plana (parets, canals, films) → Coordenades CARTESIANES
• Geometria cilíndrica (tubs, cables, fibres, anells) → Coordenades CILÍNDRIQUES
• Geometria esfèrica (partícules, gotes, boles) → Coordenades ESFÈRIQUES
• La simetria del sistema permet eliminar variables:
– Simetria axial (cap variació amb θ): ∂/∂θ = 0
– Simetria atzimual (cap variació amb φ): ∂/∂φ = 0
– Estat estacionari: ∂/∂t = 0
– Unidireccional (1D): tots els termes en les altres direccions = 0
1.1 Coordenades Cartesianes (x, y, z)
Variables independents: x, y, z
Variable Rang Vector unitari Transformació
Variable Rang Vectors unitaris Relació
x (-∞, +∞) eₓ —
y (-∞, +∞) eᵧ —
z (-∞, +∞) e_z —
Element de volum diferencial:
dV = dx · dy · dz
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 2 de 16
, Fenòmens de Transport | Tema 2: Transport Multidimensional | UAB
1.2 Coordenades Cilíndriques (r, θ, z)
Variables independents: r (radi), θ (angle azimutal), z (altura)
Variable Rang Vector unitari Rel. amb cartesianes
r [0, +∞) e_r r = √(x² + y²)
θ [0, 2π) e_θ θ = arctan(y/x)
z (-∞, +∞) e_z z=z
Transformació inversa:
x = r·cos θ y = r·sin θ z = z
Element de volum diferencial:
dV = r · dr · dθ · dz
El factor extra r és fonamental en la integració de geometries cilíndriques!
1.3 Coordenades Esfèriques (r, θ, φ)
Variables independents: r (radi), θ (angle polar o colatitud), φ (angle azimutal)
Variable Rang Vector unitari Rel. amb cartesianes
r [0, +∞) e_r r = √(x² + y² + z²)
θ [0, π] e_θ θ = arccos(z/r)
φ [0, 2π) e_φ φ = arctan(y/x)
Transformació inversa:
x = r·sin θ·cos φ y = r·sin θ·sin φ z = r·cos θ
Element de volum diferencial:
dV = r² · sin θ · dr · dθ · dφ
El factor r²·sinθ és fonamental en la integració de geometries esfèriques!
1.4 Àrees i Integrals Habituals
Àrea de la superfície lateral d'un cilindre de radi R i longitud L:
A = 2π·R·L
Àrea de la superfície d'una esfera de radi R:
A = 4π·R²
Àrea diferencial en coordenades cilíndriques (superfície radial):
dA = r · dθ · dz
Referència formulari: pàgines 11–13.
2. Equació Qualitativa de Balanç
Principi fonamental de conservació aplicat a qualsevol propietat extensiva dins un volum de
control:
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 3 de 16
FENÒMENS DE TRANSPORT
Teoria — Tema 2: Transport Multidimensional
Enginyeria Química · UAB · Curs 2025-2026
Objectius del Tema
En completar aquest tema l'estudiant ha de ser capaç de:
1. Identificar i treballar amb els tres sistemes de coordenades: cartesianes, cilíndriques i
esfèriques.
2. Escriure i simplificar les equacions de balanç vectorials en el sistema de coordenades
adequat.
3. Aplicar les lleis de velocitat (Fourier, Fick, Newton-Stokes) en 3D.
4. Obtenir l'equació de canvi (equació del perfil) per a cada fenomen de transport.
5. Reconèixer i aplicar els operadors diferencials (gradient, divergència, laplacià, rotacional).
6. Establir condicions de contorn correctament (Dirichlet, Neumann, Robin).
7. Usar FlexPDE com a eina numèrica per resoldre EDPs.
Glossari de Conceptes Clau
Terme Definició
Sistema de coordenades Conjunt de variables que especifiquen la posició
d'un punt a l'espai. L'elecció correcta simplifica
enormement les equacions.
Operador Nabla (∇) Operador vectorial diferencial. En cartesianes: ∇
= (∂/∂x)eₓ + (∂/∂y)eᵧ + (∂/∂z)e_z. La seva
expressió canvia amb el sistema de coordenades.
Gradient (∇s) Operació sobre un escalar → vector. Indica la
direcció i magnitud del màxim augment del camp
escalar.
Divergència (∇·v) Operació sobre un vector → escalar. Mesura la
'font' o 'embornal' d'un camp vectorial en un punt.
Laplacià (∇²s) Divergència del gradient d'un escalar. Apareix a
les equacions de canvi de T, v i cₐ.
Rotacional (∇×v) Operació sobre un vector → vector. Mesura la
rotació local del camp vectorial.
Equació de balanç vectorial Equació general de conservació d'una propietat
extensiva (massa, momentum, energia, espècie j)
en forma vectorial compacta.
Llei de velocitat / Equació constitutiva Relació que expressa el flux d'una propietat en
funció del gradient de la variable de transport:
Fourier (calor), Fick (matèria), Newton-Stokes
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 1 de 16
,Fenòmens de Transport | Tema 2: Transport Multidimensional | UAB
(QDM).
Equació de canvi Equació diferencial en derivades parcials (EDP)
que governa el perfil de la variable de transport
(T, v, cₐ). S'obté substituint la llei de velocitat a
l'equació de balanç.
Condició de Dirichlet (1a espècie) Valor de la variable prescrit a la frontera. Ex: T(R)
= T₀.
Condició de Neumann (2a espècie) Flux normal prescrit a la frontera. Ex: -
k(∂T/∂r)|_r=R = q₀. Si q₀ = 0: superfície adiabàtica
o eix de simetria.
Condició de Robin (3a espècie / mixta) Combinació lineal de variable i flux. Ex: -k(∂T/∂n)
= h(T - T∞). Representa convecció a la superfície.
FlexPDE Programari de resolució numèrica d'EDPs per
elements finits. S'utilitza als seminaris per obtenir
solucions numèriques dels perfils de T, v i cₐ.
1. Sistemes de Coordenades
L'elecció del sistema de coordenades és el primer pas en qualsevol problema. Cal triar el que
millor s'adapta a la geometria del sistema per minimitzar el nombre de variables i simplificar
l'equació de canvi.
CLAUS PER A LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES — Elecció del sistema
• Geometria plana (parets, canals, films) → Coordenades CARTESIANES
• Geometria cilíndrica (tubs, cables, fibres, anells) → Coordenades CILÍNDRIQUES
• Geometria esfèrica (partícules, gotes, boles) → Coordenades ESFÈRIQUES
• La simetria del sistema permet eliminar variables:
– Simetria axial (cap variació amb θ): ∂/∂θ = 0
– Simetria atzimual (cap variació amb φ): ∂/∂φ = 0
– Estat estacionari: ∂/∂t = 0
– Unidireccional (1D): tots els termes en les altres direccions = 0
1.1 Coordenades Cartesianes (x, y, z)
Variables independents: x, y, z
Variable Rang Vector unitari Transformació
Variable Rang Vectors unitaris Relació
x (-∞, +∞) eₓ —
y (-∞, +∞) eᵧ —
z (-∞, +∞) e_z —
Element de volum diferencial:
dV = dx · dy · dz
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 2 de 16
, Fenòmens de Transport | Tema 2: Transport Multidimensional | UAB
1.2 Coordenades Cilíndriques (r, θ, z)
Variables independents: r (radi), θ (angle azimutal), z (altura)
Variable Rang Vector unitari Rel. amb cartesianes
r [0, +∞) e_r r = √(x² + y²)
θ [0, 2π) e_θ θ = arctan(y/x)
z (-∞, +∞) e_z z=z
Transformació inversa:
x = r·cos θ y = r·sin θ z = z
Element de volum diferencial:
dV = r · dr · dθ · dz
El factor extra r és fonamental en la integració de geometries cilíndriques!
1.3 Coordenades Esfèriques (r, θ, φ)
Variables independents: r (radi), θ (angle polar o colatitud), φ (angle azimutal)
Variable Rang Vector unitari Rel. amb cartesianes
r [0, +∞) e_r r = √(x² + y² + z²)
θ [0, π] e_θ θ = arccos(z/r)
φ [0, 2π) e_φ φ = arctan(y/x)
Transformació inversa:
x = r·sin θ·cos φ y = r·sin θ·sin φ z = r·cos θ
Element de volum diferencial:
dV = r² · sin θ · dr · dθ · dφ
El factor r²·sinθ és fonamental en la integració de geometries esfèriques!
1.4 Àrees i Integrals Habituals
Àrea de la superfície lateral d'un cilindre de radi R i longitud L:
A = 2π·R·L
Àrea de la superfície d'una esfera de radi R:
A = 4π·R²
Àrea diferencial en coordenades cilíndriques (superfície radial):
dA = r · dθ · dz
Referència formulari: pàgines 11–13.
2. Equació Qualitativa de Balanç
Principi fonamental de conservació aplicat a qualsevol propietat extensiva dins un volum de
control:
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 3 de 16
