H2 — Lokale en Gebonden Extrema
Wiskundige Modellen en Systemen 2 — praktijkgerichte examensamenvatting
Dit hoofdstuk draait om het vinden van maxima, minima en zadelpunten van functies van
meerdere veranderlijken. Er zijn twee grote situaties: vrije (lokale) extrema (geen
voorwaarde) en gebonden extrema (met één of meer nevenvoorwaarden). Voor elk geval
hieronder vind je: wanneer je de methode gebruikt, het stappenplan, de formules met
symboolverklaring en de typische valkuilen.
1. Lokale extrema van 𝑓 (𝑥, 𝑦)
Wanneer gebruiken
Je zoekt de extrema van een functie 𝑓(𝑥, 𝑦) zonder dat er een voorwaarde op 𝑥 en 𝑦 wordt
opgelegd. De kandidaten zijn de kritische (stationaire) punten; de aard ervan bepaal je met
de Hessiaan.
Stappenplan
∂𝑓 ∂𝑓
1. Bereken de eerste partiële afgeleiden ∂𝑥 en ∂𝑦.
2. Stel beide gelijk aan nul en los het stelsel op. De oplossingen (𝑥0 , 𝑦0 ) zijn de
kritische punten.
3. Bereken de tweede partiële afgeleiden 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 en 𝑓𝑥𝑦 .
4. Bereken in elk kritisch punt de Hessiaan 𝛥0 .
5. Pas de tweede-afgeleide-test toe (tabel hieronder) om te beslissen: maximum,
minimum, zadelpunt of “niet besluitbaar”.
, Formules
Kritische punten: oplossing van het stelsel
∂𝑓 ∂𝑓
=0 en =0
∂𝑥 ∂𝑦
De Hessiaan (determinant van Hesse), berekend in een kritisch punt:
∣ ∂2 𝑓 ∂2 𝑓 ∣
∣ ∣
∣ ∂𝑥 2 ∂𝑥 ∂𝑦∣∣ 2
𝛥 = ∣∣ 2 2 ∣ = 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦 )
∣ ∂ 𝑓 ∂ 𝑓 ∣
∣ ∣
∣∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑦 2 ∣
Symbolen:
∂2 𝑓
• 𝑓𝑥𝑥 = ∂𝑥 2: tweede afgeleide tweemaal naar 𝑥.
∂2 𝑓
• 𝑓𝑦𝑦 = ∂𝑦 2 : tweede afgeleide tweemaal naar 𝑦.
∂2 𝑓
• 𝑓𝑥𝑦 = ∂𝑥 ∂𝑦: gemengde tweede afgeleide.
• 𝛥0 : de waarde van de Hessiaan geëvalueerd in het kritisch punt (𝑥0 , 𝑦0 ).
Beslissingstabel (tweede-afgeleide-test)
Voorwaarde Besluit
𝛥0 > 0 en (𝑓𝑥𝑥 )0 > 0 lokaal minimum
𝛥0 > 0 en (𝑓𝑥𝑥 )0 < 0 lokaal maximum
𝛥0 < 0 zadelpunt (geen extremum)
𝛥0 = 0 test faalt — niets te besluiten
Valkuilen
• De Hessiaan moet je in het kritisch punt evalueren, niet in het algemeen. Eerst de
punten bepalen, dan pas invullen.
• Bij 𝛥0 > 0 kijk je naar het teken van 𝑓𝑥𝑥 (of 𝑓𝑦𝑦 , hetzelfde teken) om min van max te
onderscheiden.
• 𝛥0 < 0 is altijd een zadelpunt — niet verder testen.
• 𝛥0 = 0 geeft géén uitsluitsel; de test is dan onbruikbaar.
• Vergeet bij het oplossen van het stelsel geen oplossingen (bv. factoriseer volledig in
plaats van delen door een variabele die nul kan zijn).
Wiskundige Modellen en Systemen 2 — praktijkgerichte examensamenvatting
Dit hoofdstuk draait om het vinden van maxima, minima en zadelpunten van functies van
meerdere veranderlijken. Er zijn twee grote situaties: vrije (lokale) extrema (geen
voorwaarde) en gebonden extrema (met één of meer nevenvoorwaarden). Voor elk geval
hieronder vind je: wanneer je de methode gebruikt, het stappenplan, de formules met
symboolverklaring en de typische valkuilen.
1. Lokale extrema van 𝑓 (𝑥, 𝑦)
Wanneer gebruiken
Je zoekt de extrema van een functie 𝑓(𝑥, 𝑦) zonder dat er een voorwaarde op 𝑥 en 𝑦 wordt
opgelegd. De kandidaten zijn de kritische (stationaire) punten; de aard ervan bepaal je met
de Hessiaan.
Stappenplan
∂𝑓 ∂𝑓
1. Bereken de eerste partiële afgeleiden ∂𝑥 en ∂𝑦.
2. Stel beide gelijk aan nul en los het stelsel op. De oplossingen (𝑥0 , 𝑦0 ) zijn de
kritische punten.
3. Bereken de tweede partiële afgeleiden 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 en 𝑓𝑥𝑦 .
4. Bereken in elk kritisch punt de Hessiaan 𝛥0 .
5. Pas de tweede-afgeleide-test toe (tabel hieronder) om te beslissen: maximum,
minimum, zadelpunt of “niet besluitbaar”.
, Formules
Kritische punten: oplossing van het stelsel
∂𝑓 ∂𝑓
=0 en =0
∂𝑥 ∂𝑦
De Hessiaan (determinant van Hesse), berekend in een kritisch punt:
∣ ∂2 𝑓 ∂2 𝑓 ∣
∣ ∣
∣ ∂𝑥 2 ∂𝑥 ∂𝑦∣∣ 2
𝛥 = ∣∣ 2 2 ∣ = 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦 )
∣ ∂ 𝑓 ∂ 𝑓 ∣
∣ ∣
∣∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑦 2 ∣
Symbolen:
∂2 𝑓
• 𝑓𝑥𝑥 = ∂𝑥 2: tweede afgeleide tweemaal naar 𝑥.
∂2 𝑓
• 𝑓𝑦𝑦 = ∂𝑦 2 : tweede afgeleide tweemaal naar 𝑦.
∂2 𝑓
• 𝑓𝑥𝑦 = ∂𝑥 ∂𝑦: gemengde tweede afgeleide.
• 𝛥0 : de waarde van de Hessiaan geëvalueerd in het kritisch punt (𝑥0 , 𝑦0 ).
Beslissingstabel (tweede-afgeleide-test)
Voorwaarde Besluit
𝛥0 > 0 en (𝑓𝑥𝑥 )0 > 0 lokaal minimum
𝛥0 > 0 en (𝑓𝑥𝑥 )0 < 0 lokaal maximum
𝛥0 < 0 zadelpunt (geen extremum)
𝛥0 = 0 test faalt — niets te besluiten
Valkuilen
• De Hessiaan moet je in het kritisch punt evalueren, niet in het algemeen. Eerst de
punten bepalen, dan pas invullen.
• Bij 𝛥0 > 0 kijk je naar het teken van 𝑓𝑥𝑥 (of 𝑓𝑦𝑦 , hetzelfde teken) om min van max te
onderscheiden.
• 𝛥0 < 0 is altijd een zadelpunt — niet verder testen.
• 𝛥0 = 0 geeft géén uitsluitsel; de test is dan onbruikbaar.
• Vergeet bij het oplossen van het stelsel geen oplossingen (bv. factoriseer volledig in
plaats van delen door een variabele die nul kan zijn).
