Samenvatting H3 – Dubbelintegralen
Wiskundige Modellen en Systemen 2 — praktijkgerichte
oefensamenvatting
H3 – Dubbelintegralen
Deze samenvatting is gericht op het oplossen van oefeningen: per onderwerp vind je
wanneer je een methode gebruikt, een kort stappenplan, de formules met de betekenis van
elk symbool, en de typische valkuilen.
0. Basis: wat is een dubbelintegraal?
Een dubbelintegraal ∬𝐴 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 telt oneindig veel kleine bijdragen 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 op over een
vlak gebied 𝐴.
• 𝐴 = het integratiegebied in het 𝑥𝑦-vlak.
• 𝑑𝐴 = het oppervlakte-element: 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (in cartesische coördinaten).
• 𝑓(𝑥, 𝑦) = de te integreren functie.
Meetkundige betekenis (handig om oefeningen te interpreteren):
Als… dan stelt ∬𝐴 𝑓 𝑑𝐴 voor…
𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 op heel 𝐴 het volume tussen het grondvlak 𝐴 en het oppervlak 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 op heel 𝐴 de oppervlakte van het gebied 𝐴
1. Rekeneigenschappen (om oefeningen te vereenvoudigen)
1. Lineariteit — splits sommen en haal constanten (𝑘 ∈ ℝ) buiten:
∬ (𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝐴 = 𝑘 ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑔 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝐴 𝐴 𝐴
2. Opsplitsen van het gebied — als 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 met 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ⌀:
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝐴 𝐴1 𝐴2
Wanneer nuttig: gebruik eigenschap 2 telkens een gebied niet normaal is: hak
het in stukken die elk wél normaal zijn.
, 2. Basismethode: berekenen op een normaal gebied (Fubini)
Wanneer gebruiken: dit is je standaardaanpak voor elke dubbelintegraal in cartesische
coördinaten. Je herleidt de dubbelintegraal tot twee na elkaar uitgevoerde gewone
(enkelvoudige) integralen.
2.1 Eerst checken: is het gebied normaal?
• Normaal t.o.v. 𝑥: elke verticale lijn (𝑥 vast) snijdt de rand van 𝐴 maximaal 2 keer.
Het gebied ligt dan tussen een onderkromme 𝑦 = 𝑔1 (𝑥) en een bovenkromme 𝑦 =
𝑔2 (𝑥).
• Normaal t.o.v. 𝑦: elke horizontale lijn (𝑦 vast) snijdt de rand maximaal 2 keer. Het
gebied ligt tussen een linkerkromme 𝑥 = ℎ1 (𝑦) en een rechterkromme 𝑥 = ℎ2 (𝑦).
• Niet normaal (bv. een “C”- of ringvorm): splits eerst op in normale deelgebieden
(§1, eigenschap 2).
2.2 De formules van Fubini
Geval a — 𝐴 normaal t.o.v. 𝑥 (integreer eerst naar 𝑦, dan naar 𝑥):
𝑏 𝑔2 (𝑥)
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ [ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 ] 𝑑𝑥
𝐴 𝑎 𝑔1 (𝑥)
Geval b — 𝐴 normaal t.o.v. 𝑦 (integreer eerst naar 𝑥, dan naar 𝑦):
𝑑 ℎ2 (𝑦)
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ [ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 ] 𝑑𝑦
𝐴 𝑐 ℎ1 (𝑦)
Betekenis van de symbolen:
• 𝑎, 𝑏 en 𝑐, 𝑑 = constante ondergrens/bovengrens (getallen) van de buitenste
integraal.
• 𝑔1 (𝑥), 𝑔2 (𝑥) = onder- en bovenrand als functie van 𝑥 (binnenste grenzen bij geval a).
• ℎ1 (𝑦), ℎ2 (𝑦) = linker- en rechterrand als functie van 𝑦 (binnenste grenzen bij geval
b).
Geval c — 𝐴 normaal t.o.v. 𝑥 én 𝑦: je mag vrij kiezen welke volgorde. Kies de
volgorde waarbij de integralen het eenvoudigst zijn (of waarbij de grenzen
constant worden).
Wiskundige Modellen en Systemen 2 — praktijkgerichte
oefensamenvatting
H3 – Dubbelintegralen
Deze samenvatting is gericht op het oplossen van oefeningen: per onderwerp vind je
wanneer je een methode gebruikt, een kort stappenplan, de formules met de betekenis van
elk symbool, en de typische valkuilen.
0. Basis: wat is een dubbelintegraal?
Een dubbelintegraal ∬𝐴 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 telt oneindig veel kleine bijdragen 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 op over een
vlak gebied 𝐴.
• 𝐴 = het integratiegebied in het 𝑥𝑦-vlak.
• 𝑑𝐴 = het oppervlakte-element: 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (in cartesische coördinaten).
• 𝑓(𝑥, 𝑦) = de te integreren functie.
Meetkundige betekenis (handig om oefeningen te interpreteren):
Als… dan stelt ∬𝐴 𝑓 𝑑𝐴 voor…
𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 op heel 𝐴 het volume tussen het grondvlak 𝐴 en het oppervlak 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 op heel 𝐴 de oppervlakte van het gebied 𝐴
1. Rekeneigenschappen (om oefeningen te vereenvoudigen)
1. Lineariteit — splits sommen en haal constanten (𝑘 ∈ ℝ) buiten:
∬ (𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)) 𝑑𝐴 = 𝑘 ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑔 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝐴 𝐴 𝐴
2. Opsplitsen van het gebied — als 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 met 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ⌀:
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝐴 𝐴1 𝐴2
Wanneer nuttig: gebruik eigenschap 2 telkens een gebied niet normaal is: hak
het in stukken die elk wél normaal zijn.
, 2. Basismethode: berekenen op een normaal gebied (Fubini)
Wanneer gebruiken: dit is je standaardaanpak voor elke dubbelintegraal in cartesische
coördinaten. Je herleidt de dubbelintegraal tot twee na elkaar uitgevoerde gewone
(enkelvoudige) integralen.
2.1 Eerst checken: is het gebied normaal?
• Normaal t.o.v. 𝑥: elke verticale lijn (𝑥 vast) snijdt de rand van 𝐴 maximaal 2 keer.
Het gebied ligt dan tussen een onderkromme 𝑦 = 𝑔1 (𝑥) en een bovenkromme 𝑦 =
𝑔2 (𝑥).
• Normaal t.o.v. 𝑦: elke horizontale lijn (𝑦 vast) snijdt de rand maximaal 2 keer. Het
gebied ligt tussen een linkerkromme 𝑥 = ℎ1 (𝑦) en een rechterkromme 𝑥 = ℎ2 (𝑦).
• Niet normaal (bv. een “C”- of ringvorm): splits eerst op in normale deelgebieden
(§1, eigenschap 2).
2.2 De formules van Fubini
Geval a — 𝐴 normaal t.o.v. 𝑥 (integreer eerst naar 𝑦, dan naar 𝑥):
𝑏 𝑔2 (𝑥)
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ [ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 ] 𝑑𝑥
𝐴 𝑎 𝑔1 (𝑥)
Geval b — 𝐴 normaal t.o.v. 𝑦 (integreer eerst naar 𝑥, dan naar 𝑦):
𝑑 ℎ2 (𝑦)
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ [ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 ] 𝑑𝑦
𝐴 𝑐 ℎ1 (𝑦)
Betekenis van de symbolen:
• 𝑎, 𝑏 en 𝑐, 𝑑 = constante ondergrens/bovengrens (getallen) van de buitenste
integraal.
• 𝑔1 (𝑥), 𝑔2 (𝑥) = onder- en bovenrand als functie van 𝑥 (binnenste grenzen bij geval a).
• ℎ1 (𝑦), ℎ2 (𝑦) = linker- en rechterrand als functie van 𝑦 (binnenste grenzen bij geval
b).
Geval c — 𝐴 normaal t.o.v. 𝑥 én 𝑦: je mag vrij kiezen welke volgorde. Kies de
volgorde waarbij de integralen het eenvoudigst zijn (of waarbij de grenzen
constant worden).
