Fiche de révision — Logarithme népérien & Exponentielle |
Terminale Spé Maths
1. La fonction exponentielle
Définition : L’unique fonction f telle que f’ = f et f(0) = 1. On note f(x) = e^x.
Propriétés algébriques : - e^(a+b) = e^a · e^b - e^(a-b) = e^a / e^b - (ea)n = e^(na) - e^0 = 1 - e^(-x) = 1/e^x
Dérivée : (e^u)’ = u’ · e^u
Variations : e^x est strictement croissante sur R, toujours positive.
Limites : - lim e^x = +∞ quand x → +∞ - lim e^x = 0 quand x → -∞ - lim x^n · e^x = 0 quand x → -∞ (exponentielle l’emporte) -
lim e^x / x^n = +∞ quand x → +∞ (exponentielle l’emporte)
2. La fonction logarithme népérien
Définition : La fonction réciproque de l’exponentielle. ln(x) est définie pour x > 0.
Propriétés algébriques : - ln(a·b) = ln(a) + ln(b) - ln(a/b) = ln(a) - ln(b) - ln(a^n) = n·ln(a) - ln(1) = 0 - ln(e) = 1 - ln(√x) = ln(x)/2
Dérivée : (ln(u))’ = u’/u
Variations : ln(x) est strictement croissante sur ]0, +∞[.
Limites : - lim ln(x) = +∞ quand x → +∞ - lim ln(x) = -∞ quand x → 0+ - lim x·ln(x) = 0 quand x → 0+ (à connaître absolument) -
lim ln(x)/x^n = 0 quand x → +∞ (polynôme l’emporte)
3. Lien entre ln et exp
eln(x) = x pour x > 0
ln(ex) = x pour tout x ∈ ℝ
Résoudre une équation : - e^x = k → x = ln(k) (si k > 0) - ln(x) = k → x = e^k
4. Tableau de valeurs à connaître
x ln(x)
1/e -1
1 0
e 1
e² 2
√e 1/2
5. Étude de fonctions avec ln et exp
Fonctions usuelles et leurs dérivées :
Terminale Spé Maths
1. La fonction exponentielle
Définition : L’unique fonction f telle que f’ = f et f(0) = 1. On note f(x) = e^x.
Propriétés algébriques : - e^(a+b) = e^a · e^b - e^(a-b) = e^a / e^b - (ea)n = e^(na) - e^0 = 1 - e^(-x) = 1/e^x
Dérivée : (e^u)’ = u’ · e^u
Variations : e^x est strictement croissante sur R, toujours positive.
Limites : - lim e^x = +∞ quand x → +∞ - lim e^x = 0 quand x → -∞ - lim x^n · e^x = 0 quand x → -∞ (exponentielle l’emporte) -
lim e^x / x^n = +∞ quand x → +∞ (exponentielle l’emporte)
2. La fonction logarithme népérien
Définition : La fonction réciproque de l’exponentielle. ln(x) est définie pour x > 0.
Propriétés algébriques : - ln(a·b) = ln(a) + ln(b) - ln(a/b) = ln(a) - ln(b) - ln(a^n) = n·ln(a) - ln(1) = 0 - ln(e) = 1 - ln(√x) = ln(x)/2
Dérivée : (ln(u))’ = u’/u
Variations : ln(x) est strictement croissante sur ]0, +∞[.
Limites : - lim ln(x) = +∞ quand x → +∞ - lim ln(x) = -∞ quand x → 0+ - lim x·ln(x) = 0 quand x → 0+ (à connaître absolument) -
lim ln(x)/x^n = 0 quand x → +∞ (polynôme l’emporte)
3. Lien entre ln et exp
eln(x) = x pour x > 0
ln(ex) = x pour tout x ∈ ℝ
Résoudre une équation : - e^x = k → x = ln(k) (si k > 0) - ln(x) = k → x = e^k
4. Tableau de valeurs à connaître
x ln(x)
1/e -1
1 0
e 1
e² 2
√e 1/2
5. Étude de fonctions avec ln et exp
Fonctions usuelles et leurs dérivées :
