Fiche de révision — Nombres complexes | Terminale Spé Maths
1. Définitions
Nombre complexe : z = a + ib avec a, b ∈ R et i² = -1 - a = Re(z) : partie réelle - b = Im(z) : partie imaginaire - Si b = 0 : z est réel
- Si a = 0 : z est imaginaire pur
Conjugué : z̄ = a - ib
Module : |z| = √(a² + b²)
2. Opérations
Addition : (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
Multiplication : (a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)
Division : Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
$$\frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}$$
Propriétés du conjugué : - z + z̄ = 2Re(z) - z · z̄ = |z|² - z̄₁ + z̄₂ = z̄₁ + z̄₂ (conjugué d’une somme) - z̄₁ · z̄₂ = z̄₁ · z̄₂ (conjugué d’un
produit)
3. Forme trigonométrique
Argument : θ = arg(z), l’angle que fait le vecteur OM avec l’axe des abscisses.
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i·sin θ) avec r = |z|
Passage algébrique → trigonométrique : - r = |z| = √(a² + b²) - cos θ = a/r et sin θ = b/r
4. Forme exponentielle (Euler)
z = r ⋅ eiθ
Formule d’Euler : e^(iθ) = cos θ + i·sin θ
Cas particuliers : - e^(iπ) = -1 (formule d’Euler remarquable) - e^(iπ/2) = i - e^(0) = 1
Multiplication en forme exponentielle :
z1 ⋅ z2 = r1r2 ⋅ ei(θ1+θ2)
→ Les modules se multiplient, les arguments s’additionnent.
Division :
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$
5. Formule de Moivre
(cosθ+i⋅sinθ)n = cos(nθ) + i ⋅ sin(nθ)
Utilisation : Calculer cos(nθ) et sin(nθ) en développant (cos θ + i·sin θ)^n.
Formules d’Euler (à connaître) :
$$cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$
1. Définitions
Nombre complexe : z = a + ib avec a, b ∈ R et i² = -1 - a = Re(z) : partie réelle - b = Im(z) : partie imaginaire - Si b = 0 : z est réel
- Si a = 0 : z est imaginaire pur
Conjugué : z̄ = a - ib
Module : |z| = √(a² + b²)
2. Opérations
Addition : (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
Multiplication : (a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)
Division : Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
$$\frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}$$
Propriétés du conjugué : - z + z̄ = 2Re(z) - z · z̄ = |z|² - z̄₁ + z̄₂ = z̄₁ + z̄₂ (conjugué d’une somme) - z̄₁ · z̄₂ = z̄₁ · z̄₂ (conjugué d’un
produit)
3. Forme trigonométrique
Argument : θ = arg(z), l’angle que fait le vecteur OM avec l’axe des abscisses.
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i·sin θ) avec r = |z|
Passage algébrique → trigonométrique : - r = |z| = √(a² + b²) - cos θ = a/r et sin θ = b/r
4. Forme exponentielle (Euler)
z = r ⋅ eiθ
Formule d’Euler : e^(iθ) = cos θ + i·sin θ
Cas particuliers : - e^(iπ) = -1 (formule d’Euler remarquable) - e^(iπ/2) = i - e^(0) = 1
Multiplication en forme exponentielle :
z1 ⋅ z2 = r1r2 ⋅ ei(θ1+θ2)
→ Les modules se multiplient, les arguments s’additionnent.
Division :
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$
5. Formule de Moivre
(cosθ+i⋅sinθ)n = cos(nθ) + i ⋅ sin(nθ)
Utilisation : Calculer cos(nθ) et sin(nθ) en développant (cos θ + i·sin θ)^n.
Formules d’Euler (à connaître) :
$$cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$
