Fiche de révision — Probabilités L1 IG2I
1. Axiomes & Probabilités
Règles de base
$$\boxed{P(\bar{A}) = 1 - P(A)}$$
$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$
Si A ∩ B = ∅ : P(A∪B) = P(A) + P(B)
Probabilité totale (SCE (Ai)) :
$$\boxed{P(X) = \sum_i P(X/A_i) \cdot P(A_i)}$$
Probabilité conditionnelle & Bayes
$$\boxed{P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$$
$$\boxed{P(A_j/X) = \frac{P(A_j) \cdot P(X/A_j)}{\sum_i P(A_i) \cdot P(X/A_i)}}$$
Indépendance : P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) ⇔ P(A/B) = P(A)
Méthode Bayes : identifier causes (Ai) + effet X → tableau avec P(Ai) et P(X/Ai) → calculer P(X) → appliquer la formule →
vérifier ∑P(Ai/X) = 1
2. Variable aléatoire
Discrète
$$\boxed{F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} f(x_i)}$$
P(a≤X≤b) = F(b) − F(a−) — somme des f(xi) de a à b
Méthode : dresser le tableau (xi,f(xi)), vérifier ∑f = 1, construire la CDF par somme cumulée.
Continue
$$\boxed{F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t),dt} \qquad P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$$
Méthode : trouver λ en résolvant ∫f = 1 → vérifier f ≥ 0 → F = primitive de f avec F(−∞) = 0 → E(X) = ∫xf(x), dx, Var(X) = E(X2)
− [E(X)]2
3. Espérance & Variance
$$\boxed{E(X) = \sum x \cdot f(x) \quad \text{ou} \quad \int x \cdot f(x),dx}$$
$$\boxed{\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}$$
Propriétés
1. Axiomes & Probabilités
Règles de base
$$\boxed{P(\bar{A}) = 1 - P(A)}$$
$$\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$
Si A ∩ B = ∅ : P(A∪B) = P(A) + P(B)
Probabilité totale (SCE (Ai)) :
$$\boxed{P(X) = \sum_i P(X/A_i) \cdot P(A_i)}$$
Probabilité conditionnelle & Bayes
$$\boxed{P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$$
$$\boxed{P(A_j/X) = \frac{P(A_j) \cdot P(X/A_j)}{\sum_i P(A_i) \cdot P(X/A_i)}}$$
Indépendance : P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) ⇔ P(A/B) = P(A)
Méthode Bayes : identifier causes (Ai) + effet X → tableau avec P(Ai) et P(X/Ai) → calculer P(X) → appliquer la formule →
vérifier ∑P(Ai/X) = 1
2. Variable aléatoire
Discrète
$$\boxed{F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} f(x_i)}$$
P(a≤X≤b) = F(b) − F(a−) — somme des f(xi) de a à b
Méthode : dresser le tableau (xi,f(xi)), vérifier ∑f = 1, construire la CDF par somme cumulée.
Continue
$$\boxed{F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t),dt} \qquad P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$$
Méthode : trouver λ en résolvant ∫f = 1 → vérifier f ≥ 0 → F = primitive de f avec F(−∞) = 0 → E(X) = ∫xf(x), dx, Var(X) = E(X2)
− [E(X)]2
3. Espérance & Variance
$$\boxed{E(X) = \sum x \cdot f(x) \quad \text{ou} \quad \int x \cdot f(x),dx}$$
$$\boxed{\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}$$
Propriétés
