Fiche de révision — Polynômes et Fractions Rationnelles L1 IG2I
1. Définitions et Structures de K[X]
Un polynôme n’est pas une fonction, mais une suite (an) d’éléments d’un corps K nulle à partir d’un certain rang.
Notation : $P = \sum_{i=0}^{n} a_i X^i$.
Égalité : P = Q ⇔ ∀i, ai = bi.
Degré (deg ) : Plus haut indice i tel que ai ≠ 0.
deg (0) = − ∞.
Unitaire : Coefficient dominant (adeg (P)) égal à 1.
Structures :
Espace vectoriel : (K[X],+,⋅).
Anneau commutatif unitaire : (K[X],+,×).
Intégrité : PQ = 0 ⟹ P = 0 ou Q = 0.
Règles du degré : * deg (P+Q) ≤ max (degP,degQ)
deg (PQ) = deg P + deg Q
2. Arithmétique et Divisibilité
L’arithmétique de K[X] est calquée sur celle de ℤ.
Division Euclidienne
Pour A, B ∈ K[X] (B ≠ 0), il existe un unique couple (Q,R) tel que :
A = BQ + R avec deg R < deg B
Irréductibilité
Un polynôme est irréductible s’il n’admet pour diviseurs que les constantes ou lui-même (équivalent des nombres premiers).
Décomposition : Tout polynôme se décompose de manière unique en produit de facteurs irréductibles.
Corps Polynômes Irréductibles
ℂ[X] Uniquement les degrés 1 (ex: X − a)
ℝ[X] Degrés 1 OU Degrs 2 avec Δ < 0
3. Racines et Multiplicité
Concepts Clés
Racine : a est racine de P ⇔ P(a) = 0 ⇔ (X−a) ∣ P.
Multiplicité (k) : a est racine d’ordre k si (X−a)k ∣ P et (X−a)k + 1 ∤ P.
Caractérisation : P(a) = P′(a) = … = P(k−1)(a) = 0 et P(k)(a) ≠ 0.
Nombre de racines : Un polynôme de degré n possède au plus n racines (comptées avec multiplicité).
Outils d’Analyse
Formule de Taylor : $P(X) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.
1. Définitions et Structures de K[X]
Un polynôme n’est pas une fonction, mais une suite (an) d’éléments d’un corps K nulle à partir d’un certain rang.
Notation : $P = \sum_{i=0}^{n} a_i X^i$.
Égalité : P = Q ⇔ ∀i, ai = bi.
Degré (deg ) : Plus haut indice i tel que ai ≠ 0.
deg (0) = − ∞.
Unitaire : Coefficient dominant (adeg (P)) égal à 1.
Structures :
Espace vectoriel : (K[X],+,⋅).
Anneau commutatif unitaire : (K[X],+,×).
Intégrité : PQ = 0 ⟹ P = 0 ou Q = 0.
Règles du degré : * deg (P+Q) ≤ max (degP,degQ)
deg (PQ) = deg P + deg Q
2. Arithmétique et Divisibilité
L’arithmétique de K[X] est calquée sur celle de ℤ.
Division Euclidienne
Pour A, B ∈ K[X] (B ≠ 0), il existe un unique couple (Q,R) tel que :
A = BQ + R avec deg R < deg B
Irréductibilité
Un polynôme est irréductible s’il n’admet pour diviseurs que les constantes ou lui-même (équivalent des nombres premiers).
Décomposition : Tout polynôme se décompose de manière unique en produit de facteurs irréductibles.
Corps Polynômes Irréductibles
ℂ[X] Uniquement les degrés 1 (ex: X − a)
ℝ[X] Degrés 1 OU Degrs 2 avec Δ < 0
3. Racines et Multiplicité
Concepts Clés
Racine : a est racine de P ⇔ P(a) = 0 ⇔ (X−a) ∣ P.
Multiplicité (k) : a est racine d’ordre k si (X−a)k ∣ P et (X−a)k + 1 ∤ P.
Caractérisation : P(a) = P′(a) = … = P(k−1)(a) = 0 et P(k)(a) ≠ 0.
Nombre de racines : Un polynôme de degré n possède au plus n racines (comptées avec multiplicité).
Outils d’Analyse
Formule de Taylor : $P(X) = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.
