Statistiek II: Kansrekening en
Inferentiële Statistiek (HOC)
Prof. Dr. Peter Theuns
Academiejaar 2025-2026
Inhoud:
Hoofdstuk 1 Kansrekening
Hoofdstuk 2 Steekproevenverdeling (sampling distributions)
Hoofdstuk 3 Inleiding tot inferentie
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Introductie
Doel: globale patronen en
kenmerken ontdekken
Deductieve of
a.d.h.v.
Beschrijvende statistiek
kerngetallen/karakteristieke
maten
Statistiek
Verklarende statistiek
waarbij rekening gehouden
wordt met TOEVAL
Inductieve of Inferentiële
statistiek
We gaan proberen
algemene uitspraken te
formuleren over de gehele
populatie
Populatie staat niet vast. Bv: je wilt alle
mensen op de planeet onderzoeken door
een vragenlijst in te vullen over een
bepaald thema. Er gaan mensen sterven
tijdens je onderzoek, wat dus onmogelijk
is. Daarom maken we een steekproef die
representatief is aan de populatie. Met
deze steekproef kan je bepaalde
specifieke uitspraken doen aan de hand
van beschrijvende statistiek. Als je meer
algemene uitspraken wilt maken maakt
je gebruik van de inferentiële statistiek.
Dit is een proces van inductie.
Het verschil tussen populatie en steekproef kan het best bekeken worden bij het
volgende voorbeeld.
Bv: stel dat in België evenveel jongens als meisjes kiezen om psychologie te gaan
studeren. Om hier dan een steekproef uit te halen kunnen we naar 2 belangrijke factoren
kijken. Oftewel naar geluk of naar pech. Als je een steekproef neemt waarbij je geluk
hebt, kom je tot een representatieve steekproef voor de gehele populatie. Als je pech
hebt krijg je het tegenovergestelde, een niet-representatieve steekproef voor de gehele
populatie. Hierbij is het belangrijk om te weten dat het mogelijks door toevalsresulaten
komt.
1
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Populatie
(50/50)
Niet-
Representatieve
representatiev
steekproef
e steekproef
(50/50)
(0/100)
We gaan er van uit dat als we een steeproef aan het behandelen zijn, we kunnen
concluderen dat alles ‘waar’ is. Maar op populatieniveau niet. Daarom gaan we eigenlijk
kansen berekenen, om te zien hoeveel kans iets heeft op voor te komen. Maar vanaf we
bezig zijn met kansen, moeten we ook rekening houden met toeval. Het volgende
voorbeeld verduidelijkt dit:
Bv: we gaan een rat proberen aanleren om de foto te kunnen linken met volgende
variabelen (leeftijd: jong en oud & geslacht: meisje en jongen). We gaan nu bij dit
voorbeeld zeggen dat we de rat willen gaan aanleren om het deurtje met een jong meisje
te kiezen. We kunnen dit doen door een beloning (voedsel) te geven bij het vinden van de
juiste deur. We gaan de rat dit 20 keer laten proberen en vervolgens kijken naar de
resultaten.
Bij 1 rat Bij 1000 ratten
Er is per keer dat de rat probeert de deur te Bij volgende grafiek die gemaakt werd o.b.v. 1000
vinden 1 kans op 4, waardoor we verwachten dat ratten gaan we enkel kijken naar toeval. Dit doen we
de rat op 20 5 correcte keuzes maakt door door te gaan zeggen dat de hoogste 5% (9 of meer)
toevalstreffers. (20.1/4 = 5) van de populatie het kan omdat ze meerdere juist
hebben gekozen. De andere 95% (8 of minder) kan
We gaan hier zeggen dat als de rat 5/20 haalt, die bepaald worden door toeval.
het eigenlijk niet goed begrepen heeft. Maar
20/20 is wel heel uitzonderlijk omdat de rat ook
foutjes kan maken. Daardoor gaan we een
grotere steekproef nemen, bv: van 1000 ratten
om te kijken naar die foutjes van ook meerdere
ratten om een betere uitspraak te kunnen doen.
2
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Verzamelingenleer
Een verzameling is een groepering van n Er zijn ook speciale gevallen:
elementen (willekeurig aantal).
Disjuncte verzameling. Dit
Notatie: A= a1, a2, …, an ontstaat wanneer 2
Grafiek: Venn-diagram verzamelingen elkaar NIET
overlappen.
Verschil. “A minus B”
Opmerkingen!
• Elke verzameling is een Complement. Dit is wanneer je
deelverzameling van het tegenovergestelde bedoeld of
zichzelf. wilt aanduiden.
• Lege verzameling is een o Van 1 verzameling
deelverzameling van elke
verzameling.
2 belangrijke begrippen bij
o Van 1 deelverzameling
verzamelingen zijn Unie en Doorsnede.
Unie = “of”
Partitie. Deelverzamelingen
vormen een partitie als er een
Doorsnede = “en” unie gemaakt kan worden en ze
2-aan-2 uitsluitend zijn.
3
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Combinatieleer
Aantal volgorden van n
verschillende objecten
Permutaties
Voorbeeld: een bepaalde
volgorde
Combinatieleer
Aantal geordende
deelverzamelingen
(!volgorde belangrijk!)
Variaties
Voorbeeld: een
rangschikking die je
maakt of gemaakt wordt
Aantal deelverzamelingen
(!volgorde niet belangrijk!)
Combinaties
Voorbeeld: een groep
Stappenplan
Ik heb een slot en ik moet de code kraken. De cijfers lopen van 1 tot 9.
1ste vraag: mag ik alle cijfers gebruiken?
Ja: dan neem je een permutatie
Nee: bijvoorbeeld (de code bestaat maar uit 3 getalen terwijl we de optie hebben
van 9 getallen). Dan maken we gebruik van oftewel combinatie of variatie.
2de vraag: Is de volgorde van belang?
Ja: bijvoorbeeld als je 6 boeken hebt, maar je mag er hier maar 3 van plaatsen.
Dan zal de volgorde die je gebruikt veel uitmaken. Want dan staan ze LETTERLIJK
op een andere volgorde. Dus zullen we gebruikmaken van VARIATIE.
Neen: stel je stelt een team samen van 3 kinderen en je hebt keuze uit 10
kinderen. Het is niet van belang wie je eerst kiest, het team blijft hetzelfde. Bij de
boekenplank zouden de boeken anders staan, maar in een team is dat niet van
belang. Hierbij maken we gebruik van COMBINATIE.
4
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Permutaties betekenen eigenlijk dat dat
je een aantal volgorde gaat maken van n
verschillende elementen. Dit wordt
symbolisch weergegeven door 𝑛!
Neem nu het voorbeeld hiernaast,
waarbij je 4 kleuren op verschillende
volgorden gaat zetten. Het makkelijkste
is om de volgorde te volgen van links
naar rechts. Dat geeft je een betere en
duidelijke structuur.
Variaties betekenen dat je een aantal geordende deelverzameling gaat maken. Dit wordt
𝑛!
symbolisch weergegeven door 𝑉𝑛𝑟 = (𝑛−𝑟)!
. 𝑛! betekent hier dat we een volgorden
hebben van alle n elementen. (𝑛 − 𝑟)! is eigenlijk de volgorden van 𝑛 − 𝑟 niet gekozen
elementen. We bespreken een aantal voorbeelden:
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2
Als de volgorde belangrijk is, moet je Je wilt bijvoorbeeld een vlag
eigenlijk het spiegelbeeld meerekenen samenstellen. Hierbij is de volgorde wel
van de verschillende koppels. belangrijk. Als je bijvoorbeeld de
Belgische vlag gaat maken, begin je met
zwart, geel en rood. Maar als je die zou
omdraaien, zou dat heel raar zijn.
Daarom is hier de volgorde belangrijk.
5
Inferentiële Statistiek (HOC)
Prof. Dr. Peter Theuns
Academiejaar 2025-2026
Inhoud:
Hoofdstuk 1 Kansrekening
Hoofdstuk 2 Steekproevenverdeling (sampling distributions)
Hoofdstuk 3 Inleiding tot inferentie
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Introductie
Doel: globale patronen en
kenmerken ontdekken
Deductieve of
a.d.h.v.
Beschrijvende statistiek
kerngetallen/karakteristieke
maten
Statistiek
Verklarende statistiek
waarbij rekening gehouden
wordt met TOEVAL
Inductieve of Inferentiële
statistiek
We gaan proberen
algemene uitspraken te
formuleren over de gehele
populatie
Populatie staat niet vast. Bv: je wilt alle
mensen op de planeet onderzoeken door
een vragenlijst in te vullen over een
bepaald thema. Er gaan mensen sterven
tijdens je onderzoek, wat dus onmogelijk
is. Daarom maken we een steekproef die
representatief is aan de populatie. Met
deze steekproef kan je bepaalde
specifieke uitspraken doen aan de hand
van beschrijvende statistiek. Als je meer
algemene uitspraken wilt maken maakt
je gebruik van de inferentiële statistiek.
Dit is een proces van inductie.
Het verschil tussen populatie en steekproef kan het best bekeken worden bij het
volgende voorbeeld.
Bv: stel dat in België evenveel jongens als meisjes kiezen om psychologie te gaan
studeren. Om hier dan een steekproef uit te halen kunnen we naar 2 belangrijke factoren
kijken. Oftewel naar geluk of naar pech. Als je een steekproef neemt waarbij je geluk
hebt, kom je tot een representatieve steekproef voor de gehele populatie. Als je pech
hebt krijg je het tegenovergestelde, een niet-representatieve steekproef voor de gehele
populatie. Hierbij is het belangrijk om te weten dat het mogelijks door toevalsresulaten
komt.
1
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Populatie
(50/50)
Niet-
Representatieve
representatiev
steekproef
e steekproef
(50/50)
(0/100)
We gaan er van uit dat als we een steeproef aan het behandelen zijn, we kunnen
concluderen dat alles ‘waar’ is. Maar op populatieniveau niet. Daarom gaan we eigenlijk
kansen berekenen, om te zien hoeveel kans iets heeft op voor te komen. Maar vanaf we
bezig zijn met kansen, moeten we ook rekening houden met toeval. Het volgende
voorbeeld verduidelijkt dit:
Bv: we gaan een rat proberen aanleren om de foto te kunnen linken met volgende
variabelen (leeftijd: jong en oud & geslacht: meisje en jongen). We gaan nu bij dit
voorbeeld zeggen dat we de rat willen gaan aanleren om het deurtje met een jong meisje
te kiezen. We kunnen dit doen door een beloning (voedsel) te geven bij het vinden van de
juiste deur. We gaan de rat dit 20 keer laten proberen en vervolgens kijken naar de
resultaten.
Bij 1 rat Bij 1000 ratten
Er is per keer dat de rat probeert de deur te Bij volgende grafiek die gemaakt werd o.b.v. 1000
vinden 1 kans op 4, waardoor we verwachten dat ratten gaan we enkel kijken naar toeval. Dit doen we
de rat op 20 5 correcte keuzes maakt door door te gaan zeggen dat de hoogste 5% (9 of meer)
toevalstreffers. (20.1/4 = 5) van de populatie het kan omdat ze meerdere juist
hebben gekozen. De andere 95% (8 of minder) kan
We gaan hier zeggen dat als de rat 5/20 haalt, die bepaald worden door toeval.
het eigenlijk niet goed begrepen heeft. Maar
20/20 is wel heel uitzonderlijk omdat de rat ook
foutjes kan maken. Daardoor gaan we een
grotere steekproef nemen, bv: van 1000 ratten
om te kijken naar die foutjes van ook meerdere
ratten om een betere uitspraak te kunnen doen.
2
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Verzamelingenleer
Een verzameling is een groepering van n Er zijn ook speciale gevallen:
elementen (willekeurig aantal).
Disjuncte verzameling. Dit
Notatie: A= a1, a2, …, an ontstaat wanneer 2
Grafiek: Venn-diagram verzamelingen elkaar NIET
overlappen.
Verschil. “A minus B”
Opmerkingen!
• Elke verzameling is een Complement. Dit is wanneer je
deelverzameling van het tegenovergestelde bedoeld of
zichzelf. wilt aanduiden.
• Lege verzameling is een o Van 1 verzameling
deelverzameling van elke
verzameling.
2 belangrijke begrippen bij
o Van 1 deelverzameling
verzamelingen zijn Unie en Doorsnede.
Unie = “of”
Partitie. Deelverzamelingen
vormen een partitie als er een
Doorsnede = “en” unie gemaakt kan worden en ze
2-aan-2 uitsluitend zijn.
3
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Combinatieleer
Aantal volgorden van n
verschillende objecten
Permutaties
Voorbeeld: een bepaalde
volgorde
Combinatieleer
Aantal geordende
deelverzamelingen
(!volgorde belangrijk!)
Variaties
Voorbeeld: een
rangschikking die je
maakt of gemaakt wordt
Aantal deelverzamelingen
(!volgorde niet belangrijk!)
Combinaties
Voorbeeld: een groep
Stappenplan
Ik heb een slot en ik moet de code kraken. De cijfers lopen van 1 tot 9.
1ste vraag: mag ik alle cijfers gebruiken?
Ja: dan neem je een permutatie
Nee: bijvoorbeeld (de code bestaat maar uit 3 getalen terwijl we de optie hebben
van 9 getallen). Dan maken we gebruik van oftewel combinatie of variatie.
2de vraag: Is de volgorde van belang?
Ja: bijvoorbeeld als je 6 boeken hebt, maar je mag er hier maar 3 van plaatsen.
Dan zal de volgorde die je gebruikt veel uitmaken. Want dan staan ze LETTERLIJK
op een andere volgorde. Dus zullen we gebruikmaken van VARIATIE.
Neen: stel je stelt een team samen van 3 kinderen en je hebt keuze uit 10
kinderen. Het is niet van belang wie je eerst kiest, het team blijft hetzelfde. Bij de
boekenplank zouden de boeken anders staan, maar in een team is dat niet van
belang. Hierbij maken we gebruik van COMBINATIE.
4
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Permutaties betekenen eigenlijk dat dat
je een aantal volgorde gaat maken van n
verschillende elementen. Dit wordt
symbolisch weergegeven door 𝑛!
Neem nu het voorbeeld hiernaast,
waarbij je 4 kleuren op verschillende
volgorden gaat zetten. Het makkelijkste
is om de volgorde te volgen van links
naar rechts. Dat geeft je een betere en
duidelijke structuur.
Variaties betekenen dat je een aantal geordende deelverzameling gaat maken. Dit wordt
𝑛!
symbolisch weergegeven door 𝑉𝑛𝑟 = (𝑛−𝑟)!
. 𝑛! betekent hier dat we een volgorden
hebben van alle n elementen. (𝑛 − 𝑟)! is eigenlijk de volgorden van 𝑛 − 𝑟 niet gekozen
elementen. We bespreken een aantal voorbeelden:
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2
Als de volgorde belangrijk is, moet je Je wilt bijvoorbeeld een vlag
eigenlijk het spiegelbeeld meerekenen samenstellen. Hierbij is de volgorde wel
van de verschillende koppels. belangrijk. Als je bijvoorbeeld de
Belgische vlag gaat maken, begin je met
zwart, geel en rood. Maar als je die zou
omdraaien, zou dat heel raar zijn.
Daarom is hier de volgorde belangrijk.
5
