Hannah Vrambout
Statistiek HOC
1) Kansrekenen
Basisconcepten v/ kansrekenen
Kansexperiment = experiment waarvan de uitkomst dr toeval wordt bepaald
- Mogelijke uitkomst zijn wel gekend
- Experiment kan herhaald worden
- Herhaalde experimenten zijn onafh
- Bv: het gooien v/e dobbelsteen want het resultaat wordt bepaald dr toeval
Uitkomstenruime (universum, sample space): verzameling v/ alle mogelijke uitkomsten.
à Bv. wnnr je een dobbelsteen eenmaal opgooit, is de uitkomstenruimte {1,2,3,4,5,6}
à Bv. wnnr je eenmaal een muntstuk opgooit, is de uitkomstenruimte {K, M}
Gebeurtenis (event): subset v/ uitkomstenruimte of deelverzameling v/ uitkomsten
- Kan gaan over 1 of meerdere uitkomsten v/h kansexperiment
- Meestal aangeduid met een hoofdletter
- Bv. gebeurtenis A= een zes gooien = {6}
- Bv. gebeurtenis B = een even aantal ogen gooien = {2,4,6}
Het concept kans: maat vr de waarschijnlijkheid v/e bep uitkomst/gebeurtenis in een
kansexperiment
= een proportie (een waarde tussen 0 en 1)
à Bv. gooien met dobbelsteen: P(6) = 1/6 = 16,666667% = 0,166667
3 benaderingen v/ kans:
1. Theoretische kans
- Op voorhand theoretisch bepalen
- Regel v/ Laplace in uniforme kansverdeling: alle uitkomsten hebben eenzelfde kans
- Probleem: soms onmogelijk om theoretische kans te bepalen (bv. slaagkans examen)
2. Empirische kans
- De kans op een bep uitkomst/gebeurtenis is de limiet v/d rel freq
à Wnnr het aantal experimenten/observaties oneindig groot wordt
- Kans kwantificeert toeval (randomnes) op lange termijn dus groot aantal experimenten
- Aangezien oneindigheid nooit geobserveerd kan worden, zijn deze kansen altijd
theoretische benaderingen v/ hun limietwaarden
- Wet v/d grote aantallen (Jakob Bernoulli): elk experiment is onafh v/d andere
3. Subjectieve kans:
- Soms is het onmogelijk om zeer veel observaties uit te voeren
- Bv. Wat is de kans dat we buitenaards leven tegenkomen?
- Kans op bep uitkomst is dan een gebaseerde eigen inschatting
- Bayesiaanse statistiek (Thomas Bayes): men start v/e tevoren ingeschatte kans die
verfijnd wordt op basis v/ nieuwe info
1
,Doorsnede v/ gebeurtenissen (intersection): 2 gebeurtenissen die overlappen (tegelijk) dus 2
gemeenschapp uitkomsten hebben.
à Notatie: P(𝐴 ∩ 𝐵) = de kans op A en B
Disjuncte gebeurtenissen (disjoint events): gebeurtenissen die geen enkele uitkomst
gemeenschappelijk hebben à Sluiten elkaar uit, komen niet tegelijk vr
- 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ en dus dat 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
à ∅ = lege verzameling en ∩ = doorsnede
- Gebeurtenis A en complement Ac per definitie disjunct
Unie v/ gebeurtenissen: kans dat gebeurtenis A, gebuertenis B of beide teglijk voorkomen
à Notatie: P(A U B)
Rekenregels vr kansen
3 basisregels:
1. Complementregel: alle uitkomsten in de uitkomstenruimte die niet tot A behoren (Ac )
à Uit P(A) + P(Ac) = 1 en P(Ac) = 1 – P(A)
2. Somregel: kans op unie v/ gebeurtenis A en B
à P(A U B) = P(A) + P(B) – P(𝐴 ∩ 𝐵)
3. Productregel: kans dat gebeurtenis A en gebeurtenis B voorkomen, op voorwaarde dat
deze onafh zijn
= het product v/d kans op A en de kans op B
à Indien A en B wel onafh zijn: P(𝐴 ∩ 𝐵) = P(A).P(B)
à Indien A en B niet onafh zijn: P(𝐴 ∩ 𝐵) = P(A).P(B/A)
Voorwaardelijke kansen
Onafh gebeurtenissen: gebeurtenissen waarbij de kans op de ene gebeurtenis geen invloed
heeft op de kans v/d andere gebeurtenis (bv. kans op meisje bij geboorte)
à Meeste gebeurtenissen zijn niet onafh (dus afh)
Afh gebeurtenissen: gebeurtenissen waarbij de kans op de ene gebeurtenis wel invloed heeft
op de kans v/d andere gebeurtenis
(bv. keten lanceert product en maakt hierdoor reclame)
= voorwaardelijke kans: P(B/A) = P(𝐴 ∩ 𝐵) / P(A) à P(B/A): kans op B indien A gegeven is
Formule totale kans:
- P(B) = P(𝐴 ∩ 𝐵) + P(Ac ∩ 𝐵)
- P(B) = P(A).P(B/A) + P(Ac).P(B/ Ac)
Regel v/ Bayes (=omkeerformule): P(A/B) = P(B/A).P(A) / P(B/A).P(A) + P(B/ Ac).P(Ac)
2
,2) Kansverdelingen
Inleiding
Variabele: een bevraagd/geobserveerd/gemeten kenmerk waarvan de waarden variëren tussen
onderzoekseenheden
- Kwalitatieve/categorische variabele: elke observatie behoort tot een bep categorie (bv.
haarkleur, geboorteland, bloedgroep)
- Kwantitatieve/metrische variabele: observaties hebben numerieke waarden met
wiskundige betekenis
à Discrete variabele: mogelijke waarden bestaan uit gehele getallen (bv. aantal
kinderen in huis)
à Continue variabele: elke waarde binnen een bep interval (bv. lengte, gewicht,
tijd,…)
Toevalsvariabele (stochastische variabele): versch mogelijke waarden v/ variabele zijn
gekend, maar kunnen niet volledig v/ tevoren bepaald worden vr elke observatie
à Deze toevalligheid is vaak het gevolg v/: het uitvoeren v/e toevalsexperiment of het
gebruik v/e toevalssteekproef
à Kans kwantificeert toeval op lange termijn (wet v/d grote aantallen)
Kansverdeling v/e toevalsvariabele: specifieert de mogelijke waarden en kansen v/ die
waarden
Wet v/ grote aantallen: hoe meer experimenten/observaties, hoe meer de geobserveerde
relatieve frequentieverdeling de theoretische kansverdeling benadert (bv. een dobbelsteen
opgooien)
Frequentieverdeling: betrekking op empirische proportie dat bep waarde zou moeten
voorkomen
à Wet v/d grote getallen: hoe meer experimenten, hoe meer de geobserveerde rel freq-
verdeling de theoretisch kansverdeling benadert
Kansverdeling: betrekking op theoretische proportie dat bep waarde zou moeten voorkomen
à Bij hoog aantal observaties zal de empirische proportie de theoretische proportie benaderen
Versch (univariate) kansverdelingen:
- Discrete toevalsvariabelen à discrete kansverdelingen
- Continue toevalsvariabelen à continue kansverdelingen
3
, Discrete kansverdelingen
Dicrete toevalsvariabele:
- Kwantitatieve variabele die versch mogelijke discrete waarden/uitkomsten aanneemt,
zoals 0,1,2,3,…
- De waarden/uitkomst v/d variabele worden dr toeval bepaald
Kansverdeling:
- Vr elke x valt de kans P(x) tussen 0 en 1
- De som v/d kansen vr alle mogelijke waarden x is gelijk aan 1
Gemiddelde v/e discrete kansverdelingen:
= verwachte waarde op lange termijn à E(X) à gem v/d verdeling
- Formule: μ = ∑x ⋅p(x )
i i
- Formule houdt rekening met het feit dat niet iedere uitkomst even waarschijnlijk is
Het is niet ongebruikelijk dat de verwachte waarde v/e toevalsvariabele een waarde aanneemt
die geen mogelijke uitkomst is!
Binomiaalverdeling
Bernoulli-experiment: een toevalsexperiment met een binaire/dichotome uitkomstvariabele =
succes vs mislukking
(=categorische toevalsvariabele met slechts 2 mogelijke uitkomsten) à Bv. de kans op een
meisje bij het krijgen v/e kind
Binomiaalverdeling: verdeling v/h aantal successen bij een aantal onafh Bernoulli-
experimenten met telkens een gelijke kans op succes
à De binomiaalverdeelde toevalsvariabele X = het aantal successen in n experimenten (trials)
Voorwaarden binomiaalverdeling:
- Ieder experiment heeft 2 mogelijke uitkomsten
à De uitkomst waarin we geïnteresseerd zijn = succes + de andere = mislukking
- De n experimenten zijn onafh v/ elkaar
- Elk experiment heeft dezelfde kans op succes (kans op mislukking = compliment 1-p)
Notatie: X ~ B(n, p) à n = aantal experimenten en p = kans op succes bij elk experiment
x n-x
Formule: P(x) = n! / x!(n-x)! . p (1- p) , x = 0,1,2,...,n
Rekenregels vr faculteit: n8 = n.(n-1).(n-2)…2.1
à 1! = 1 en 0! = 1
Contiue kansverdelingen
Continue (toevals)variabele: oneindig aantal mogelijke waarden in bep interval (bv. tijd,
leeftijd, gewicht,…)
à Grafische weergave: histogram
Bij een continue variabele kan breedte v/ intervallen vrij bepaald worden.
4
Statistiek HOC
1) Kansrekenen
Basisconcepten v/ kansrekenen
Kansexperiment = experiment waarvan de uitkomst dr toeval wordt bepaald
- Mogelijke uitkomst zijn wel gekend
- Experiment kan herhaald worden
- Herhaalde experimenten zijn onafh
- Bv: het gooien v/e dobbelsteen want het resultaat wordt bepaald dr toeval
Uitkomstenruime (universum, sample space): verzameling v/ alle mogelijke uitkomsten.
à Bv. wnnr je een dobbelsteen eenmaal opgooit, is de uitkomstenruimte {1,2,3,4,5,6}
à Bv. wnnr je eenmaal een muntstuk opgooit, is de uitkomstenruimte {K, M}
Gebeurtenis (event): subset v/ uitkomstenruimte of deelverzameling v/ uitkomsten
- Kan gaan over 1 of meerdere uitkomsten v/h kansexperiment
- Meestal aangeduid met een hoofdletter
- Bv. gebeurtenis A= een zes gooien = {6}
- Bv. gebeurtenis B = een even aantal ogen gooien = {2,4,6}
Het concept kans: maat vr de waarschijnlijkheid v/e bep uitkomst/gebeurtenis in een
kansexperiment
= een proportie (een waarde tussen 0 en 1)
à Bv. gooien met dobbelsteen: P(6) = 1/6 = 16,666667% = 0,166667
3 benaderingen v/ kans:
1. Theoretische kans
- Op voorhand theoretisch bepalen
- Regel v/ Laplace in uniforme kansverdeling: alle uitkomsten hebben eenzelfde kans
- Probleem: soms onmogelijk om theoretische kans te bepalen (bv. slaagkans examen)
2. Empirische kans
- De kans op een bep uitkomst/gebeurtenis is de limiet v/d rel freq
à Wnnr het aantal experimenten/observaties oneindig groot wordt
- Kans kwantificeert toeval (randomnes) op lange termijn dus groot aantal experimenten
- Aangezien oneindigheid nooit geobserveerd kan worden, zijn deze kansen altijd
theoretische benaderingen v/ hun limietwaarden
- Wet v/d grote aantallen (Jakob Bernoulli): elk experiment is onafh v/d andere
3. Subjectieve kans:
- Soms is het onmogelijk om zeer veel observaties uit te voeren
- Bv. Wat is de kans dat we buitenaards leven tegenkomen?
- Kans op bep uitkomst is dan een gebaseerde eigen inschatting
- Bayesiaanse statistiek (Thomas Bayes): men start v/e tevoren ingeschatte kans die
verfijnd wordt op basis v/ nieuwe info
1
,Doorsnede v/ gebeurtenissen (intersection): 2 gebeurtenissen die overlappen (tegelijk) dus 2
gemeenschapp uitkomsten hebben.
à Notatie: P(𝐴 ∩ 𝐵) = de kans op A en B
Disjuncte gebeurtenissen (disjoint events): gebeurtenissen die geen enkele uitkomst
gemeenschappelijk hebben à Sluiten elkaar uit, komen niet tegelijk vr
- 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ en dus dat 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
à ∅ = lege verzameling en ∩ = doorsnede
- Gebeurtenis A en complement Ac per definitie disjunct
Unie v/ gebeurtenissen: kans dat gebeurtenis A, gebuertenis B of beide teglijk voorkomen
à Notatie: P(A U B)
Rekenregels vr kansen
3 basisregels:
1. Complementregel: alle uitkomsten in de uitkomstenruimte die niet tot A behoren (Ac )
à Uit P(A) + P(Ac) = 1 en P(Ac) = 1 – P(A)
2. Somregel: kans op unie v/ gebeurtenis A en B
à P(A U B) = P(A) + P(B) – P(𝐴 ∩ 𝐵)
3. Productregel: kans dat gebeurtenis A en gebeurtenis B voorkomen, op voorwaarde dat
deze onafh zijn
= het product v/d kans op A en de kans op B
à Indien A en B wel onafh zijn: P(𝐴 ∩ 𝐵) = P(A).P(B)
à Indien A en B niet onafh zijn: P(𝐴 ∩ 𝐵) = P(A).P(B/A)
Voorwaardelijke kansen
Onafh gebeurtenissen: gebeurtenissen waarbij de kans op de ene gebeurtenis geen invloed
heeft op de kans v/d andere gebeurtenis (bv. kans op meisje bij geboorte)
à Meeste gebeurtenissen zijn niet onafh (dus afh)
Afh gebeurtenissen: gebeurtenissen waarbij de kans op de ene gebeurtenis wel invloed heeft
op de kans v/d andere gebeurtenis
(bv. keten lanceert product en maakt hierdoor reclame)
= voorwaardelijke kans: P(B/A) = P(𝐴 ∩ 𝐵) / P(A) à P(B/A): kans op B indien A gegeven is
Formule totale kans:
- P(B) = P(𝐴 ∩ 𝐵) + P(Ac ∩ 𝐵)
- P(B) = P(A).P(B/A) + P(Ac).P(B/ Ac)
Regel v/ Bayes (=omkeerformule): P(A/B) = P(B/A).P(A) / P(B/A).P(A) + P(B/ Ac).P(Ac)
2
,2) Kansverdelingen
Inleiding
Variabele: een bevraagd/geobserveerd/gemeten kenmerk waarvan de waarden variëren tussen
onderzoekseenheden
- Kwalitatieve/categorische variabele: elke observatie behoort tot een bep categorie (bv.
haarkleur, geboorteland, bloedgroep)
- Kwantitatieve/metrische variabele: observaties hebben numerieke waarden met
wiskundige betekenis
à Discrete variabele: mogelijke waarden bestaan uit gehele getallen (bv. aantal
kinderen in huis)
à Continue variabele: elke waarde binnen een bep interval (bv. lengte, gewicht,
tijd,…)
Toevalsvariabele (stochastische variabele): versch mogelijke waarden v/ variabele zijn
gekend, maar kunnen niet volledig v/ tevoren bepaald worden vr elke observatie
à Deze toevalligheid is vaak het gevolg v/: het uitvoeren v/e toevalsexperiment of het
gebruik v/e toevalssteekproef
à Kans kwantificeert toeval op lange termijn (wet v/d grote aantallen)
Kansverdeling v/e toevalsvariabele: specifieert de mogelijke waarden en kansen v/ die
waarden
Wet v/ grote aantallen: hoe meer experimenten/observaties, hoe meer de geobserveerde
relatieve frequentieverdeling de theoretische kansverdeling benadert (bv. een dobbelsteen
opgooien)
Frequentieverdeling: betrekking op empirische proportie dat bep waarde zou moeten
voorkomen
à Wet v/d grote getallen: hoe meer experimenten, hoe meer de geobserveerde rel freq-
verdeling de theoretisch kansverdeling benadert
Kansverdeling: betrekking op theoretische proportie dat bep waarde zou moeten voorkomen
à Bij hoog aantal observaties zal de empirische proportie de theoretische proportie benaderen
Versch (univariate) kansverdelingen:
- Discrete toevalsvariabelen à discrete kansverdelingen
- Continue toevalsvariabelen à continue kansverdelingen
3
, Discrete kansverdelingen
Dicrete toevalsvariabele:
- Kwantitatieve variabele die versch mogelijke discrete waarden/uitkomsten aanneemt,
zoals 0,1,2,3,…
- De waarden/uitkomst v/d variabele worden dr toeval bepaald
Kansverdeling:
- Vr elke x valt de kans P(x) tussen 0 en 1
- De som v/d kansen vr alle mogelijke waarden x is gelijk aan 1
Gemiddelde v/e discrete kansverdelingen:
= verwachte waarde op lange termijn à E(X) à gem v/d verdeling
- Formule: μ = ∑x ⋅p(x )
i i
- Formule houdt rekening met het feit dat niet iedere uitkomst even waarschijnlijk is
Het is niet ongebruikelijk dat de verwachte waarde v/e toevalsvariabele een waarde aanneemt
die geen mogelijke uitkomst is!
Binomiaalverdeling
Bernoulli-experiment: een toevalsexperiment met een binaire/dichotome uitkomstvariabele =
succes vs mislukking
(=categorische toevalsvariabele met slechts 2 mogelijke uitkomsten) à Bv. de kans op een
meisje bij het krijgen v/e kind
Binomiaalverdeling: verdeling v/h aantal successen bij een aantal onafh Bernoulli-
experimenten met telkens een gelijke kans op succes
à De binomiaalverdeelde toevalsvariabele X = het aantal successen in n experimenten (trials)
Voorwaarden binomiaalverdeling:
- Ieder experiment heeft 2 mogelijke uitkomsten
à De uitkomst waarin we geïnteresseerd zijn = succes + de andere = mislukking
- De n experimenten zijn onafh v/ elkaar
- Elk experiment heeft dezelfde kans op succes (kans op mislukking = compliment 1-p)
Notatie: X ~ B(n, p) à n = aantal experimenten en p = kans op succes bij elk experiment
x n-x
Formule: P(x) = n! / x!(n-x)! . p (1- p) , x = 0,1,2,...,n
Rekenregels vr faculteit: n8 = n.(n-1).(n-2)…2.1
à 1! = 1 en 0! = 1
Contiue kansverdelingen
Continue (toevals)variabele: oneindig aantal mogelijke waarden in bep interval (bv. tijd,
leeftijd, gewicht,…)
à Grafische weergave: histogram
Bij een continue variabele kan breedte v/ intervallen vrij bepaald worden.
4
