Résumé L’exponentielle et l’introduction aux fonctions trigonométriques. Version abrégée

© Valeria Loutsenko


L’exponentielle et l’introduction aux fonctions
trigonométriques.



Table des Matières

I. La fonction exponentielle ..................................................................................................... 2
Série de Taylor ...................................................................................................................... 2
Fonction exponentielle .......................................................................................................... 3
Sinus et Cosinus en forme de séries de puissance ............................................................... 3
II. L’exponentielle et les nombres complexes ........................................................................... 5
Un nombre complexe............................................................................................................. 5
Quelques propriétés des nombres complexes ....................................................................... 5
1. Le conjugué complexe ............................................................................................... 5
2. La notation angulaire d’un nombre complexe .......................................................... 5
L’exponentielle complexe ...................................................................................................... 6
III. La trigonométrie dans le plan complexe ............................................................................ 8
Le conjugué complexe ........................................................................................................ 8
Cosinus et Sinus dans le plan trigonométrique ................................................................ 9
L’addition des angles ........................................................................................................11
Aide-Mémoire pour les identités trigonométriques ................................................................13
IV. Les autres fonctions dans le plan complexe ......................................................................14
Le logarithme népérien, la fonction inverse de l’exponentielle ..........................................14




Animations Geo-Gebra :

1. L’exponentielle complexe : https://www.geogebra.org/m/vjfstyzx
2. L’addition des angles avec l’exponentielle complexe :
https://www.geogebra.org/m/qqa3qmuv




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, © Valeria Loutsenko


L’exponentielle et l’introduction aux fonctions
trigonométriques.

La fonction exponentielle
Définition : Une des définitions est que la fonction exponentielle, 𝑦 = 𝑒 𝑥 , est la
fonction qui a elle-même comme sa dérivée. Son équation différentielle s’écrit comme 𝑦 ′ = 𝑦. 1




Série de Taylor
Cette fiche d’aide va beaucoup s’appuyer sur les séries de Taylor, ou les séries de puissance.
L’idée de Taylor est de pouvoir afficher les fonctions en tant que les séries de puissances, en
utilisant un point d’approximation. La forme d’une telle série est :
∞

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯
𝑛=0

Plus précisément, les fonctions en question prendront cette forme :
∞
𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) 𝑓 (𝑛) (𝑥0 )
𝑓(𝑥) = ∑ (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 ; 𝑎𝑛 = 2
𝑛! 𝑛!
𝑛=0

Pour simplifier nos calculs, on prendra un type particulier des séries de Taylor, nommé les
séries de McLaurin, où on prendra toujours le x0 égal à 0. 3


𝑑𝑦 𝑑𝑦
1 Solution de l’équation en question : 𝑦 ′ = 𝑦 → 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑥 → = 𝑑𝑥 → 𝑥 = ∫ = ln(𝑦) + 𝐶
𝑦 𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝐶𝑒
2 On extrait tous les an en dérivant n fois la fonction f(x) au point x0 :
𝑓(𝑥0 ) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥0 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥0 − 𝑥0 )2 + ⋯ = 𝑎0
𝑓′(𝑥0 ) = 𝑎1 + 2𝑎2 (𝑥0 − 𝑥0 ) + 3𝑎3 (𝑥0 − 𝑥0 )2 + ⋯ = 𝑎1
𝑓′′(𝑥0 ) = 2𝑎2 + 6𝑎3 (𝑥0 − 𝑥0 ) + 12𝑎4 (𝑥0 − 𝑥0 )2 + ⋯ = 2𝑎2
…
𝒇(𝒏) (𝒙𝟎 )
𝒇(𝒏) (𝒙𝟎 ) = 𝒏! 𝒂𝒏 ↔ 𝒂𝒏 =
𝒏!
3 Série de McLaurin : 𝑓(𝑥) = ∑∞
𝑓 (𝑛) (0) 𝑛
𝑛=0 𝑥
𝑛!


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