Cours Complet : Analyse des Séries et Applications
Chapitre 1 : Les Séries Numériques
L'enjeu est de donner un sens mathématique à une somme infinie de nombres.
1. Fondements et Définitions
Série de terme général un : C'est l'étude de la suite des sommes partielles SN = N
n=0 un .
P
Convergence : Une série converge si SN admet une limite finie S quand N → +∞.
Nature d'une série :
Déterminer si elle converge ou diverge.
La nature ne dépend pas des premiers termes, mais du comportement "à l'infini".
2. Séries de Référence
P n (À connaître par c÷ur)
Série Géométrique x :
Convergence : si |x < 1, alors la somme est S = 1−x 1
.
Divergence : si |x ≥ 1.Exemple : 9, 999... = 9 + 10 + 100
9 9 1
+ ... = 9 × 1−1/10 = 10.
Série de Riemann nα :
P 1
Converge si α > 1.
Diverge si α ≤ 1.
π2
Exemples : La série harmonique n diverge, tandis que n2 converge vers 6 .
P1 P 1
3. Critères de Convergence (Exemples détaillés)
Règle de d'Alembert :
On étudie l = limn→+∞ uun+1
n
. Si l < 1, convergence.
P an an+1
Exemple : n! . Le rapport (n+1)! × an = n+1 → 0.
n! a
Comme 0 < 1, la série converge pour tout a > 0.
Règle de Cauchy :
√
On étudie lP= limn→+∞ n un . Si l < 1, convergence.
Exemple : (ln n)n .
1
√
On a un = ln1n → 0.
n
Comme 0 < 1, la série converge.
Séries Alternées :
(−1)n an converge si an est une suite positive, décroissante et tend vers 0.
P
P (−1)n−1
Exemple : La série harmonique alternée n converge vers ln 2.
Chapitre 2 : Les Séries Entières
Une série entière est une série de fonctions de la forme an z n .
P
1. Rayon de Convergence (R)
Il existe un nombre R tel que la série converge absolument si |z| < R et diverge si |z| > R.
Exemple : P xn
Pour l'exponentielle ex = n! , le rayon R = +∞ car elle converge pour tout x.
2. Développements Usuels
P (xRn = +∞)
Exponentielle : ex = +∞ n=0 .
P+∞ (−1)n xn!2n
Cosinus : cos x = n=0 (2n)! .
(−1)n x2n+1
Sinus : sin x = +∞ (2n+1)! .
P
n=0
Chapitre 3 : Les Séries de Fourier
Elles permettent de décomposer un signal périodique complexe en une somme
de signaux sinusoïdaux simples(harmoniques).
1. Définition et Formules
Pour une fonction f de période T (pulsation ω = 2π
T ), la série de Fourier est:
+∞
X
S(f )(t) = a0 + (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
n=1
RT RT RT
Coefficients:a0 = 1
T 0
f (t)dt (Valeur moyenne) an = 2
T 0
f (t) cos(nωt)dt bn = 2
T 0
f (t) sin(nωt)dt
2. Impact des Symétries
1
Chapitre 1 : Les Séries Numériques
L'enjeu est de donner un sens mathématique à une somme infinie de nombres.
1. Fondements et Définitions
Série de terme général un : C'est l'étude de la suite des sommes partielles SN = N
n=0 un .
P
Convergence : Une série converge si SN admet une limite finie S quand N → +∞.
Nature d'une série :
Déterminer si elle converge ou diverge.
La nature ne dépend pas des premiers termes, mais du comportement "à l'infini".
2. Séries de Référence
P n (À connaître par c÷ur)
Série Géométrique x :
Convergence : si |x < 1, alors la somme est S = 1−x 1
.
Divergence : si |x ≥ 1.Exemple : 9, 999... = 9 + 10 + 100
9 9 1
+ ... = 9 × 1−1/10 = 10.
Série de Riemann nα :
P 1
Converge si α > 1.
Diverge si α ≤ 1.
π2
Exemples : La série harmonique n diverge, tandis que n2 converge vers 6 .
P1 P 1
3. Critères de Convergence (Exemples détaillés)
Règle de d'Alembert :
On étudie l = limn→+∞ uun+1
n
. Si l < 1, convergence.
P an an+1
Exemple : n! . Le rapport (n+1)! × an = n+1 → 0.
n! a
Comme 0 < 1, la série converge pour tout a > 0.
Règle de Cauchy :
√
On étudie lP= limn→+∞ n un . Si l < 1, convergence.
Exemple : (ln n)n .
1
√
On a un = ln1n → 0.
n
Comme 0 < 1, la série converge.
Séries Alternées :
(−1)n an converge si an est une suite positive, décroissante et tend vers 0.
P
P (−1)n−1
Exemple : La série harmonique alternée n converge vers ln 2.
Chapitre 2 : Les Séries Entières
Une série entière est une série de fonctions de la forme an z n .
P
1. Rayon de Convergence (R)
Il existe un nombre R tel que la série converge absolument si |z| < R et diverge si |z| > R.
Exemple : P xn
Pour l'exponentielle ex = n! , le rayon R = +∞ car elle converge pour tout x.
2. Développements Usuels
P (xRn = +∞)
Exponentielle : ex = +∞ n=0 .
P+∞ (−1)n xn!2n
Cosinus : cos x = n=0 (2n)! .
(−1)n x2n+1
Sinus : sin x = +∞ (2n+1)! .
P
n=0
Chapitre 3 : Les Séries de Fourier
Elles permettent de décomposer un signal périodique complexe en une somme
de signaux sinusoïdaux simples(harmoniques).
1. Définition et Formules
Pour une fonction f de période T (pulsation ω = 2π
T ), la série de Fourier est:
+∞
X
S(f )(t) = a0 + (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
n=1
RT RT RT
Coefficients:a0 = 1
T 0
f (t)dt (Valeur moyenne) an = 2
T 0
f (t) cos(nωt)dt bn = 2
T 0
f (t) sin(nωt)dt
2. Impact des Symétries
1
