Séries Numériques, 5 Exercices d'Application & Corrigés Détaillés (Niveau Prépa/L1-L2)

Exercices Séries Numériques Partie 1

I. Questions de cours (Vérification des bases)
Définition :
Soit un une série. Donnez la définition de la suite des sommes partielles (SN ) associée et
P
expliquez à quelle condition on dit que la série converge.
Condition Nécessaire : Quelle est la condition nécessaire pour qu'une série un soit convergente ?
P
Si cette condition n'est pas vérifiée, que peut-on conclure sur la nature de laP série?
Séries Usuelles : Donnez la condition de convergence pour une série géométrique xn (x ∈ C)
et pour une série de Riemann nα (α ∈ R).
P 1

II. Exercices d'application directe
Exercice 1 : Séries Géométriques
Déterminez
la nature et, si elle existe, la somme des séries suivantes:
2 n
1. +∞
P
Pn=0 n3
2. +∞
n=1 3
Exercice 2 : Séries de Riemann et Comparaison
Déterminez la nature des séries suivantes en utilisant les théorèmes de comparaison ou les
équivalents :
1. +∞ 1
P
3
Pn=1 n +n+1
2. +∞ 1
n=2 n−ln n
III. Problème de synthèse (Niveau Concours/Examen)
Exercice 3 : Étude d'une série téléscopique
On considère la série de terme général un = ln n+1 pour n ≥ 1.Montrez que un tend vers 0 quand


n
n tend vers +∞. Peut-on en déduire la convergence de la série ?
Exprimez la somme partielle SN = N n=1 un en fonction
P
de N en utilisant les propriétés P du logarithme.
En déduire la nature de la série un .
Exercice 4:
1. Justifier que la fonction f (x) = x ln(x)
1
est décroissante et positive sur [2, +∞[.

N
2. En utilisant une comparaison avec une intégrale, calculer : 2
1
x ln(x) dx
3. En déduire la nature de la série un .
P


Corrigés détaillés
Questions de cours:
La somme partielle est SN = N n=0 un . La série converge si la suite (SN ) admet
P
une limite finie S quand N → +∞.Il faut que limn→+∞ un = 0.
Si un ne tend pas vers 0, la série est dite grossièrement divergente.
Riemann : Converge ssi α > 1.
Exercice 1:
Série géométrique de raison x = 2/3. Comme 2/3 < 1, elle converge.
Somme : S = 1−2/31
= 3.Série géométrique de raison x = 3. Comme 3 ≥ 1, elle diverge.
Exercice 2:
Au voisinage de +∞, n3 +n+1 1
∼ n13 . Comme n3 est une série de Riemann convergente (α = 3 >
P 1
1), par théorème de comparaison, la série converge.
On a un ∼P n car ln n est négligeable devant n. Comme la série harmonique
1
n diverge,
P1
la série 1
n−ln n diverge également.
Exercice 3:
n = 1 + n → 1, donc ln(1 + 1/n) → ln(1) = 0. La condition nécessaire est vérifiée,mais cela ne
n+1 1

suffit pas pour affirmer la convergence.un = ln(n + 1) − ln(n).
C'est une série téléscopique.
SN = (ln 2 − ln 1) + (ln 3 − ln 2) + . . . + (ln(N + 1) − ln N ) = ln(N + 1) − ln 1 = ln(N + 1).
limN →+∞ SN = limN →+∞ ln(N + 1) = +∞.
La suite des sommes partielles n'a pas de limite finie, donc la série diverge.
Exercice 4:
1. La fonction est le produit de deux fonctions positives et croissantes (x et ln x),donc
leur produit au dénominateur est croissant. L'inverse ′ est donc bien décroissant.
2. Pour calculer l'intégrale, on reconnaît la forme uu avec u(x) = ln(x).
Lorsque N → +∞, alors ln(ln(N )) → +∞.
3. L'intégrale diverge, donc par le théorème de comparaison série-intégrale, la série diverge également.



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