Solutions Manual for Introduction to Continuum Mechanics, 4th Edition by W. Michael Lai, David Rubin, and Erhard Krempl

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g g




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g

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Laigetgal,gIntroductiongtogContinuumgMechanics



CHAPTERg2,gPARTgA

2.1 Given
1 0 2 1
Sijggg 0 1 2 andg aiggg 2
 g 
  g 
3 0 3 3
Evaluateg(a)g Siig,g(b)g SijgSijg ,g(c)g SgjigSgjig ,g(d)g SgjkgSkj (e) amamg,g(f)g Smngamang ,g(g)g Snmaman

Ans.g(a)g Siig gS11g gS22g gS33g g1gg1gg3gg5g.
(b) SijgSijg gSg2g gSg2g gSg2g gSg2g gSg2g gSg2g gSg2g gSg2g gSg2g 
11 12 13 21 22 23 31 32 33
1gg0gg4gg0gg1gg4gg9gg0gg9gg28g.
(c) SgjigSgjig=gSijgSijg =28.
(d) SgjkgSkjg gS1kgSk1g gS2kgSkg2g gS3kgSkg3
gS11S11g gS12gS21g gS13S31g gS21S12g gS22gS22g gS23S32g gS31S13g gS32gS23g gS33S33
g11gg 0  0  gg 2  3  gg 0  0  gg11gg 2  0  gg 3  2  gg 0  2  gg33gg 23g.
(e) amamg ga12g ga22g ga23g g1gg4gg9gg14g.
(f) Smngamang gS1na1ang gS2na2ang gS3na3ang 
S11a1a1ggS12a1a2g gS13a1a3g gS21a2a1ggS22a2a2g gS23a2a3g gS31a3a1ggS32a3a2g gS33a3a3
g 111gg 012gg 213gg 021gg 122gg  2  2  3  gg 331
  0  3  2  gg333gg1gg0gg6gg0gg4gg12gg9gg0gg27gg59.
(g) Snmamang =gSmngamang =59.

2.2 Determinegwhichgofgthesegequationsghavegangidenticalgmeaninggwithg a gQg a'g .
i ijg g j
(a)ga gQ a' ,g(b)g a gQg g a'g ,g(c)g a ga'g Q .
p pmg m p m n mn
qpg
q


Ans.g (a)gandg(c)

2.3 Givengthegfollowinggmatrices
1 2 3 0
aiggg 0g ,gBijggg 0 5 1
  
2 0 2 1
Demonstrategthegequivalencegofgthegsubscriptedgequationsgandgcorrespondinggmatrixgequationsgingt
hegfollowinggtwogproblems.
(a) bg gBg ag andg bgg B  a  , g (b)g sggBg aga andgsgga Ba
Tg

i ijg g j ijg ig g j


Ans.g(a)
biggBijagjggb1ggB1gjagjggB11a1ggB12a2ggB13a3gg21gg30gg02gg2
b2g gB2gj a gjg gB21a1ggB22a2g gB23a3g g2, b3ggB3gj a gjg gB31a1ggB32a2g gB33a3g g2g.

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2 3 0g1 2
bggBagg 0 5 1gg0g gg2g g.g Thus,g big gBijagjg givesgthegsamegresultsgasg bggBa


 0 2 1g2 2
(b)
sggBijgaiagjg gB11a1a1ggB12a1a2g gB13a1a3g gB21a2a1ggB22a2a2g gB23a2a3
B31a3a1ggB32a3a2g gB33a3a3g g2(1)(1)gg3(1)(0)gg0(1)(2)gg0(0)(1)
5(0)(0)gg1(0)(2)gg0(2)(1)gg2(2)(0)gg1(2)(2)gg2gg4gg6.
2 3 0g1 2
andg sgga Ba  1 2 0 5 1g0gg1g g 0
 22gg2gg4gg6g.
Tg
0
g g
 gg  g 
g


0 2g 1g2 2

Writegingindicialgnotationgthegmatrixgequationg(a)ggAggBC,g(b)gDggB C  and (c)
Tg
2.4 g g g



 E   B C F  .
Tg
g g g g g




Ans.g(a)ggAggBCgggAg gBg C ,g (b)gDggB C  A
Tg
g g g gBg C .
ij igmg g mg j ij mig g mj
(c) EggB C F   E
Tg
g g g g g gBg C Fg .
ij mig g mkg g kj


2 2 2 2 2 2
2.5 Writegingindicialgnotationgthegequationg(a)g sgg A1g gA2g gA3g andg(b)g 2g g 2g g 2g g0g.
x1 x 2 x 3

2 2 2 2 2 2 2
Ans.g (a)g sggA1g gA2g gA3g gAigAig. (b)g 2g g 2g g 2g g0gg g0g.
x1 x2 x3 xgixgi

2.6 Givengthatg Sigjg=aiajgandgSijg=aiajg,gwhereg ai=Qmigamgandg ajg=Qngjang,gan QikgQjkg gijg .
d
Showgthatg Siig=Siig.

Ans.g Sijg=QmiamQng jang=QmiQng jamang gSiig=QmiQniamang=mnamang=amamg gSmmg gSiig .

vig
2.7 Writeg ai g gv vi inglonggform.
t g xg
j
j


Ans.
v
igg1ggag g 1g gv v1g v1g v v1g v
g gvg 1g gv gv3g g 1g .
1
t j
g xgj t 1
g x1
2
g x2 x3
v2g v2g v2g v2g v2g v
igg2ggag g gvg g gvg gvg gvg 2g .
2
t j
g xgj t 1
g x1
2
g x
2
3g
x3
v3g v3g v3g v3g v3g v3g
igg3ggag g gvg g gvg gvg gvg .

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3
t j
g xgj t 1
g x1 2
g x2
3g
x3




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