CH VII : Espaces de Hilbert
7.1. Déf, exles et 1ères propriétés
Dans tout le chapitre, K = R ou C.
Déf 7.1.1 (Pages 1 et 2)
1/ Lorsque K = R, un R-espace préhilbertien (ou encore préhilbertien
réel) consiste en la donnée d’un R-e.v. E et d’une forme bilinéaire symétrique
⟨·|·⟩ déf. positive sur E.
— On rappelle que ceci signifie que :
— ⟨·|·⟩ : E × E −→ R
— bil : ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ R,
⟨x + y|z⟩ = ⟨x|z⟩ + ⟨y|z⟩ (à gauche)
⟨x|y + z⟩ = ⟨x|y⟩ + ⟨x|z⟩ (à droite)
⟨λx|y⟩ = λ⟨x|y⟩ = ⟨x|λy⟩ (R-lin)
— Symétrique : ∀x, y ∈ E, ⟨x|y⟩ = ⟨y|x⟩
— déf. > 0 : ∀x ∈ E, ⟨x|x⟩ ≥ 0 et ⟨x|x⟩ = 0 ⇐⇒ x = 0.
2/ K = C, un C-e. préhilbertien consiste en la donnée d’un C-e.v. E muni
d’une forme sesquilinéaire hermitienne définie > 0, c-à-d :
— ⟨·|·⟩ : E × E −→ C
— sesquilinéaire : additive à gauche et à droite
⟨λx|y⟩ = λ⟨x|y⟩ (semi-lin à gauche)
⟨x|λy⟩ = λ⟨x|y⟩ (lin à droite)
— Symétrie hermitienne : ⟨y|x⟩ = ⟨x|y⟩
En part, ⟨x|x⟩ ∈ R
— déf > 0 : ∀x ∈ E, ⟨x|x⟩ ≥ 0 et ⟨x|x⟩ = 0 ⇐⇒ x = 0.
Rq (sur la page 2, dans la marge) :
Convention des physiciens : le produit scalaire hermitien est, au contraire,
linéaire à gauche, semi-linéaire à droite.
Exple de C-préhilbertien en dim. finie : Cn , équipé de ⟨·|·⟩ déf. > 0 :
n
X
⟨(x1 , . . . , xn )|(y1 , . . . , yn )⟩ = xk y k
k=1
Rq : E : préhilb. complète. En considérant le C-e.v. E comme un R-e.v.
et Re⟨·|·⟩ se munit d’un e. préhilb. réel.
1
, Prop 7.1.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
∀x, y ∈ E, |⟨x|y⟩|2 ≤ ⟨x|x⟩⟨y|y⟩
Prop 7.1.3.
p
En posant ∥x∥ = ⟨x|x⟩, ∥·∥ est une norme sur E.
7.1.5 Égalité du parallélogramme et identités de polari-
sation (Page 3)
Prop 7.1.5.1. Identité du ∥
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 )
Prop 7.1.5.2. (Formules de polarisation)
— R:
1
⟨x|y⟩ = (∥x + y∥2 − ∥x∥2 − ∥y∥2 ) (1) (1)
2
1
⟨x|y⟩ = (∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ) (2) (2)
4
— C:
1
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 + i ∥x − iy∥2 − i ∥x + iy∥2 (3′ ) (Note : Formule comple
⟨x|y⟩ =
4
(3)
(Dans vos notes, la formule (3) semble incomplète/mal recopiée, je four-
nis la formule standard complète.)
Prop 7.1.5.3 :
Dans un e. préhilb., les boules fermées sont strictement convexes. Si x, y ∈
B(x0 , r), 0 ≤ t ≤ 1,
(1 − t)x + ty ∈ B(x0 , r)
2
7.1. Déf, exles et 1ères propriétés
Dans tout le chapitre, K = R ou C.
Déf 7.1.1 (Pages 1 et 2)
1/ Lorsque K = R, un R-espace préhilbertien (ou encore préhilbertien
réel) consiste en la donnée d’un R-e.v. E et d’une forme bilinéaire symétrique
⟨·|·⟩ déf. positive sur E.
— On rappelle que ceci signifie que :
— ⟨·|·⟩ : E × E −→ R
— bil : ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ R,
⟨x + y|z⟩ = ⟨x|z⟩ + ⟨y|z⟩ (à gauche)
⟨x|y + z⟩ = ⟨x|y⟩ + ⟨x|z⟩ (à droite)
⟨λx|y⟩ = λ⟨x|y⟩ = ⟨x|λy⟩ (R-lin)
— Symétrique : ∀x, y ∈ E, ⟨x|y⟩ = ⟨y|x⟩
— déf. > 0 : ∀x ∈ E, ⟨x|x⟩ ≥ 0 et ⟨x|x⟩ = 0 ⇐⇒ x = 0.
2/ K = C, un C-e. préhilbertien consiste en la donnée d’un C-e.v. E muni
d’une forme sesquilinéaire hermitienne définie > 0, c-à-d :
— ⟨·|·⟩ : E × E −→ C
— sesquilinéaire : additive à gauche et à droite
⟨λx|y⟩ = λ⟨x|y⟩ (semi-lin à gauche)
⟨x|λy⟩ = λ⟨x|y⟩ (lin à droite)
— Symétrie hermitienne : ⟨y|x⟩ = ⟨x|y⟩
En part, ⟨x|x⟩ ∈ R
— déf > 0 : ∀x ∈ E, ⟨x|x⟩ ≥ 0 et ⟨x|x⟩ = 0 ⇐⇒ x = 0.
Rq (sur la page 2, dans la marge) :
Convention des physiciens : le produit scalaire hermitien est, au contraire,
linéaire à gauche, semi-linéaire à droite.
Exple de C-préhilbertien en dim. finie : Cn , équipé de ⟨·|·⟩ déf. > 0 :
n
X
⟨(x1 , . . . , xn )|(y1 , . . . , yn )⟩ = xk y k
k=1
Rq : E : préhilb. complète. En considérant le C-e.v. E comme un R-e.v.
et Re⟨·|·⟩ se munit d’un e. préhilb. réel.
1
, Prop 7.1.2. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
∀x, y ∈ E, |⟨x|y⟩|2 ≤ ⟨x|x⟩⟨y|y⟩
Prop 7.1.3.
p
En posant ∥x∥ = ⟨x|x⟩, ∥·∥ est une norme sur E.
7.1.5 Égalité du parallélogramme et identités de polari-
sation (Page 3)
Prop 7.1.5.1. Identité du ∥
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 )
Prop 7.1.5.2. (Formules de polarisation)
— R:
1
⟨x|y⟩ = (∥x + y∥2 − ∥x∥2 − ∥y∥2 ) (1) (1)
2
1
⟨x|y⟩ = (∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ) (2) (2)
4
— C:
1
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 + i ∥x − iy∥2 − i ∥x + iy∥2 (3′ ) (Note : Formule comple
⟨x|y⟩ =
4
(3)
(Dans vos notes, la formule (3) semble incomplète/mal recopiée, je four-
nis la formule standard complète.)
Prop 7.1.5.3 :
Dans un e. préhilb., les boules fermées sont strictement convexes. Si x, y ∈
B(x0 , r), 0 ≤ t ≤ 1,
(1 − t)x + ty ∈ B(x0 , r)
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