Havo Wiskunde A
Hoofdstuk 11 Formules en Variabelen
11.1 Grafieken en gebieden
Theorie A Evenwijdige lijnen
Evenwijdig = twee lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt
- Lijnen van de vorm ax + by = c zijn evenwijdig als het linkerlid (rc) gelijk is
Wanneer een lijn k: ax + by = c wordt verschoven, blijft de richting hetzelfde. Dat betekent
dat de letters a en b in de vergelijking niet veranderen, maar de uitkomst c wel
Stap 1: Kies een makkelijk punt op de oorspronkelijke lijn
Zoek een punt (x, y) dat voldoet aan de vergelijking van de eerste lijn.
Tip: Kies vaak x = 0 of y = 0 om de rekensom simpel te houden.
Stap 2: Pas de gevraagde verschuiving toe op de coördinaten van je gekozen punt.
Naar boven: Tel op bij de y-coördinaat.
Naar beneden: Trek af van de y-coördinaat.
Naar rechts: Tel op bij de x-coördinaat.
Naar links: Trek af van de x-coördinaat.
Stap 3: Bereken de nieuwe c
Vul de coördinaten van je nieuwe punt (uit Stap 2) in de vergelijking (uit Stap 3) in.
De uitkomst van deze som is je nieuwe c.
Stap 4: Schrijf de eindoplossing op
Noteer de volledige vergelijking met de gevonden waarde voor c.
Theorie B De ongelijkheid ax + by ≤ c
De grafiek van ax + by ≤ c is een halfvlak met rand begrensd door de lijn met
vergelijking ax + by = c.
Stap 1: Teken de grenslijn
Vervang het ongelijkheidsteken (≤, ≥, <, >) tijdelijk door een = teken om de grenslijn
te vinden.
Stap 2: Maak een tabel
Kies twee makkelijke punten (meestal x=0 en y=0) om de lijn te kunnen tekenen.
Stap 3: Teken de lijn
Trek de lijn door de gevonden punten in je assenstelsel.
Stap 4: Kies een controlepunt
Kies een punt dat niet op de lijn ligt om te testen welk gebied je moet inkleuren.
Tip: Het punt (0, 0) is bijna altijd het makkelijkst om mee te rekenen, tenzij de
lijn precies door de oorsprong gaat.
Stap 5: Controleer de ongelijkheid
Vul de coördinaten van je controlepunt in de oorspronkelijke ongelijkheid in.
Klopt de bewering? (Bijv. 0 ≤ -6 is onwaar): Dan ligt de oplossing in het
gebied waar het controlepunt niet ligt.
, Klopt de bewering wel? Dan is het gebied waar je controlepunt ligt de juiste
kant.
Stap 6: Kleur het juiste halfvlak
Kleur het gebied (het halfvlak) in dat voldoet aan de ongelijkheid.
11.2 Herleiden en combineren van formules
Theorie A Formules herleiden en variabelen vrijmaken
𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 · 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟
- breuk x breuk = 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 · 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟
- delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die
breuk
- om breuken op te tellen/af te trekken moeten ze gelijknamig zijn (dezelfde noemer)
𝑝 𝑞 𝑝+𝑞
- 𝑎 · 𝑎 = 𝑎
𝑝
𝑎 𝑝−𝑞
- 𝑞 =𝑎
𝑎
𝑝 𝑞 𝑝·𝑞
- (𝑎 ) = 𝑎
𝑝 𝑝 𝑝
- (𝑎𝑏) = 𝑎 𝑏
0
- 𝑎 = 1
−𝑝 1
- 𝑎 = 𝑝
𝑎
2
- 𝐴 = 𝐵 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝐴 = 𝐵
- 𝐴 · 𝐵= 𝐴· 𝐵
𝐴 𝐴
- 𝐵
=
𝐵
𝐴 𝐶
- 𝐵
·𝐶= 𝐵
·𝐴
𝐴 𝐴
- 𝐵
= 𝐶 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝐵 = 𝐶
𝐴 𝐶
- 𝐵
= 𝐷
𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝐴 · 𝐷 = 𝐵 · 𝐶
Theorie B Formules combineren
Stap 1: Maak een variabele vrij
Pak de simpelste formule en isoleer de variabele die je wilt verwijderen (bijv. maak q
vrij: q = …).
Stap 2: Substitueren (Vervangen)
Vervang de variabele in de andere formule door de expressie die je net hebt
gevonden. Gebruik altijd haakjes!.
Stap 3: Haakjes wegwerken
Vermenigvuldig de termen buiten de haakjes met alles binnen de haakjes.
Hoofdstuk 11 Formules en Variabelen
11.1 Grafieken en gebieden
Theorie A Evenwijdige lijnen
Evenwijdig = twee lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt
- Lijnen van de vorm ax + by = c zijn evenwijdig als het linkerlid (rc) gelijk is
Wanneer een lijn k: ax + by = c wordt verschoven, blijft de richting hetzelfde. Dat betekent
dat de letters a en b in de vergelijking niet veranderen, maar de uitkomst c wel
Stap 1: Kies een makkelijk punt op de oorspronkelijke lijn
Zoek een punt (x, y) dat voldoet aan de vergelijking van de eerste lijn.
Tip: Kies vaak x = 0 of y = 0 om de rekensom simpel te houden.
Stap 2: Pas de gevraagde verschuiving toe op de coördinaten van je gekozen punt.
Naar boven: Tel op bij de y-coördinaat.
Naar beneden: Trek af van de y-coördinaat.
Naar rechts: Tel op bij de x-coördinaat.
Naar links: Trek af van de x-coördinaat.
Stap 3: Bereken de nieuwe c
Vul de coördinaten van je nieuwe punt (uit Stap 2) in de vergelijking (uit Stap 3) in.
De uitkomst van deze som is je nieuwe c.
Stap 4: Schrijf de eindoplossing op
Noteer de volledige vergelijking met de gevonden waarde voor c.
Theorie B De ongelijkheid ax + by ≤ c
De grafiek van ax + by ≤ c is een halfvlak met rand begrensd door de lijn met
vergelijking ax + by = c.
Stap 1: Teken de grenslijn
Vervang het ongelijkheidsteken (≤, ≥, <, >) tijdelijk door een = teken om de grenslijn
te vinden.
Stap 2: Maak een tabel
Kies twee makkelijke punten (meestal x=0 en y=0) om de lijn te kunnen tekenen.
Stap 3: Teken de lijn
Trek de lijn door de gevonden punten in je assenstelsel.
Stap 4: Kies een controlepunt
Kies een punt dat niet op de lijn ligt om te testen welk gebied je moet inkleuren.
Tip: Het punt (0, 0) is bijna altijd het makkelijkst om mee te rekenen, tenzij de
lijn precies door de oorsprong gaat.
Stap 5: Controleer de ongelijkheid
Vul de coördinaten van je controlepunt in de oorspronkelijke ongelijkheid in.
Klopt de bewering? (Bijv. 0 ≤ -6 is onwaar): Dan ligt de oplossing in het
gebied waar het controlepunt niet ligt.
, Klopt de bewering wel? Dan is het gebied waar je controlepunt ligt de juiste
kant.
Stap 6: Kleur het juiste halfvlak
Kleur het gebied (het halfvlak) in dat voldoet aan de ongelijkheid.
11.2 Herleiden en combineren van formules
Theorie A Formules herleiden en variabelen vrijmaken
𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 · 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟
- breuk x breuk = 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 · 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟
- delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die
breuk
- om breuken op te tellen/af te trekken moeten ze gelijknamig zijn (dezelfde noemer)
𝑝 𝑞 𝑝+𝑞
- 𝑎 · 𝑎 = 𝑎
𝑝
𝑎 𝑝−𝑞
- 𝑞 =𝑎
𝑎
𝑝 𝑞 𝑝·𝑞
- (𝑎 ) = 𝑎
𝑝 𝑝 𝑝
- (𝑎𝑏) = 𝑎 𝑏
0
- 𝑎 = 1
−𝑝 1
- 𝑎 = 𝑝
𝑎
2
- 𝐴 = 𝐵 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝐴 = 𝐵
- 𝐴 · 𝐵= 𝐴· 𝐵
𝐴 𝐴
- 𝐵
=
𝐵
𝐴 𝐶
- 𝐵
·𝐶= 𝐵
·𝐴
𝐴 𝐴
- 𝐵
= 𝐶 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝐵 = 𝐶
𝐴 𝐶
- 𝐵
= 𝐷
𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝐴 · 𝐷 = 𝐵 · 𝐶
Theorie B Formules combineren
Stap 1: Maak een variabele vrij
Pak de simpelste formule en isoleer de variabele die je wilt verwijderen (bijv. maak q
vrij: q = …).
Stap 2: Substitueren (Vervangen)
Vervang de variabele in de andere formule door de expressie die je net hebt
gevonden. Gebruik altijd haakjes!.
Stap 3: Haakjes wegwerken
Vermenigvuldig de termen buiten de haakjes met alles binnen de haakjes.
