Didactiek wiskunde
De vier operatoren
1 Inleiding
We hebben 4 bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. De tekens
die hierbij horen verwijzen in realiteit naar handelingen, operaties die uitgevoerd
worden. We spreken over operatoren
2 Optelling
2.1 Bij elkaar voegen, samenvoegen
Twee of meer aparte hoeveelheden bij elkaar gebracht en die vormen nu 1 geheel.
Daarna blijft er een grotere hoeveelheid over
3 Aftrekking
3.1 Wegnemen, verminderen
Bepaalde hoeveelheid en hiervan wordt een deel weggenomen, zodat er nu een
kleinere hoeveelheid overblijft.
4 Vermenigvuldiging
4.1 Herhaald optellen
Bepaalde hoeveelheid en die hoeveelheid neem ik een aantal keer
4.2 Combineren
Twee groepen combineren op alle mogelijke manieren
5 Delen
5.1 Verdelen
Bepaalde hoeveelheid en die moet ik in gelijke delen/ groepen verdelen
,5.2 Zich verhouden tot
Bepaalde hoeveelheid en we kijken hoeveel we een gegeven groepje kunnen vormen
met die hoeveelheid, of hoeveel keer een groepje met een gegeven aantal in de totale
hoeveelheid kan. Of hoe verhoudt zich het deel ten opzicht van het geheel.
Didactische rekenmodellen
1 Het C-S-A – model
1.1 Wat is het C-S-A-model?
Concreet niveau
Hierin stelt men dat rekenen steeds moet starten vanuit concrete basis. Men vertrek
uit de werkelijkheid waarin zich problemen voordoen. De bewerking wordt concrete
verschijningsvorm voorgesteld. Er wordt ook vaak gehandeld met concrete
materialen.
Schematische voorstelling
Daarna wordt overgegaan naar deze fase. Hier is de essentie van de bewerking
behouden. De realiteit wordt voorgesteld met tekeningen, stippen, bollen, …
Het beid een sterke visuele ondersteuning bij het begrijpen en uitrekenen van de
bewerking.
Abstract niveau
Dit is de laatste stap. Hier wordt de steun van schematische voorstellingen
weggelaten. Er is geen enkele visuele ondersteuning.
1.2 Koppelingen in het C-S-A – model
Bij het gebruik van het model wordt er veel aandacht besteed aan de koppeling
tussen telkens twee van drie niveaus.
Concreet schematisch
Ik vertel of doe, jij tekent
Schematisch concreet
Doe of vertel wat er getekend staat
,Schematisch abstract
Wat getekend staat moet in een formule worden opgeschreven.
Abstract schematisch
De formule moet getekend worden in bolletjes
Concreet abstract
Ik vertel of doe, jij schrijft
1.3 Besluit C-S-A – model
Het moet 1 geheel zijn. Er zijn geen drie losse naast elkaar fungerende niveaus. Het
moet een geheel zijn van drie onderscheiden maar niet gescheiden facetten van
rekenen.
1.4 Het C-S-A – model is een getrapt model
Er wordt aanvankelijk op elk niveau gerekend. Zowel de concrete als schematische
fase moet voldoende lang duren. Als er zich rekenproblemen voordoen op een
bepaald niveau, kan men steeds terugkeren naar een lager gelegen niveau.
1.5 Kritiek op het C-S-A – model
Er wordt te weinig klemtoon gelegd op de noodzaak van het verwoorden van de
uitgevoerde handelingen door de leerlingen. Het verwoorden van de
rekenhandelingen door de leerlingen mag zeker niet over het hoofd worden gezien.
2 Het sovjet model
Gal’perin
2.1 Principes uit de theorie van Gal’perin
Interiorisatieprincipe
Dit is de mogelijkheid om een wereld van gedachten op te bouwen. Dit is ontstaan uit
de omgang met de dingen van onze zintuigelijke wereld.
Oriënteringsprincipe
Dit is de voorafgaande fase op de materiële handelingen. Het wijst op de handeling
van het besef bij de leerling omtrent wat hem te doen staat voor een correcte
uitvoering van een opdracht.
, 2.2 De trapsgewijze opbouw van het leerproces
Materiële handelingen
Deze handeling gebeurt eerst de uitvoering. De leerling kan zien hoe de bewerking in
elkaar zit. Ze krijgen steun aan objecten. De leerling kan hardop zeggen wat hij/zij
doet
Gematerialiseerde handeling
Hierbij wordt de bewerking schematisch voorgesteld
Perceptieve handeling
De leerling moet nu zonder manipuleren of zonder doorstrepen van bolletjes die
bewerking proberen uit te voeren. De handelingen worden in gedachten uitgevoerd.
Verbale handeling
Hierbij voeren ze de bewerking hardop uit. De concrete objecten zijn er niet meer.
Mentale handeling
Hierbij wordt het hardop spreken vervangen door het spreken ‘in zichzelf’
2.3 Samenvatting
De materiële handeling is de basis om de bewerkingen inzichtelijk te leren.
De vier operatoren
1 Inleiding
We hebben 4 bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. De tekens
die hierbij horen verwijzen in realiteit naar handelingen, operaties die uitgevoerd
worden. We spreken over operatoren
2 Optelling
2.1 Bij elkaar voegen, samenvoegen
Twee of meer aparte hoeveelheden bij elkaar gebracht en die vormen nu 1 geheel.
Daarna blijft er een grotere hoeveelheid over
3 Aftrekking
3.1 Wegnemen, verminderen
Bepaalde hoeveelheid en hiervan wordt een deel weggenomen, zodat er nu een
kleinere hoeveelheid overblijft.
4 Vermenigvuldiging
4.1 Herhaald optellen
Bepaalde hoeveelheid en die hoeveelheid neem ik een aantal keer
4.2 Combineren
Twee groepen combineren op alle mogelijke manieren
5 Delen
5.1 Verdelen
Bepaalde hoeveelheid en die moet ik in gelijke delen/ groepen verdelen
,5.2 Zich verhouden tot
Bepaalde hoeveelheid en we kijken hoeveel we een gegeven groepje kunnen vormen
met die hoeveelheid, of hoeveel keer een groepje met een gegeven aantal in de totale
hoeveelheid kan. Of hoe verhoudt zich het deel ten opzicht van het geheel.
Didactische rekenmodellen
1 Het C-S-A – model
1.1 Wat is het C-S-A-model?
Concreet niveau
Hierin stelt men dat rekenen steeds moet starten vanuit concrete basis. Men vertrek
uit de werkelijkheid waarin zich problemen voordoen. De bewerking wordt concrete
verschijningsvorm voorgesteld. Er wordt ook vaak gehandeld met concrete
materialen.
Schematische voorstelling
Daarna wordt overgegaan naar deze fase. Hier is de essentie van de bewerking
behouden. De realiteit wordt voorgesteld met tekeningen, stippen, bollen, …
Het beid een sterke visuele ondersteuning bij het begrijpen en uitrekenen van de
bewerking.
Abstract niveau
Dit is de laatste stap. Hier wordt de steun van schematische voorstellingen
weggelaten. Er is geen enkele visuele ondersteuning.
1.2 Koppelingen in het C-S-A – model
Bij het gebruik van het model wordt er veel aandacht besteed aan de koppeling
tussen telkens twee van drie niveaus.
Concreet schematisch
Ik vertel of doe, jij tekent
Schematisch concreet
Doe of vertel wat er getekend staat
,Schematisch abstract
Wat getekend staat moet in een formule worden opgeschreven.
Abstract schematisch
De formule moet getekend worden in bolletjes
Concreet abstract
Ik vertel of doe, jij schrijft
1.3 Besluit C-S-A – model
Het moet 1 geheel zijn. Er zijn geen drie losse naast elkaar fungerende niveaus. Het
moet een geheel zijn van drie onderscheiden maar niet gescheiden facetten van
rekenen.
1.4 Het C-S-A – model is een getrapt model
Er wordt aanvankelijk op elk niveau gerekend. Zowel de concrete als schematische
fase moet voldoende lang duren. Als er zich rekenproblemen voordoen op een
bepaald niveau, kan men steeds terugkeren naar een lager gelegen niveau.
1.5 Kritiek op het C-S-A – model
Er wordt te weinig klemtoon gelegd op de noodzaak van het verwoorden van de
uitgevoerde handelingen door de leerlingen. Het verwoorden van de
rekenhandelingen door de leerlingen mag zeker niet over het hoofd worden gezien.
2 Het sovjet model
Gal’perin
2.1 Principes uit de theorie van Gal’perin
Interiorisatieprincipe
Dit is de mogelijkheid om een wereld van gedachten op te bouwen. Dit is ontstaan uit
de omgang met de dingen van onze zintuigelijke wereld.
Oriënteringsprincipe
Dit is de voorafgaande fase op de materiële handelingen. Het wijst op de handeling
van het besef bij de leerling omtrent wat hem te doen staat voor een correcte
uitvoering van een opdracht.
, 2.2 De trapsgewijze opbouw van het leerproces
Materiële handelingen
Deze handeling gebeurt eerst de uitvoering. De leerling kan zien hoe de bewerking in
elkaar zit. Ze krijgen steun aan objecten. De leerling kan hardop zeggen wat hij/zij
doet
Gematerialiseerde handeling
Hierbij wordt de bewerking schematisch voorgesteld
Perceptieve handeling
De leerling moet nu zonder manipuleren of zonder doorstrepen van bolletjes die
bewerking proberen uit te voeren. De handelingen worden in gedachten uitgevoerd.
Verbale handeling
Hierbij voeren ze de bewerking hardop uit. De concrete objecten zijn er niet meer.
Mentale handeling
Hierbij wordt het hardop spreken vervangen door het spreken ‘in zichzelf’
2.3 Samenvatting
De materiële handeling is de basis om de bewerkingen inzichtelijk te leren.
