Overzicht goniometrische formules
Goniometrie voor verwante hoeken
Goniometrische formules
Overzicht afgeleiden
,Overzicht integralen
Integratietechnieken
Substitutie
• ∫ 𝑓 𝑟 (𝑥) ∗ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑢𝑟 𝑑𝑢
• ∫ 𝑎 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢
𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑢
• ∫ 𝑑𝑥 ∫
𝑓(𝑥) 𝑢
𝑑𝑥
• ∫ 𝑑𝑥 Bgtan x
𝑘+𝑥²
𝑑𝑥
• ∫ 𝑑𝑥 Bgtan x
√ 𝑘−𝑥²
• ∫ √𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
o Schrijven als merkwaardig product ∫ √𝑑² + (𝑥 + 𝑒)²
o y= d sin u
𝑐𝑥+𝑑
• ∫ 𝑥²+𝑝𝑥+𝑞 𝑑𝑥 teller schrijven in functie van afgeleide noemer cx+d= A(2x+p)+B breuken
splitsen
• Macht van sin of cos
o Even macht substitueren
o Als beide oneven 1 substitueren
o Beide even verdubbelingsformules
, 𝑑𝑥
• ∫ (𝑥²+𝑝𝑥+𝑞)𝑚
𝑑𝑥
o 𝑀𝑒𝑟𝑘𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑖𝑔 product maken ∫
(𝑥+𝑏)²+𝑎)𝑚
o Delen door a
𝑥+𝑏
o Stel tan t= 𝑎
√
o Tan t en dt invullen
o Verdubbelingsformule
o T terug substitueren
𝐴𝑥+𝐵
• ∫ (𝑥²+𝑝𝑥+𝑞)𝑚
o T als N’ schrijven
o Splitsen
o Vorige type
Splitsen in partieel breuken
1. Graad T ≥ graad N euclidische deling
2. Graad T < graad N splitsen in partieel breuken
N ontbinden in factoren
𝐴 𝐵
• Voor elke term (ax+b)m 𝑎𝑥+𝑏 + . . . (𝑎𝑥+𝑏)𝑚
𝐴 𝐵
• Voor elke term (ax²+bx+c)m 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 + . . . (𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐)𝑚
Na splitsing alles op eenzelfde noemer zetten en alle onbekenden zoeken.
breuken zijn gesplist en kunnen nu wel worden geïntegreerd
Partiële integratie
∫ 𝑢 ∗ 𝑑𝑣 = 𝑣 ∗ 𝑢 − ∫ 𝑣 ∗ 𝑑𝑢
Keuze voor u:
1. Ln, log, cyclometrische
2. Macht van x
3. Goniometrische
4. ex en ax
, Bijzondere relaties
X-parabool
x=ay²+by+c a>0
𝑏² −𝑏
top (𝑐 − 4𝑎 , 2𝑎 ) a<0
Cirkel
(x-a)²+(y-b)²= r² x² en y² hebben zelfde coëfficiënt en zelfde teken.
M(a,b) en straal= r
Ellips
𝑥−𝑎 2 𝑥−𝑏 2
( ) +( ) x² en y² hebben een verschillende coëfficiënt anders cirkel
𝑐 𝑑
M(a,b)
Toppen: (a+c, b), (a-c, b), (a, b+d) en (a ,b-d)
Hyperbool
Type 1
(x-a)*(y-b)= k (met k>0)
xy-ay-bx+ab=k xy is een term
Toppen (a+√𝑘, 𝑏 + √𝑘) en (a-√𝑘, 𝑏 − √𝑘)
Asymptoten: x=a en y=b
Type 2
(x-a)²-(y-b)²= k (met k>0) x² en y² hebben verschillend teken
M(a,b)
Toppen: (a+√𝑘, 𝑏) en (a-√𝑘, 𝑏)
Asymptoten:
• y-b= x-a
• y-b= -x+a
Goniometrie voor verwante hoeken
Goniometrische formules
Overzicht afgeleiden
,Overzicht integralen
Integratietechnieken
Substitutie
• ∫ 𝑓 𝑟 (𝑥) ∗ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑢𝑟 𝑑𝑢
• ∫ 𝑎 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢
𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑢
• ∫ 𝑑𝑥 ∫
𝑓(𝑥) 𝑢
𝑑𝑥
• ∫ 𝑑𝑥 Bgtan x
𝑘+𝑥²
𝑑𝑥
• ∫ 𝑑𝑥 Bgtan x
√ 𝑘−𝑥²
• ∫ √𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
o Schrijven als merkwaardig product ∫ √𝑑² + (𝑥 + 𝑒)²
o y= d sin u
𝑐𝑥+𝑑
• ∫ 𝑥²+𝑝𝑥+𝑞 𝑑𝑥 teller schrijven in functie van afgeleide noemer cx+d= A(2x+p)+B breuken
splitsen
• Macht van sin of cos
o Even macht substitueren
o Als beide oneven 1 substitueren
o Beide even verdubbelingsformules
, 𝑑𝑥
• ∫ (𝑥²+𝑝𝑥+𝑞)𝑚
𝑑𝑥
o 𝑀𝑒𝑟𝑘𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑖𝑔 product maken ∫
(𝑥+𝑏)²+𝑎)𝑚
o Delen door a
𝑥+𝑏
o Stel tan t= 𝑎
√
o Tan t en dt invullen
o Verdubbelingsformule
o T terug substitueren
𝐴𝑥+𝐵
• ∫ (𝑥²+𝑝𝑥+𝑞)𝑚
o T als N’ schrijven
o Splitsen
o Vorige type
Splitsen in partieel breuken
1. Graad T ≥ graad N euclidische deling
2. Graad T < graad N splitsen in partieel breuken
N ontbinden in factoren
𝐴 𝐵
• Voor elke term (ax+b)m 𝑎𝑥+𝑏 + . . . (𝑎𝑥+𝑏)𝑚
𝐴 𝐵
• Voor elke term (ax²+bx+c)m 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 + . . . (𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐)𝑚
Na splitsing alles op eenzelfde noemer zetten en alle onbekenden zoeken.
breuken zijn gesplist en kunnen nu wel worden geïntegreerd
Partiële integratie
∫ 𝑢 ∗ 𝑑𝑣 = 𝑣 ∗ 𝑢 − ∫ 𝑣 ∗ 𝑑𝑢
Keuze voor u:
1. Ln, log, cyclometrische
2. Macht van x
3. Goniometrische
4. ex en ax
, Bijzondere relaties
X-parabool
x=ay²+by+c a>0
𝑏² −𝑏
top (𝑐 − 4𝑎 , 2𝑎 ) a<0
Cirkel
(x-a)²+(y-b)²= r² x² en y² hebben zelfde coëfficiënt en zelfde teken.
M(a,b) en straal= r
Ellips
𝑥−𝑎 2 𝑥−𝑏 2
( ) +( ) x² en y² hebben een verschillende coëfficiënt anders cirkel
𝑐 𝑑
M(a,b)
Toppen: (a+c, b), (a-c, b), (a, b+d) en (a ,b-d)
Hyperbool
Type 1
(x-a)*(y-b)= k (met k>0)
xy-ay-bx+ab=k xy is een term
Toppen (a+√𝑘, 𝑏 + √𝑘) en (a-√𝑘, 𝑏 − √𝑘)
Asymptoten: x=a en y=b
Type 2
(x-a)²-(y-b)²= k (met k>0) x² en y² hebben verschillend teken
M(a,b)
Toppen: (a+√𝑘, 𝑏) en (a-√𝑘, 𝑏)
Asymptoten:
• y-b= x-a
• y-b= -x+a
