Apuntes Matemáticas II

Ecuaciones diferenciales
Primer orden.


1. Variables separadas o separables.

=
y y (productos
x



x
fa )xdX,(ny
c
⑨y yx
=
- =
=




3/2
+




C
e23xx.eck
213xx +




x5
sin
3 C e
y sy sy
=
=


= +




y k.e213xx
=




Problema de Cauchy

y(0) =
1



y 1 k.e =
k 1 solucion particular:y 1.e3xx
=



= = =




2. Homogénea.

(x y)dx
+ + (x -




y)dy 0
=


(sean del mismo orden)


x
y)
+



(x
+
-




y)d 0
=
-(x y)
+

(x
+
-




y)y) =
0 -
(X -




y)y -

= (x y)
+




-y = - (x
y)
+

X <
tX
xx -




y) y ->
ty

y=
-



(tx +




ty) -
=
(x y)
+


si es homogénea.
( tx -




ty) A(X -




y)

cambio de variable y ux
=
=
y ux u
+
-

1




vx ux) ux x)1 u) ux
n u
1244)
+ -
=

(x +




=
+

-
=
+



-
- -
u
u)
=




(X -ux) X (1 -




-Ux =
-

11 ru) -


u u
+


sux =
-
1 -

u -


u
+

u ux u =
-


zu -

1
1 -
ch 1 -
u 1 -
U

, aux u2 24 1
Jair" au
(qs-) !ü? au=
(a
-
-




-
=


=




AX 1 -
U




-In u-zu-1 in
=
x C
+




in
22 24 1 (nx c!
- +




- -
=




3. Lineal.

+ formal
y P(x)y x(x) (que tenga esta
=




e/P(x)dx -"factor"

e/1dx e
·ey=e1.(ce"yl=) e"dx
+
1
y y -
=

=




·ey e c
y
2x e
=
+ -
+
=




y 1
= +
C
ex




4. Exactas

(x y)dx (x-y)dy
+
+

3
=
(descartamos las anteriores y las devivadas
en
tienen que ser
iguales)
p(X,y) a(X,y)


8 0 =
-
1 1 =

si es exacta




df D(x,y) (x y) (d ((x y)dX f 4x cicy)
= +
+ +



=
- = - =
+




0X



a day) a(X,y) (X y),X
d(y) d(y)
0 x x
y y
+
+ - -
=



-
= = + =
=




/acicys=f-ydy.ccy) - =




1 x +yx
= -
+




y c
=