Índice general
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Presentación de las funciones trigonométricas. 5
1.1 Ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 De…nición de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Valores de las funciones trigonométricas para 0, 2 , , 32 . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Valores de las funciones para 6 , 4 , 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Grá…cas de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Fórmulas de adición, ángulo doble y de medio ángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 De…nición de las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante. 26
1.8 Grá…cas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. . . . . . . . . . 30
1.9 Funciones Trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9.1 Grá…cas de las funciones trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10 Continuidad y diferenciabilidad de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . 36
2. Otra manera de presentar las funciones trigonométricas. 41
2.1 Las ecuaciones diferenciales de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Series de potencias de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 De…nición del seno y coseno en término de áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Números Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Funciones trigonométricas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 Ecuaciones funcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. Aplicaciones de la trigonometría. 85
3.1 Resolución de triángulos rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 Resolución de triángulos oblicuángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Movimiento armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4. Trigonometría en el estudio de la geometría del triángulo 111
4.1 Relaciones Angulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Relaciones entre ángulos y lados y fórmulas de área. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3
,0 ÍNDICE GENERAL
5. Problemas de trigonometría 133
Apéndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
, 1
Introducción
La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas; trigon, que signi…ca triángulo y metra, que
signi…ca medida, entonces la palabra trigonometría signi…ca medida del triángulo. En su forma
más básica, la trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un
triángulo.
En general la trigonometría es una herramienta fundamental para la solución de diversas situa-
ciones (triangulación astronómica, arquitectura e ingeniería, balística, etc) que se pueden traducir
a representaciones por medio de triángulos. Sus primeras aplicaciones fueron en el ámbito de la
astronomía, la navegación y la geodesia.
Otras aplicaciones interesantes de la trigonometría se realizan en Física o en Ingeniería en casi
todas sus ramas, siendo muy importante en el estudio de fenómenos periódicos.
La trigonometría puede ser presentada desde diferentes puntos de vista, el objetivo general de
este trabajo es presentar estas formas de desarrollar la trigonometría, y observar sin importar que
punto de vista utilicemos para desarrollar la trigonometría se llegan a los principales resultados de
esta rama de las matemáticas. En esta tesis las diferentes formas de presentar la trigonometría será
desde un punto de vista geométrico, que es el que principalmente se utiliza para la enseñanza de
esta materia, también se desarrollará a la trigonometría por medio de ecuaciones diferenciales, por
medio de series de potencias y por medio de la función exponencial. Otro objetivo de este trabajo,
es al ya tener los principales resultados de la trigonometría poder resolver distintos problemas
utilizando dichos resultados de esta materia.
Este trabajo puede ser de consulta para un profesor de bachillerato que esté impartiendo este tema
ya que en esta tesis se incluyen todos los resultados y fórmulas de la trigonometría, podrá utilizar
los ejemplos que se utilizan para ver las aplicaciones de esta materia; además que puede ampliar
su conocimiento sobre la materia al revisar los otros puntos de vista en que se puede presentar la
trigonometría y poder comentarle a sus alumnos que la trigonometría no necesariamente se tiene
que relacionar con triángulos.
También esta tesis puede ser de gran utilidad para los alumnos que participan en las olimpiadas
de matemáticas, porque los problemas que se presentan en este trabajo pueden servir de entre-
namiento para ellos, además que no todos los problemas tienen que ver con triángulos, hay algunos
que son desigualdades que pueden ser resueltas usando una sustitución trigonométrica, también
pueden obtener algunas estrategias de cómo resolver problemas.de trigonometría.
El desarrollo de este trabajo se ha estructurado en cinco capítulos; en los dos primeros, se de-
sarrolla la teoría y se presentan los resultados más importantes de la trigonometría desde las
diferentes formas de verla. En el siguiente capítulo se presentan las principales aplicaciones de la
trigonometría, en los últimos dos capítulos se resolverán distintos problemas en los cuáles para su
solución se requerirá de los resultados obtenidos en los dos primeros capítulos. También tiene un
apéndice en el cual se incluyen algunos resultados utilizados a lo largo del trabajo, sólo se incluyen
, 2
las demostraciones de aquellos cuya demostración no se encuentra en la bibliografía utilizada, los
restantes resultados que principalmente son del cálculo y análisis pueden ser encontrados en [14],
[20] y [23].
Podemos resumir el contenido de cada capítulo como sigue.
En el capítulo 1 se presenta la trigonometría desde un punto de vista geométrico mediante la
circunferencia unitaria, principalmente las funciones seno y coseno, y se obtendrán los resultados
más importantes de estas funciones que las caracterizan como son la periodicidad, las leyes de la
adición, etc. Además se de…nirán las restantes funciones trigonométricas en función del seno o el
coseno y se obtendrán algunas de sus propiedades.
Puesto que las funciones seno y coseno pueden ser introducidas sin utilizar argumentos geométri-
cos, en el capítulo 2 se abordan algunas de estas formas de de…nir las funciones trigonométricas,
por ejemplo, como soluciones a ecuaciones diferenciales, por serie de potencias o por medio de
la función exponencial; en todos los casos se de…nirá al número de forma diferente a la clási-
ca de…nición geométrica ya que todas estas presentaciones de las funciones trigonométricas no
recurren a argumentos geométricos.
La forma más interesante de todas las anteriores de de…nir las funciones trigonométricas es por
medio de la función exponencial, ya que esta de…nición no sólo abarca a los números reales sino
que nos permite la de…nición del seno y el coseno para números complejos tal como lo hizo Leonard
Euler y entonces todas las propiedades de las funciones trigonométricas son sólo consecuencia de
las propiedades de los números complejos.
En la última parte de este capítulo, se verá que las funciones seno y coseno son soluciones a ciertas
ecuaciones funcionales las cuales caracterizarán a las funciones trigonométricas.
En el capítulo 3 se verán algunas de las tantas aplicaciones que tiene la trigonometría, por ejemplo
calcular distancias que pueden ser difíciles de medir, pero con la ayuda de la resolución de un
triángulo la tarea se vuelve sencilla, para observar esto se resolverán varios problemas de este
tipo. Además se resolverán algunos problemas de vectores en los cuales es necesario aplicar la
trigonometría, por ejemplo en la navegación y algunos problemas de física, también una de las
aplicaciones más importante de la trigonometría es el movimiento armónico, por lo cual se verán
sus características.
En el capítulo 4 se establecen diferentes relaciones que hay entre los distintos elementos de un
triángulo, para demostrar dichas relaciones se utilizarán las propiedades que se expusieron en el
primer capítulo y las mismas propiedades que ya hayan sido demostradas. También se establecerán
formulas para el área del triángulo en función de sus lados y sus ángulos. Todas estas propiedades
nos permitirán entender parte de la geometría del triángulo.
En el capítulo 5 se resuelven diferentes problemas que para encontrar su solución es necesario
aplicar la trigonometría, principalmente problemas en los cuales destacan desigualdades que se
pueden establecer entre los ángulos y los lados de un triángulo, además también hay desigualdades
de números reales que se pueden demostrar mediante una sustitución trigonométrica, de ahí que
la trigonometría no sólo es útil para la resolución de problemas que incluyan triángulos.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Presentación de las funciones trigonométricas. 5
1.1 Ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 De…nición de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Valores de las funciones trigonométricas para 0, 2 , , 32 . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Valores de las funciones para 6 , 4 , 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Grá…cas de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Fórmulas de adición, ángulo doble y de medio ángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 De…nición de las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante. 26
1.8 Grá…cas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. . . . . . . . . . 30
1.9 Funciones Trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9.1 Grá…cas de las funciones trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10 Continuidad y diferenciabilidad de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . 36
2. Otra manera de presentar las funciones trigonométricas. 41
2.1 Las ecuaciones diferenciales de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Series de potencias de las funciones seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 De…nición del seno y coseno en término de áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Números Complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Funciones trigonométricas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 Ecuaciones funcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. Aplicaciones de la trigonometría. 85
3.1 Resolución de triángulos rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 Resolución de triángulos oblicuángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Movimiento armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4. Trigonometría en el estudio de la geometría del triángulo 111
4.1 Relaciones Angulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Relaciones entre ángulos y lados y fórmulas de área. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
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5. Problemas de trigonometría 133
Apéndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
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Introducción
La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas; trigon, que signi…ca triángulo y metra, que
signi…ca medida, entonces la palabra trigonometría signi…ca medida del triángulo. En su forma
más básica, la trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un
triángulo.
En general la trigonometría es una herramienta fundamental para la solución de diversas situa-
ciones (triangulación astronómica, arquitectura e ingeniería, balística, etc) que se pueden traducir
a representaciones por medio de triángulos. Sus primeras aplicaciones fueron en el ámbito de la
astronomía, la navegación y la geodesia.
Otras aplicaciones interesantes de la trigonometría se realizan en Física o en Ingeniería en casi
todas sus ramas, siendo muy importante en el estudio de fenómenos periódicos.
La trigonometría puede ser presentada desde diferentes puntos de vista, el objetivo general de
este trabajo es presentar estas formas de desarrollar la trigonometría, y observar sin importar que
punto de vista utilicemos para desarrollar la trigonometría se llegan a los principales resultados de
esta rama de las matemáticas. En esta tesis las diferentes formas de presentar la trigonometría será
desde un punto de vista geométrico, que es el que principalmente se utiliza para la enseñanza de
esta materia, también se desarrollará a la trigonometría por medio de ecuaciones diferenciales, por
medio de series de potencias y por medio de la función exponencial. Otro objetivo de este trabajo,
es al ya tener los principales resultados de la trigonometría poder resolver distintos problemas
utilizando dichos resultados de esta materia.
Este trabajo puede ser de consulta para un profesor de bachillerato que esté impartiendo este tema
ya que en esta tesis se incluyen todos los resultados y fórmulas de la trigonometría, podrá utilizar
los ejemplos que se utilizan para ver las aplicaciones de esta materia; además que puede ampliar
su conocimiento sobre la materia al revisar los otros puntos de vista en que se puede presentar la
trigonometría y poder comentarle a sus alumnos que la trigonometría no necesariamente se tiene
que relacionar con triángulos.
También esta tesis puede ser de gran utilidad para los alumnos que participan en las olimpiadas
de matemáticas, porque los problemas que se presentan en este trabajo pueden servir de entre-
namiento para ellos, además que no todos los problemas tienen que ver con triángulos, hay algunos
que son desigualdades que pueden ser resueltas usando una sustitución trigonométrica, también
pueden obtener algunas estrategias de cómo resolver problemas.de trigonometría.
El desarrollo de este trabajo se ha estructurado en cinco capítulos; en los dos primeros, se de-
sarrolla la teoría y se presentan los resultados más importantes de la trigonometría desde las
diferentes formas de verla. En el siguiente capítulo se presentan las principales aplicaciones de la
trigonometría, en los últimos dos capítulos se resolverán distintos problemas en los cuáles para su
solución se requerirá de los resultados obtenidos en los dos primeros capítulos. También tiene un
apéndice en el cual se incluyen algunos resultados utilizados a lo largo del trabajo, sólo se incluyen
, 2
las demostraciones de aquellos cuya demostración no se encuentra en la bibliografía utilizada, los
restantes resultados que principalmente son del cálculo y análisis pueden ser encontrados en [14],
[20] y [23].
Podemos resumir el contenido de cada capítulo como sigue.
En el capítulo 1 se presenta la trigonometría desde un punto de vista geométrico mediante la
circunferencia unitaria, principalmente las funciones seno y coseno, y se obtendrán los resultados
más importantes de estas funciones que las caracterizan como son la periodicidad, las leyes de la
adición, etc. Además se de…nirán las restantes funciones trigonométricas en función del seno o el
coseno y se obtendrán algunas de sus propiedades.
Puesto que las funciones seno y coseno pueden ser introducidas sin utilizar argumentos geométri-
cos, en el capítulo 2 se abordan algunas de estas formas de de…nir las funciones trigonométricas,
por ejemplo, como soluciones a ecuaciones diferenciales, por serie de potencias o por medio de
la función exponencial; en todos los casos se de…nirá al número de forma diferente a la clási-
ca de…nición geométrica ya que todas estas presentaciones de las funciones trigonométricas no
recurren a argumentos geométricos.
La forma más interesante de todas las anteriores de de…nir las funciones trigonométricas es por
medio de la función exponencial, ya que esta de…nición no sólo abarca a los números reales sino
que nos permite la de…nición del seno y el coseno para números complejos tal como lo hizo Leonard
Euler y entonces todas las propiedades de las funciones trigonométricas son sólo consecuencia de
las propiedades de los números complejos.
En la última parte de este capítulo, se verá que las funciones seno y coseno son soluciones a ciertas
ecuaciones funcionales las cuales caracterizarán a las funciones trigonométricas.
En el capítulo 3 se verán algunas de las tantas aplicaciones que tiene la trigonometría, por ejemplo
calcular distancias que pueden ser difíciles de medir, pero con la ayuda de la resolución de un
triángulo la tarea se vuelve sencilla, para observar esto se resolverán varios problemas de este
tipo. Además se resolverán algunos problemas de vectores en los cuales es necesario aplicar la
trigonometría, por ejemplo en la navegación y algunos problemas de física, también una de las
aplicaciones más importante de la trigonometría es el movimiento armónico, por lo cual se verán
sus características.
En el capítulo 4 se establecen diferentes relaciones que hay entre los distintos elementos de un
triángulo, para demostrar dichas relaciones se utilizarán las propiedades que se expusieron en el
primer capítulo y las mismas propiedades que ya hayan sido demostradas. También se establecerán
formulas para el área del triángulo en función de sus lados y sus ángulos. Todas estas propiedades
nos permitirán entender parte de la geometría del triángulo.
En el capítulo 5 se resuelven diferentes problemas que para encontrar su solución es necesario
aplicar la trigonometría, principalmente problemas en los cuales destacan desigualdades que se
pueden establecer entre los ángulos y los lados de un triángulo, además también hay desigualdades
de números reales que se pueden demostrar mediante una sustitución trigonométrica, de ahí que
la trigonometría no sólo es útil para la resolución de problemas que incluyan triángulos.
