RESUMEN
En la actualidad el alcance de la teorı́a de conjuntos es comúnmente desestimado por
las personas que no conocen sus aplicaciones fuera de la teorı́a misma. Por eso, el objetivo
de este trabajo es exponer la extensa capacidad que tienen las herramientas conjuntistas
en otras áreas, como el Álgebra Lineal y el Análisis Matemático, para facilitar su estudio y
proporcionar nuevos resultados.
El primer capı́tulo de este texto está dedicado a familiarizar al lector con la notación
y algunas propiedades básicas que posee el conjunto de los números reales respecto a la
topologı́a, la medida de Lebesgue y las funciones continuas del espacio en sı́ mismo; con-
cluı́mos esta sección con una caracterı́stica notable del producto topológico de espacios
discretos de la misma cardinalidad y la utilizamos para construir una descomposición de la
recta real en conjuntos de tamaño continuo que, además, resultan ser orden-isomorfos a los
números irracionales.
Para el segundo capı́tulo se abordan los temas selectos del Álgebra Lineal concentrándose
en el estudio de los números reales vistos como espacio vectorial sobre los racionales. A
continuación, se presentan dos ejemplos de espacios de dimensión infinita acompañados con
resultados que desafı́an a la intuición y se complementan con una caracterización de la
dimensión en términos de transformaciones lineales. Además, se trabajó con la ecuación
funcional de Cauchy para construir conjuntos de Bernstein y bases de Hamel no medibles; fi-
nalizando con el teorema de Erdős-Kakutani, que relaciona las mencionadas bases de Hamel
con la Hipótesis del Continuo.
El tema central del tercer capı́tulo es el Análisis Matemático, dedicado a la conexión
entre la Hipótesis del Continuo con las funciones fuertemente Darboux y las funciones con-
stantes en ninguna parte; finalizando con un cardinal asociado a las funciones casi continuas,
estableciendo resultados acerca de su cofinalidad y su relación con otros cardinales de la
misma ı́ndole.
Posteriormente, el último capı́tulo utilizará el método de Forcing para construir exten-
siones genéricas, en aras de verificar que el cardinal definido en el capı́tulo anterior, puede
,ser forzado a ser, prácticamente, cualquier cardinal cuya cofinalidad rebase al primer ordinal
no numerable. Esto demostrarı́a que los axiomas de ZFC no son suficientes para decidir el
tamaño del cardinal en cuestión.
iv
, ÍNDICE
CAPÍTULO 1: PRELIMINARES 1
1.1 Teorı́a de Conjuntos 1
1.2 Subconjuntos especiales de R 4
1.3 El conjunto de Cantor 6
1.4 Funciones continuas 11
1.5 ω Z y los números irracionales 12
CAPÍTULO 2: APLICACIONES AL ÁLGEBRA LINEAL 20
2.1 Independencia lineal y bases de Hamel 20
2.2 La ecuación funcional de Cauchy 31
2.3 El Teorema de Erdős-Kakutani 36
CAPÍTULO 3: APLICACIONES AL ANÁLISIS MATEMÁTICO 40
3.1 Primeros resultados 40
3.2 El cardinal A(Φ) 45
CAPÍTULO 4: FORCING Y NOS VAMOS 60
4.1 Combinatoria Infinita 60
4.2 Extensiones Genéricas 65
4.3 Prueba del teorema central 70
BIBLIOGRAFÍA 75
, CAPÍTULO 1: PRELIMINARES
El objetivo de este capı́tulo es introducir la notación que será utilizada a lo largo de
este texto y presentar ciertos resultados básicos para auxiliarnos en los capı́tulos venideros.
Recomendamos a los lectores versados en los temas tratados en estas secciones que lean
el presente capı́tulo con el propósito de familiarizarse con los sı́mbolos y los términos que
emplearemos más adelante.
1.1 Teorı́a de Conjuntos
En este trabajo nos apoyaremos en [10] para cualquier referencia necesaria acerca de
Teorı́a de Conjuntos. Todo lo que no sea definido explı́citamente aquı́ deberá entenderse
como dice dicho texto.
Si A y B son un par de conjuntos, A ⊂ B significa que A ⊆ B pero A 6= B.
El sı́mbolo A B denotará al conjunto formado por las funciones de A en B.
El sı́mbolo P (A) representará al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Si f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊆ B, el sı́mbolo f |C denotará a la función f ∩(C ×B). Para
b ∈ B, f −1 {b} será usado para denotar a la preimagen del conjunto {b}. Nos referiremos a
dicho conjunto como la fibra de b. También, utilizaremos los sı́mbolos f [C] y f −1 [D] para
hablar de la imagen directa de C bajo f y de la imagen inversa de D bajo f , respectivamente.
En particular, utilizaremos el sı́mbolo img(f ) para hablar de f [A].
Utilizaremos α ∈ ON para abreviar la frase α es un ordinal.
Denotaremos por c al número cardinal de R.
Si A es un conjunto y κ es un cardinal, definimos
[A]6κ := {B ⊆ A : |B| 6 κ}, y [A]<κ := {B ⊆ A : |B| < κ};
con esto último, definimos [A]κ := [A]6κ \ [A]<κ .
En la actualidad el alcance de la teorı́a de conjuntos es comúnmente desestimado por
las personas que no conocen sus aplicaciones fuera de la teorı́a misma. Por eso, el objetivo
de este trabajo es exponer la extensa capacidad que tienen las herramientas conjuntistas
en otras áreas, como el Álgebra Lineal y el Análisis Matemático, para facilitar su estudio y
proporcionar nuevos resultados.
El primer capı́tulo de este texto está dedicado a familiarizar al lector con la notación
y algunas propiedades básicas que posee el conjunto de los números reales respecto a la
topologı́a, la medida de Lebesgue y las funciones continuas del espacio en sı́ mismo; con-
cluı́mos esta sección con una caracterı́stica notable del producto topológico de espacios
discretos de la misma cardinalidad y la utilizamos para construir una descomposición de la
recta real en conjuntos de tamaño continuo que, además, resultan ser orden-isomorfos a los
números irracionales.
Para el segundo capı́tulo se abordan los temas selectos del Álgebra Lineal concentrándose
en el estudio de los números reales vistos como espacio vectorial sobre los racionales. A
continuación, se presentan dos ejemplos de espacios de dimensión infinita acompañados con
resultados que desafı́an a la intuición y se complementan con una caracterización de la
dimensión en términos de transformaciones lineales. Además, se trabajó con la ecuación
funcional de Cauchy para construir conjuntos de Bernstein y bases de Hamel no medibles; fi-
nalizando con el teorema de Erdős-Kakutani, que relaciona las mencionadas bases de Hamel
con la Hipótesis del Continuo.
El tema central del tercer capı́tulo es el Análisis Matemático, dedicado a la conexión
entre la Hipótesis del Continuo con las funciones fuertemente Darboux y las funciones con-
stantes en ninguna parte; finalizando con un cardinal asociado a las funciones casi continuas,
estableciendo resultados acerca de su cofinalidad y su relación con otros cardinales de la
misma ı́ndole.
Posteriormente, el último capı́tulo utilizará el método de Forcing para construir exten-
siones genéricas, en aras de verificar que el cardinal definido en el capı́tulo anterior, puede
,ser forzado a ser, prácticamente, cualquier cardinal cuya cofinalidad rebase al primer ordinal
no numerable. Esto demostrarı́a que los axiomas de ZFC no son suficientes para decidir el
tamaño del cardinal en cuestión.
iv
, ÍNDICE
CAPÍTULO 1: PRELIMINARES 1
1.1 Teorı́a de Conjuntos 1
1.2 Subconjuntos especiales de R 4
1.3 El conjunto de Cantor 6
1.4 Funciones continuas 11
1.5 ω Z y los números irracionales 12
CAPÍTULO 2: APLICACIONES AL ÁLGEBRA LINEAL 20
2.1 Independencia lineal y bases de Hamel 20
2.2 La ecuación funcional de Cauchy 31
2.3 El Teorema de Erdős-Kakutani 36
CAPÍTULO 3: APLICACIONES AL ANÁLISIS MATEMÁTICO 40
3.1 Primeros resultados 40
3.2 El cardinal A(Φ) 45
CAPÍTULO 4: FORCING Y NOS VAMOS 60
4.1 Combinatoria Infinita 60
4.2 Extensiones Genéricas 65
4.3 Prueba del teorema central 70
BIBLIOGRAFÍA 75
, CAPÍTULO 1: PRELIMINARES
El objetivo de este capı́tulo es introducir la notación que será utilizada a lo largo de
este texto y presentar ciertos resultados básicos para auxiliarnos en los capı́tulos venideros.
Recomendamos a los lectores versados en los temas tratados en estas secciones que lean
el presente capı́tulo con el propósito de familiarizarse con los sı́mbolos y los términos que
emplearemos más adelante.
1.1 Teorı́a de Conjuntos
En este trabajo nos apoyaremos en [10] para cualquier referencia necesaria acerca de
Teorı́a de Conjuntos. Todo lo que no sea definido explı́citamente aquı́ deberá entenderse
como dice dicho texto.
Si A y B son un par de conjuntos, A ⊂ B significa que A ⊆ B pero A 6= B.
El sı́mbolo A B denotará al conjunto formado por las funciones de A en B.
El sı́mbolo P (A) representará al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Si f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊆ B, el sı́mbolo f |C denotará a la función f ∩(C ×B). Para
b ∈ B, f −1 {b} será usado para denotar a la preimagen del conjunto {b}. Nos referiremos a
dicho conjunto como la fibra de b. También, utilizaremos los sı́mbolos f [C] y f −1 [D] para
hablar de la imagen directa de C bajo f y de la imagen inversa de D bajo f , respectivamente.
En particular, utilizaremos el sı́mbolo img(f ) para hablar de f [A].
Utilizaremos α ∈ ON para abreviar la frase α es un ordinal.
Denotaremos por c al número cardinal de R.
Si A es un conjunto y κ es un cardinal, definimos
[A]6κ := {B ⊆ A : |B| 6 κ}, y [A]<κ := {B ⊆ A : |B| < κ};
con esto último, definimos [A]κ := [A]6κ \ [A]<κ .
