Índice
1. Introducción 2
2. El isomorfismo o(p + 1, q + 1) ∼
= co(p, q) 4
3. El isomorfismo o(4, 2) ∼ = su(2, 2) y la exponencial de los campos que
preservan la estructura conforme del espacio-tiempo de Minkowski 18
3.1. Estructuras complejas y el elemento Γ ∈ Cl(p, q) . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Realizaciones de Cl(3, 1) y Cl(4, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. El isomorfismo entre o(4, 2) y su(2, 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Sobre la exponenciación de los campos conformes del espacio-tiempo de
Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Completación conforme de un espacio vectorial con geometría de sig-
natura (p, q) 33
4.1. Construcción y propiedades de la completación conforme . . . . . . . . 33
4.2. Completación conforme del espacio-tiempo de Minkowski . . . . . . . . 40
5. Conclusiones 43
6. Referencias 44
1
,1. Introducción
En el presente trabajo demostramos el isomorfismo de álgebras de Lie entre co(p, q),
el álgebra de Lie de los campos vectoriales cuyos flujos integrales preservan, hasta
un factor escalar positivo, una forma bilineal, simétrica y no degenerada (a la cual
frecuentemente nos referiremos como geometría) de signatura (p, q) definida en un
espacio vectorial de dimensión p + q, y o(p + 1, q + 1), el álgebra de Lie ortogonal de un
espacio vectorial con una geometría de signatura (p + 1, q + 1). Dicho resultado tiene
implicaciones en física, pues para el caso particular del espacio de Minkowski se tiene
que co(3, 1) ∼
= o(4, 2), además se sabe desde 1910 (ver el artículo [1] de Bateman) que
el grupo de simetría de las ecuaciones de Maxwell en el vacío (esto es, el grupo de
transformaciones que preserva la forma de dichas ecuaciones transformando soluciones
en soluciones) es precisamente el grupo de transformaciones conforme asociado al
álgebra de Lie co(3, 1). Este hecho concentra una particular atención en los grupos de
Lie cuya álgebra de Lie sea isomorfa a o(4, 2). En este trabajo, al explicar el isomorfismo
co(3, 1) ∼= o(4, 2), obtendremos, como una consecuencia colateral, la posibilidad de
describir un espacio-tiempo tetradimensional M en forma de espacio homogéneo G/H
de tal manera que g ∼ = o(4, 2), dim(G/H) = 4 y que T[e] G/H esté equipado con una
geometría en la clase conforme de la métrica de Minkowski plana usual de R4 .
El objetivo del primer capítulo es demostrar que, localmente, el grupo de transfor-
maciones conformes de un espacio vectorial es localmente isomorfo al grupo ortogonal
O(p + 1, q + 1); en otras palabras, demostrar que co(p, q) ∼ = o(p + 1, q + 1). Para llegar
a este resultado recurrimos al método desarrollado en [10] y [4]. Brevemente, dicho
método sirve para estudiar la familia de subálgebras de Lie de un álgebra de Lie pre-
secrita de campos vectoriales que preservan alguna estructura geométrica subyacente,
y consiste en considerar la expansión en serie de Taylor de las componentes de los
campos vectoriales que preservan la estructura geométrica localmente. Una vez hecho
esto, aplicamos las técnicas desarrolladas para el álgebra de transformaciones confor-
mes lineales y, añadiendo un espacio de dimensión dos con una geometría de signatura
(1, 1) al espacio vectorial original, exhibimos el isomorfismo deseado.
La exposición continúa en el segundo capítulo, donde brevemente introducimos las
realizaciones de las álgebras de Clifford de Cl(3, 1) y Cl(4, 2) dadas en [2]. Dichas reali-
zaciones consisten en identificar estas álgebras con las álgebras de matrices isomorfas a
EndC C2 ⊕ EndC C2 ◦ κ y EndC C4 ⊕ EndC C4 ◦ K, respectivamente, donde κ : C2 → C2
y K : C4 → C4 son transformaciones C-antilineales e invertibles fijas. Utilizamos estas
realizaciones para demostrar los isomorfismos de álgebras de Lie sl2 (C) ∼ = o(3, 1) y
∼
su(2, 2) = o(4, 2).
Un apartado importante en este trabajo consiste en representar a los generadores
del álgebra de Lie o(4, 2) como campos vectoriales de R4 y demostramos que no to-
dos los flujos integrales de dichos campos vectoriales están definidos para todo valor
del párametro de integración t. Este hecho es la motivación principal para proponer
que el espacio-tiempo de Minkowski usual, visto como el espacio vectorial R4 con la
métrica plana de signatura (3, 1), sea solamente el espacio euclideano donde toman
valores las cartas coordenadas de una variedad M , con M ' G/H como mencionamos
anteriormente. De esta forma, el álgebra de Lie de G, que por construcción es isomorfa
al álgebra de Lie o(4, 2), se representa por campos vectoriales cuyos flujos integrales
sí están globalmente definidos en M .
Proseguimos con esta «brújula» al tercer y último capítulo con el fin de describir
2
,con detalle la variedad suave y compacta M ∼ = SO(4, 2)e /Ĥ. Ésta suele llamarse en la
literatura, la completación conforme del espacio-tiempo de Minkowski. Parte importan-
te de la presentación consiste en entender su geometría —esto es, cómo está definida de
manera natural, en cada espacio tangente, una forma bilineal simétrica, no degenerada
de signatura (3, 1)—, y cómo es que ésta está definida en este modelo homogéneo, sola-
mente hasta un factor escalar positivo. El capítulo y la tesis concluyen mostrando que
la completación conforme del espacio-tiempo de Minkowski es una variedad isomorfa
al grupo de Lie U (2). Cabe destacar que este modelo fue estudiado exhaustivamente
por Segal en [9], referencia en la cual este trabajo está muy fuertemente inspirado.
3
, 2. El isomorfismo o(p + 1, q + 1) ∼
= co(p, q)
En [10] y [4], Sternberg et. al. desarrollan un método que permite estudiar, desde
un punto de vista enteramente algebraico, la familia de subálgebras de un álgebra
de Lie prescrita que preservan alguna estructura geométrica subyacente asociada al
álgebra de Lie dada. En principio, la motivación de dicho método viene de pensar que
el conjunto de campos vectoriales suaves asociados a una variedad es el álgebra de Lie
prescrita, de forma que sus posibles subálgebras de Lie corresponden a la acción de
diferentes grupos de Lie en la variedad.
Al abordar el problema localmente es posible hacer este estudio en términos pu-
ramente algebraicos, sobre un espacio vectorial de dimensión finita, que de ahora en
adelante denotaremos como T . Nuestra aproximación al método depende fuertemente
de dos resultados: primero, el teorema de Taylor, que nos permitirá filtrar el espacio de
funciones suaves en T , y el segundo, el isomorfismo entre el álgebra de campos vecto-
riales de T , X(T ), y el álgebra de derivaciones Der(C ∞ (T )). La importancia de ambas
condiciones se hará evidente más adelante. Además de las fuentes antes mencionadas,
referimos al lector a [12], exposición en la cual este capítulo está fuertemente inspirado.
Comencemos por fijar la notación. Fijamos una base {ek }nk=1 , de T , y su base dual
{xk : T → R}nk=1 , de tal forma que xj (ek ) = δij .
Consideremos ahora el álgebra simétrica del espacio dual, S(T ∗ ). Como sabemos,
ésta es un álgebra real Z-graduada, de manera que
M
S(T ∗ ) = S k (T ∗ ),
k∈Z
donde
{0}, si k < 0,
S k (T ∗ ) = R, si k = 0,
Span{xi1 · · · xik : xij es un elemento de la base dual}, si 0 < k.
Habiendo dado la forma explícita de la graduación, queda en evidencia el isomorfismo
de espacios vectoriales entre S k (T ∗ ), con 0 ≤ k, y el subespacio de polinomios homo-
géneos de grado k en T . De hecho, éstos se pueden identificar con la subálgebra de
C ∞ (T ) generada por las funciones polinomiales del sistema de coordenadas {xk } defi-
nido por la base dual al identificar el producto en S(T ∗ ) con el produto de funciones
suaves T → R.
Definición 1. Sea A un álgebra Z-graduada. Entonces, una derivación de grado k ∈ Z
es una función lineal, D : A → A, tal que
(i) satisface la regla de Leibniz, es decir, D(f g) = f D(g) + D(f )g, para todos
f, g ∈ A, y
(ii) para cada subespacio Aj ⊆ A, se tiene que D(Aj ) ⊆ Aj+k .
Al espacio de derivaciones de grado k de A lo denotamos como Der(A)k .
Cualquier derivación, D ∈ Der S(T ∗ ), está únicamente definida por su acción en
elementos de S 1 (T ∗ ), ya que para cualquier elemento de la base, xi1 · · · xik ∈ S k (T ∗ ),
4
1. Introducción 2
2. El isomorfismo o(p + 1, q + 1) ∼
= co(p, q) 4
3. El isomorfismo o(4, 2) ∼ = su(2, 2) y la exponencial de los campos que
preservan la estructura conforme del espacio-tiempo de Minkowski 18
3.1. Estructuras complejas y el elemento Γ ∈ Cl(p, q) . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Realizaciones de Cl(3, 1) y Cl(4, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. El isomorfismo entre o(4, 2) y su(2, 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Sobre la exponenciación de los campos conformes del espacio-tiempo de
Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Completación conforme de un espacio vectorial con geometría de sig-
natura (p, q) 33
4.1. Construcción y propiedades de la completación conforme . . . . . . . . 33
4.2. Completación conforme del espacio-tiempo de Minkowski . . . . . . . . 40
5. Conclusiones 43
6. Referencias 44
1
,1. Introducción
En el presente trabajo demostramos el isomorfismo de álgebras de Lie entre co(p, q),
el álgebra de Lie de los campos vectoriales cuyos flujos integrales preservan, hasta
un factor escalar positivo, una forma bilineal, simétrica y no degenerada (a la cual
frecuentemente nos referiremos como geometría) de signatura (p, q) definida en un
espacio vectorial de dimensión p + q, y o(p + 1, q + 1), el álgebra de Lie ortogonal de un
espacio vectorial con una geometría de signatura (p + 1, q + 1). Dicho resultado tiene
implicaciones en física, pues para el caso particular del espacio de Minkowski se tiene
que co(3, 1) ∼
= o(4, 2), además se sabe desde 1910 (ver el artículo [1] de Bateman) que
el grupo de simetría de las ecuaciones de Maxwell en el vacío (esto es, el grupo de
transformaciones que preserva la forma de dichas ecuaciones transformando soluciones
en soluciones) es precisamente el grupo de transformaciones conforme asociado al
álgebra de Lie co(3, 1). Este hecho concentra una particular atención en los grupos de
Lie cuya álgebra de Lie sea isomorfa a o(4, 2). En este trabajo, al explicar el isomorfismo
co(3, 1) ∼= o(4, 2), obtendremos, como una consecuencia colateral, la posibilidad de
describir un espacio-tiempo tetradimensional M en forma de espacio homogéneo G/H
de tal manera que g ∼ = o(4, 2), dim(G/H) = 4 y que T[e] G/H esté equipado con una
geometría en la clase conforme de la métrica de Minkowski plana usual de R4 .
El objetivo del primer capítulo es demostrar que, localmente, el grupo de transfor-
maciones conformes de un espacio vectorial es localmente isomorfo al grupo ortogonal
O(p + 1, q + 1); en otras palabras, demostrar que co(p, q) ∼ = o(p + 1, q + 1). Para llegar
a este resultado recurrimos al método desarrollado en [10] y [4]. Brevemente, dicho
método sirve para estudiar la familia de subálgebras de Lie de un álgebra de Lie pre-
secrita de campos vectoriales que preservan alguna estructura geométrica subyacente,
y consiste en considerar la expansión en serie de Taylor de las componentes de los
campos vectoriales que preservan la estructura geométrica localmente. Una vez hecho
esto, aplicamos las técnicas desarrolladas para el álgebra de transformaciones confor-
mes lineales y, añadiendo un espacio de dimensión dos con una geometría de signatura
(1, 1) al espacio vectorial original, exhibimos el isomorfismo deseado.
La exposición continúa en el segundo capítulo, donde brevemente introducimos las
realizaciones de las álgebras de Clifford de Cl(3, 1) y Cl(4, 2) dadas en [2]. Dichas reali-
zaciones consisten en identificar estas álgebras con las álgebras de matrices isomorfas a
EndC C2 ⊕ EndC C2 ◦ κ y EndC C4 ⊕ EndC C4 ◦ K, respectivamente, donde κ : C2 → C2
y K : C4 → C4 son transformaciones C-antilineales e invertibles fijas. Utilizamos estas
realizaciones para demostrar los isomorfismos de álgebras de Lie sl2 (C) ∼ = o(3, 1) y
∼
su(2, 2) = o(4, 2).
Un apartado importante en este trabajo consiste en representar a los generadores
del álgebra de Lie o(4, 2) como campos vectoriales de R4 y demostramos que no to-
dos los flujos integrales de dichos campos vectoriales están definidos para todo valor
del párametro de integración t. Este hecho es la motivación principal para proponer
que el espacio-tiempo de Minkowski usual, visto como el espacio vectorial R4 con la
métrica plana de signatura (3, 1), sea solamente el espacio euclideano donde toman
valores las cartas coordenadas de una variedad M , con M ' G/H como mencionamos
anteriormente. De esta forma, el álgebra de Lie de G, que por construcción es isomorfa
al álgebra de Lie o(4, 2), se representa por campos vectoriales cuyos flujos integrales
sí están globalmente definidos en M .
Proseguimos con esta «brújula» al tercer y último capítulo con el fin de describir
2
,con detalle la variedad suave y compacta M ∼ = SO(4, 2)e /Ĥ. Ésta suele llamarse en la
literatura, la completación conforme del espacio-tiempo de Minkowski. Parte importan-
te de la presentación consiste en entender su geometría —esto es, cómo está definida de
manera natural, en cada espacio tangente, una forma bilineal simétrica, no degenerada
de signatura (3, 1)—, y cómo es que ésta está definida en este modelo homogéneo, sola-
mente hasta un factor escalar positivo. El capítulo y la tesis concluyen mostrando que
la completación conforme del espacio-tiempo de Minkowski es una variedad isomorfa
al grupo de Lie U (2). Cabe destacar que este modelo fue estudiado exhaustivamente
por Segal en [9], referencia en la cual este trabajo está muy fuertemente inspirado.
3
, 2. El isomorfismo o(p + 1, q + 1) ∼
= co(p, q)
En [10] y [4], Sternberg et. al. desarrollan un método que permite estudiar, desde
un punto de vista enteramente algebraico, la familia de subálgebras de un álgebra
de Lie prescrita que preservan alguna estructura geométrica subyacente asociada al
álgebra de Lie dada. En principio, la motivación de dicho método viene de pensar que
el conjunto de campos vectoriales suaves asociados a una variedad es el álgebra de Lie
prescrita, de forma que sus posibles subálgebras de Lie corresponden a la acción de
diferentes grupos de Lie en la variedad.
Al abordar el problema localmente es posible hacer este estudio en términos pu-
ramente algebraicos, sobre un espacio vectorial de dimensión finita, que de ahora en
adelante denotaremos como T . Nuestra aproximación al método depende fuertemente
de dos resultados: primero, el teorema de Taylor, que nos permitirá filtrar el espacio de
funciones suaves en T , y el segundo, el isomorfismo entre el álgebra de campos vecto-
riales de T , X(T ), y el álgebra de derivaciones Der(C ∞ (T )). La importancia de ambas
condiciones se hará evidente más adelante. Además de las fuentes antes mencionadas,
referimos al lector a [12], exposición en la cual este capítulo está fuertemente inspirado.
Comencemos por fijar la notación. Fijamos una base {ek }nk=1 , de T , y su base dual
{xk : T → R}nk=1 , de tal forma que xj (ek ) = δij .
Consideremos ahora el álgebra simétrica del espacio dual, S(T ∗ ). Como sabemos,
ésta es un álgebra real Z-graduada, de manera que
M
S(T ∗ ) = S k (T ∗ ),
k∈Z
donde
{0}, si k < 0,
S k (T ∗ ) = R, si k = 0,
Span{xi1 · · · xik : xij es un elemento de la base dual}, si 0 < k.
Habiendo dado la forma explícita de la graduación, queda en evidencia el isomorfismo
de espacios vectoriales entre S k (T ∗ ), con 0 ≤ k, y el subespacio de polinomios homo-
géneos de grado k en T . De hecho, éstos se pueden identificar con la subálgebra de
C ∞ (T ) generada por las funciones polinomiales del sistema de coordenadas {xk } defi-
nido por la base dual al identificar el producto en S(T ∗ ) con el produto de funciones
suaves T → R.
Definición 1. Sea A un álgebra Z-graduada. Entonces, una derivación de grado k ∈ Z
es una función lineal, D : A → A, tal que
(i) satisface la regla de Leibniz, es decir, D(f g) = f D(g) + D(f )g, para todos
f, g ∈ A, y
(ii) para cada subespacio Aj ⊆ A, se tiene que D(Aj ) ⊆ Aj+k .
Al espacio de derivaciones de grado k de A lo denotamos como Der(A)k .
Cualquier derivación, D ∈ Der S(T ∗ ), está únicamente definida por su acción en
elementos de S 1 (T ∗ ), ya que para cualquier elemento de la base, xi1 · · · xik ∈ S k (T ∗ ),
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