Sumario Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos.

Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos.
2.1. Aplicaciones Lineales.
Si 𝑉y 𝑊son dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo 𝐾, llamamos aplicación lineal
de 𝑉en𝑊a una función 𝑓: 𝑉 → 𝑊que verifica:
𝑓(𝑢 + 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣)
𝑓(λ𝑣) = λ𝑓(𝑣)
Si 𝑉 = 𝑊entonces la aplicación lineal se llama endomorfismo.

Propiedades.
Si 𝑓: 𝑉 → 𝑊es una aplicación lineal sobre un cuerpo 𝐾, se tiene:
1. 𝑓(𝑢 − 𝑣) = 𝑓(𝑢) − 𝑓(𝑣)
2. 𝑓(0𝑣) = 0𝑤
Caracterizaciń de una aplicación lineal.
𝑓: 𝑉 → 𝑊es una aplicación lineal si y sólo si, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉; ∀λ, µ ∈ 𝐾
𝑓(λ𝑢 + µ𝑣) = λ𝑓(𝑢) + µ𝑓(𝑣)

Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.
Definición 1. Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑊una aplicación lineal. Llamamos Núcleo de 𝑓(𝐾𝑒𝑟𝑓) al conjunto
de vectores de 𝑉cuya imagen es el elemento neutro de 𝑊.
𝐾𝑒𝑟𝑓 = {𝑤 ∈ 𝑊|∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑡. 𝑞. 𝑓(𝑣) = 𝑤}
Definición 2. Llamamos Imagen de f (Imf) al conjunto de vectores de W que son imágenes
bajo f de vectores de V.
𝐼𝑚𝑓 = {𝑤 ∈ 𝑊|∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑡. 𝑞. 𝑓(𝑣) = 𝑤}

Teorema 1. Si 𝑓: 𝑉 → 𝑊es una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un
cuerpo 𝐾, se tiene que:
1. 𝐾𝑒𝑟𝑓 es un subespacio vectorial de 𝑉
2. 𝐼𝑚𝑓 es un subespacio vectorial de 𝑊.


{ }
Teorema 2. Dada una aplicación lineal 𝑓: 𝑉 → 𝑊y un sistema generador de 𝑉, 𝑣1, 𝑣2,..., 𝑣𝑛 ,

{ }
se tiene que los vectores 𝑓(𝑣1), 𝑓(𝑣2),..., 𝑓(𝑣𝑝) forman un sistema generador de 𝐼𝑚𝑓.


Teorema 3. Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑊 una aplicación lineal donde 𝑉es un espacio vectorial de dimensión
finita. Entonces se verifica. 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝑓 + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝑓
Teorema 4. Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑊una aplicación lineal. Entonces:

{ }
1. 𝑓es inyectiva si y sólo si 𝐾𝑒𝑟𝑓 = 0𝑣 si y sólo si 𝑑𝑖𝑚 𝐾𝑒𝑟𝑓 = 0
2. 𝑓 es sobreyectiva si y sólo si 𝐼𝑚𝑓 = 𝑊

Matriz de una aplicación lineal.