Hoofdstuk 1 Exponentiële en logaritmische functies
Moderne Wiskunde 6 VWO B 11e editie 2017 ISBN 978-90-01-86215-2
§0 Voorkennis
de exacte oplossing van de exponentiële vergelijking ga = b is a = glog(b)
dit heet de logaritme van b voor grondtal g
rekenregels voor logaritmen (a, b > 0)
log(g) = 10log(g) g glog(b) = b
a
g
log(a) + glog(b) = glog(a ∙ b) g
log(a) – glog(b) = glog( )
b
k
log( a) log (a)
k ∙ glog(a) = glog(ak) g
log(a) = k =
log( g) log (g)
g g
log(g) = 1 log(1) = 0
g
1
log(gk) = k g
log(a) = a
log ( g)
§1 Een ander grondtal
exponentiële functie f(t) = gat + b kun je schrijven als f(t) = gb ∙ (ga)t
en dus ook als f(t) = p ∙ qt met p = gb en q = ga
exponentiële functie f(t) = gt schrijven als een functie met grondtal b
stap 1) g als macht van b schrijven
g = ba
stap 2) oplossen
a = blog(g)
stap 3) functievoorschrift schrijven
b b
f(t) = (b log(g) )t = b log(g) ∙t
exponentiële functie met grondtal g schrijven als functie met grondtal e
e
gx = e log(g )∙ x = exln(g)
logaritmische functie met grondtal g schrijven als een functie met grondtal e
ln ( x )
g
log(x) = ln ( g ) want elog(x) is gelijk aan ln(x)
¿
¿
, §2 Het getal e
de afgeleide van een exponentiële functie f(x) = gx is f’(x) = c ∙ f(x)
constante c hangt af van het grondtal g en wordt daarom aangegeven met cg
er geldt f’(x) = cg ∙ gx en f’(0) = cg ∙ g0 = cg
het grondtal van de functie f(x) = gx waarvoor cg = 1 wordt e genoemd en heet het getal van Euler
f(x) = ex dan is f’(x) = ex
kettingregel
f(x) = e3x – 2 dan is f’(x) = e3x – 2 ∙ 3
e ≈ 2,71828
§3 Natuurlijke logaritme
het spiegelbeeld van de grafiek van f(x) = ex na spiegeling in de lijn y = x is de grafiek van de
logaritmische functie g(x) = elog(x) ofwel ln(x)
elog(x) is de natuurlijke logaritme
rekenregels voor natuurlijke logaritme
eln(x) = x want eelog(x) = x
e
log ( x ) ln ( x )
g
log(x) = e log ( g) = ln ( g )
¿ ¿
¿ ¿
1
f(x) = ln(x) f’(x) =
x
ln2(x) = (ln(x))2
§4 Afgeleide functies
ln ( x ) 1 1 1 1
als f(x) = glog(x) = ln ( g ) = ln ( g ) ∙ ln(x) dan is de afgeleide f’(x) = ln ( g ) ∙ = x ∙ ln ( g )
¿ ¿ ¿ x ¿
¿ ¿ ¿ ¿
elke exponentiële functie f(x) = gx is als exponentiële functie met grondtal e te schrijven: f(x) = eln(g)∙x
als f(x) = gx dan is f’(x) = eln(g)∙x ∙ ln(g) = ln(g) ∙ gx
afgeleide functies
f(x) = gx f’(x) = gx ∙ ln(g)
ln ( x ) 1
f(x) = glog(x) = ln ( g ) f’(x) = x ∙ ln ( g )
¿ ¿
¿ ¿
Moderne Wiskunde 6 VWO B 11e editie 2017 ISBN 978-90-01-86215-2
§0 Voorkennis
de exacte oplossing van de exponentiële vergelijking ga = b is a = glog(b)
dit heet de logaritme van b voor grondtal g
rekenregels voor logaritmen (a, b > 0)
log(g) = 10log(g) g glog(b) = b
a
g
log(a) + glog(b) = glog(a ∙ b) g
log(a) – glog(b) = glog( )
b
k
log( a) log (a)
k ∙ glog(a) = glog(ak) g
log(a) = k =
log( g) log (g)
g g
log(g) = 1 log(1) = 0
g
1
log(gk) = k g
log(a) = a
log ( g)
§1 Een ander grondtal
exponentiële functie f(t) = gat + b kun je schrijven als f(t) = gb ∙ (ga)t
en dus ook als f(t) = p ∙ qt met p = gb en q = ga
exponentiële functie f(t) = gt schrijven als een functie met grondtal b
stap 1) g als macht van b schrijven
g = ba
stap 2) oplossen
a = blog(g)
stap 3) functievoorschrift schrijven
b b
f(t) = (b log(g) )t = b log(g) ∙t
exponentiële functie met grondtal g schrijven als functie met grondtal e
e
gx = e log(g )∙ x = exln(g)
logaritmische functie met grondtal g schrijven als een functie met grondtal e
ln ( x )
g
log(x) = ln ( g ) want elog(x) is gelijk aan ln(x)
¿
¿
, §2 Het getal e
de afgeleide van een exponentiële functie f(x) = gx is f’(x) = c ∙ f(x)
constante c hangt af van het grondtal g en wordt daarom aangegeven met cg
er geldt f’(x) = cg ∙ gx en f’(0) = cg ∙ g0 = cg
het grondtal van de functie f(x) = gx waarvoor cg = 1 wordt e genoemd en heet het getal van Euler
f(x) = ex dan is f’(x) = ex
kettingregel
f(x) = e3x – 2 dan is f’(x) = e3x – 2 ∙ 3
e ≈ 2,71828
§3 Natuurlijke logaritme
het spiegelbeeld van de grafiek van f(x) = ex na spiegeling in de lijn y = x is de grafiek van de
logaritmische functie g(x) = elog(x) ofwel ln(x)
elog(x) is de natuurlijke logaritme
rekenregels voor natuurlijke logaritme
eln(x) = x want eelog(x) = x
e
log ( x ) ln ( x )
g
log(x) = e log ( g) = ln ( g )
¿ ¿
¿ ¿
1
f(x) = ln(x) f’(x) =
x
ln2(x) = (ln(x))2
§4 Afgeleide functies
ln ( x ) 1 1 1 1
als f(x) = glog(x) = ln ( g ) = ln ( g ) ∙ ln(x) dan is de afgeleide f’(x) = ln ( g ) ∙ = x ∙ ln ( g )
¿ ¿ ¿ x ¿
¿ ¿ ¿ ¿
elke exponentiële functie f(x) = gx is als exponentiële functie met grondtal e te schrijven: f(x) = eln(g)∙x
als f(x) = gx dan is f’(x) = eln(g)∙x ∙ ln(g) = ln(g) ∙ gx
afgeleide functies
f(x) = gx f’(x) = gx ∙ ln(g)
ln ( x ) 1
f(x) = glog(x) = ln ( g ) f’(x) = x ∙ ln ( g )
¿ ¿
¿ ¿
