Ejercicios del método de variación de parámetros.

Método de variación de parámetros.

El método de variación de parámetros permite resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales, con
coeficientes constantes, no homogéneas, la cual tiene la forma:
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑎2 (𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) la que puede escribir en la forma característica como

𝑑2 𝑦 𝑎 (𝑥) 𝑑𝑦 𝑎 (𝑥) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥 2
+ 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥) o 𝑑𝑥 2
+ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) para coeficientes variables
2 2

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥 2
+ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0 para la homogénea

En general la solución de la ecuación diferencial está dada por la suma de la solución de la homogénea más la solución
particular, 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝑃

La solución de la parte homogénea se obtiene por los procedimientos anteriormente tratados.

Para la solución particular partiremos de proponer que:

𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2

𝑦𝑃′ = 𝑢1 𝑦1′ + 𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2′ + 𝑢2′ 𝑦2
𝑦𝑃′′ = 𝑢1 𝑦1′′ + 𝑦1′ 𝑢1′ + 𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢1′′ 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2′′ + 𝑦2′ 𝑢2′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑢2′′ 𝑦2
𝑢1 𝑦1′′ + 𝑦1′ 𝑢1′ + 𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢1′′ 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2′′ + 𝑦2′ 𝑢2′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑢2′′ 𝑦2 + 𝑃(𝑥)(𝑢1 𝑦1′ + 𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2′ + 𝑢2′ 𝑦2 ) + 𝑄(𝑥)(𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 ) = 𝑓(𝑥)
𝑢1 (𝑦1′′ + 𝑃(𝑥)𝑦1′ + 𝑄(𝑥)𝑦1 ) +𝑢2 (𝑦2′′ + 𝑃(𝑥)𝑦2′ + 𝑄(𝑥)𝑦2 ) + 𝑦1′ 𝑢1′ + 𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢1′′ 𝑦1 + 𝑦2′ 𝑢2′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑢2′′ 𝑦2 + 𝑃(𝑥)(𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2 ) = 𝑓(𝑥)

Si 𝑦1′′ + 𝑃(𝑥)𝑦1′ + 𝑄(𝑥)𝑦1 = 0 y 𝑦2′′ + 𝑃(𝑥)𝑦2′ + 𝑄(𝑥)𝑦2 = 0
𝑦1′ 𝑢1′ + 𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢1′′ 𝑦1 + 𝑦2′ 𝑢2′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑢2′′ 𝑦2 + 𝑃(𝑥)(𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2 ) = 𝑓(𝑥)

𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢1′′ 𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑢1′′ 𝑦1 + 𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑃(𝑥)(𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2 ) = 𝑓(𝑥)
𝑑
(𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2 ) + 𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑃(𝑥)(𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2 ) = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥

𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2 = 0
𝑢1′ 𝑦1′ + 𝑢2′ 𝑦2′ = 𝑓(𝑥)
Lo cual es un sistema de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver por determinantes.
𝑦1 𝑦2 0 𝑦2 𝑦1 0
𝑤 = |𝑦 ′ 𝑦2′ | ; 𝑤1 = |𝑓(𝑥) 𝑦2′ | ; 𝑤2 = |𝑦1′ |
1 𝑓(𝑥)
𝑤1 𝑤1 𝑤2 𝑤2
𝑢1′ = 𝑤
, 𝑢1 = ∫ 𝑤
𝑑𝑥 ; 𝑢2′ = 𝑤
, 𝑢2 = ∫ 𝑤
𝑑𝑥

𝑦𝑃 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2



Ejemplo.

Resuelva la siguiente ecuación diferencial de segundo orden, lineal,

con coeficientes constantes, no homogénea.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
+ 𝑦 = sec (𝑥) sujeta a 𝑦(0) = 1 ; 𝑦′(0) = −1

, Solución.
𝑑2 𝑦
+ 𝑦 = sec (𝑥) ; 𝑦(0) = 1 ; 𝑦′(0) = −1
𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑦
Primero encontramos la solución de la homogénea, para 𝑑𝑥 2
+ 𝑦 = 0.

Utilizando la ecuación auxiliar 𝑚2 + 1 = 0; 𝑚1,2 = ±𝑖 como ℂ = 𝛼 ± 𝛽𝑖

Donde 𝛼 = 0 y 𝛽 = 1, entonces la solución es 𝑦𝐻 = 𝐶1 cos(𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Para la solución particular consideramos que 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 entonces,

𝑦1 = cos (𝑥) ; 𝑦1′ = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; 𝑦2 = sen (𝑥) ; 𝑦2′ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).
cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑤=| | = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) = 1
−𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)
0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 1
𝑤1 = | | = − sec(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = − cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −tan (𝑥)
sec (𝑥) cos(𝑥)
cos (𝑥) 0 1
𝑤2 = | | = sec(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = cos(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1
−sen (𝑥) sec (𝑥)

𝑢1 = ∫ − tan(𝑥) 𝑑𝑥 = ln (cos (𝑥) 𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥

𝑦𝑝 = cos(𝑥) ln(cos(𝑥)) + 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑦 = 𝐶1 cos(𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) ln(cos(𝑥)) + 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 ′ = −𝐶1 sen(𝑥) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ln(cos(𝑥)) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Si 𝑦(0) = 1 ; 1 = 𝐶1 ;

Si 𝑦′(0) = −1 ; −1 = 𝐶2

𝑦 = cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) ln(cos(𝑥))
𝑦 = cos(𝑥) (1 + ln(cos(𝑥)) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(1 − 𝑥)



Ejemplo.

Resuelva la siguiente ecuación diferencial de segundo orden, lineal,

con coeficientes constantes, no homogénea.
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 1
+3 𝑦 + 2𝑦 =
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 1+𝑒 𝑥

Solución.
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 1
𝑑𝑥 2
+ 3 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 1+𝑒 𝑥 ;

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
Primero encontramos la solución de la homogénea, para 𝑑𝑥 2
+ 3 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 0.

Utilizando la ecuación auxiliar 𝑚2 + 3𝑚 + 2 = 0; (𝑚 + 2)(𝑚 + 1) = 0, 𝑚1 = −2, 𝑚2 = −1

entonces la solución es 𝑦𝐻 = 𝐶1 e−2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

Para la solución particular consideramos que 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 donde,