Module 3: Functies
Uitgebreide leeruitlegversie met grafieken
§1 Het functiebegrip
Een functie beschrijft een afhankelijkheid tussen twee grootheden. We hebben een on-
afhankelijke variabele (input) en een afhankelijke variabele (output).
Algemene notatie:
f : A → B : x 7→ f (x)
Lees: “f is een functie die elk element x uit A afbeeldt op een element f(x) in B.”
A heet het domein of definitiegebied, en B de doelverzameling.
• Als A ⊆ R, dan spreken we van een functie van één veranderlijke.
• Als A ⊆ Rn , dan hebben we een functie van n veranderlijken.
• Als B ⊆ R, dan is het een scalaire functie.
• Als B ⊆ Rm , dan is het een vectorfunctie.
Voorbeelden:
√
f : R+ → R : x 7→ x
Q : R+ × R+ → R+ : (K, L) 7→ K α Lβ (Cobb–Douglas productiefunctie)
f : R4 → R : (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ x21 + x2 x3
Lees: “De eerste functie neemt de wortel van x. De tweede functie koppelt productie
Q aan kapitaal K en arbeid L.”
√
f (x) = x
2
f (x)
1.5
1
0.5
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Interpretatie: De wortelfunctie stijgt traag: voor grote waarden van x verandert
f (x) steeds minder snel.
§2 Grafische voorstelling van functies
Een grafiek is de meetkundige voorstelling van een functie in het vlak of in de ruimte.
, Functie van één veranderlijke
graf(f ) = {(x, y) ∈ R2 | y = f (x)}
Lees: “de verzameling van alle punten waarvan de tweede coördinaat gelijk is aan de
functiewaarde van de eerste.”
f (x) = x2
4
f (x)
3
2
1
x
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
Interpretatie: De grafiek van f (x) = x2 is een parabool. Elke waarde x levert één
waarde y, dus dit is een goed gedefinieerde functie.
Functie van twee veranderlijken
Voor f : R2 → R krijgen we een oppervlak in R3 :
graf(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)}
f (x, y) = x2 + y 2
5
z
0
−2 2
0 0
x 2 −2 y
Interpretatie: Dit oppervlak is een paraboloı̈de — het stelt een komvormige krom-
ming voor.
Uitgebreide leeruitlegversie met grafieken
§1 Het functiebegrip
Een functie beschrijft een afhankelijkheid tussen twee grootheden. We hebben een on-
afhankelijke variabele (input) en een afhankelijke variabele (output).
Algemene notatie:
f : A → B : x 7→ f (x)
Lees: “f is een functie die elk element x uit A afbeeldt op een element f(x) in B.”
A heet het domein of definitiegebied, en B de doelverzameling.
• Als A ⊆ R, dan spreken we van een functie van één veranderlijke.
• Als A ⊆ Rn , dan hebben we een functie van n veranderlijken.
• Als B ⊆ R, dan is het een scalaire functie.
• Als B ⊆ Rm , dan is het een vectorfunctie.
Voorbeelden:
√
f : R+ → R : x 7→ x
Q : R+ × R+ → R+ : (K, L) 7→ K α Lβ (Cobb–Douglas productiefunctie)
f : R4 → R : (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ x21 + x2 x3
Lees: “De eerste functie neemt de wortel van x. De tweede functie koppelt productie
Q aan kapitaal K en arbeid L.”
√
f (x) = x
2
f (x)
1.5
1
0.5
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Interpretatie: De wortelfunctie stijgt traag: voor grote waarden van x verandert
f (x) steeds minder snel.
§2 Grafische voorstelling van functies
Een grafiek is de meetkundige voorstelling van een functie in het vlak of in de ruimte.
, Functie van één veranderlijke
graf(f ) = {(x, y) ∈ R2 | y = f (x)}
Lees: “de verzameling van alle punten waarvan de tweede coördinaat gelijk is aan de
functiewaarde van de eerste.”
f (x) = x2
4
f (x)
3
2
1
x
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
Interpretatie: De grafiek van f (x) = x2 is een parabool. Elke waarde x levert één
waarde y, dus dit is een goed gedefinieerde functie.
Functie van twee veranderlijken
Voor f : R2 → R krijgen we een oppervlak in R3 :
graf(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)}
f (x, y) = x2 + y 2
5
z
0
−2 2
0 0
x 2 −2 y
Interpretatie: Dit oppervlak is een paraboloı̈de — het stelt een komvormige krom-
ming voor.
