Examen de Revaluación Grado de Ingenierı́a Quı́mica
Álgebra Lineal Grado de Ingenierı́a de Materiales
29 de enero de 2021 Universidad de Barcelona
Lee atentamente las siguientes instrucciones:
• Los ejercicios deben hacerse con los datos que corresponden al propio NIUB en la hoja de
datos. No serán válidas las respuestas efectuadas con datos de un NIUB equivocado.
• El examen debe realizarse de forma individual. Tal y como se indica en el plan docente, el
examen se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario.
• Debes explicar el procedimiento que usas para resolver los problemas. Las respuestas en las
que únicamente conste el resultado final no serán válidas.
• Al finalizar, entrega un único documento pdf con fotos de tus hojas de resolución de los
problemas en la tarea correspondiente del campus virtual.
• Tiempo: de 12:00 a 15:00.
1. Considera los vectores v1 , v2 , v3 dados en la hoja de datos.
a) (0.5 puntos) Justifica que B = {v1 , v2 , v3 } es una base de R3 .
b) (1.5 puntos) Denotamos con Bcan a la base canónica de R3 . Calcula M (Bcan , B), la matriz
de cambio de base Bcan a base B, y utilı́zala para calcular las coordenadas del vector
(1, −2, 3) en la base B.
c) (1 punto) Consideramos la aplicación lineal f : R3 → R3 tal que f (v1 ), f (v2 ) y f (v3 ) son
los vectores dados en la hoja de datos. Calcula M (f, B, Bcan ), la matriz de f en las bases
B de salida y Bcan de llegada.
d) (1 punto) Di si f es inyectiva y si es exhaustiva. Justifica la respuesta.
e) (1 punto) Calcula M (f, Bcan ), la matriz de f en la base canónica de salida y de llegada.
2. Considera la matriz A de la hoja de datos.
a) (1 punto) Di para qué valores del parámetro real w la matriz A diagonaliza.
b) (1 punto) Para el caso particular en que w = 1, di si la matriz diagonaliza y, en el caso que
sea ası́, calcula una base de R3 formada por vectores propios de A.
c) (0.5 puntos) Todavı́a en el caso w = 1, ¿existe alguna base ortogonal de R3 formada por
vectores propios de A? En caso afirmativo, da un ejemplo, y en caso negativo justifica por
qué tal base no existe.
3. Considera el subespacio vectorial de R4 siguiente:
U = hu1 , u2 , u3 i,
donde los vectores u1 , u2 , u3 son los vectores que puedes encontrar en la hoja de datos.
a) (1 punto) Calcula una base ortogonal de U .
b) (0.5 puntos) Calcula una base ortonormal de U .
c) (1 punto) Consideramos el subespacio ortogonal a U . Recuerda que se define como
U ⊥ = {v ∈ R4 tales que v es ortogonal a todo vector de U }.
Calcula una base de U ⊥ .
Álgebra Lineal Grado de Ingenierı́a de Materiales
29 de enero de 2021 Universidad de Barcelona
Lee atentamente las siguientes instrucciones:
• Los ejercicios deben hacerse con los datos que corresponden al propio NIUB en la hoja de
datos. No serán válidas las respuestas efectuadas con datos de un NIUB equivocado.
• El examen debe realizarse de forma individual. Tal y como se indica en el plan docente, el
examen se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario.
• Debes explicar el procedimiento que usas para resolver los problemas. Las respuestas en las
que únicamente conste el resultado final no serán válidas.
• Al finalizar, entrega un único documento pdf con fotos de tus hojas de resolución de los
problemas en la tarea correspondiente del campus virtual.
• Tiempo: de 12:00 a 15:00.
1. Considera los vectores v1 , v2 , v3 dados en la hoja de datos.
a) (0.5 puntos) Justifica que B = {v1 , v2 , v3 } es una base de R3 .
b) (1.5 puntos) Denotamos con Bcan a la base canónica de R3 . Calcula M (Bcan , B), la matriz
de cambio de base Bcan a base B, y utilı́zala para calcular las coordenadas del vector
(1, −2, 3) en la base B.
c) (1 punto) Consideramos la aplicación lineal f : R3 → R3 tal que f (v1 ), f (v2 ) y f (v3 ) son
los vectores dados en la hoja de datos. Calcula M (f, B, Bcan ), la matriz de f en las bases
B de salida y Bcan de llegada.
d) (1 punto) Di si f es inyectiva y si es exhaustiva. Justifica la respuesta.
e) (1 punto) Calcula M (f, Bcan ), la matriz de f en la base canónica de salida y de llegada.
2. Considera la matriz A de la hoja de datos.
a) (1 punto) Di para qué valores del parámetro real w la matriz A diagonaliza.
b) (1 punto) Para el caso particular en que w = 1, di si la matriz diagonaliza y, en el caso que
sea ası́, calcula una base de R3 formada por vectores propios de A.
c) (0.5 puntos) Todavı́a en el caso w = 1, ¿existe alguna base ortogonal de R3 formada por
vectores propios de A? En caso afirmativo, da un ejemplo, y en caso negativo justifica por
qué tal base no existe.
3. Considera el subespacio vectorial de R4 siguiente:
U = hu1 , u2 , u3 i,
donde los vectores u1 , u2 , u3 son los vectores que puedes encontrar en la hoja de datos.
a) (1 punto) Calcula una base ortogonal de U .
b) (0.5 puntos) Calcula una base ortonormal de U .
c) (1 punto) Consideramos el subespacio ortogonal a U . Recuerda que se define como
U ⊥ = {v ∈ R4 tales que v es ortogonal a todo vector de U }.
Calcula una base de U ⊥ .
