Primer Control de Álgebra Lineal Grado de Ingeniería Química
Grupo T1 Grado de Ingeniería de Materiales
19 de octubre de 2020 Universidad de Barcelona
Instrucciones
El examen debe realizarse individualmente. Como se indica en el plan docente, el control
se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario en algún caso.
No basta con dar la solución escueta, hay que dar los cálculos intermedios y explicar el
procedimiento que se usa.
Al acabar debes escanear tus respuestas o fotografiarlas y subirlas a la tarea abierta en la
sección EXÁMENES del Campus Virtual.
Se debe hacer la entrega antes de las 18:00.
Es conveniente que tengas abierta la sesión de BB Collaborate de la clase de teoría. Si tienes
alguna pregunta puedes hacerla por el Chat.
Examen
1. (2 ptos) ¿Para qué valores de a, b el sistema de ecuaciones siguiente es compatible? ¿Para qué
valores es determinado?
x +2y −z −2u +3v = 1
u −v +2w = 1
2x +4y −2z −4u +7v −4w = a
−u +v −2w = b
3x +6y −3z −6u +7v +8w = 1
2. (2 puntos) Considera la matriz
α 1 0
A(α) = 3 α 1
0 1 α
a) ¿Para qué valores de α el determinante de A(α) es nulo?
b) ¿Para qué valores de α la matriz A(α) tiene rango 2?
c) Calcula det(A(1) × A(−1))
d) ¿Existe la inversa de A(1)? En caso afirmativo, calcula su determinante.
1 0 1 0
0 1 1 0
3. (2 ptos) Decide si la matriz A =
2
1 3 1
0 2 1 0
es invertible. Si lo es, calcula A−1 . Puedes usar el método de Gauss o bien determinantes y la
matriz adjunta.
, Primer Control de Álgebra Lineal Grado de Ingeniería Química
Grupo T1 Grado de Ingeniería de Materiales
19 de octubre de 2020 Universidad de Barcelona
4. ( 2 ptos) Determina el rango de las siguientes matrices y explica el resultado. Da detalles de
los cálculos.
2 1 6
−1 −1 −2 1 2 −4 1
A= y B = −3 −1 −3 1 . Calcula también el producto B × A
3 4 4
−2 1 −7 1
3 5 2
y su rango.
5. (2 ptos) Recuerda que las reglas básicas de Gauss son las dos siguientes: sumar una fila a otra
(regla S) y multiplicar una fila por un escalar λ 6= 0 (regla Mλ ).
a) Demuestra que el método de Gauss es reversible: si la matriz B se obtiene a partir de
A mediante una aplicación de la regla S, ¿con qué transformaciones puedes obtener A a
partir de B? y lo mismo para la regla Mλ , si la matriz C se obtiene de A mediante la
regla Mλ , ¿qué transformaciones tienes que hacer a C para obtener A?
y Mλ ) es posibleintercam-
b) Explica cómo usando sólo estas dos reglas básicas deGauss (S
0 1 1 0
biar dos filas. Aplícalo para pasar de la matriz A = a la matriz B =
1 0 0 1
Grupo T1 Grado de Ingeniería de Materiales
19 de octubre de 2020 Universidad de Barcelona
Instrucciones
El examen debe realizarse individualmente. Como se indica en el plan docente, el control
se podrá complementar con una entrevista si se considera necesario en algún caso.
No basta con dar la solución escueta, hay que dar los cálculos intermedios y explicar el
procedimiento que se usa.
Al acabar debes escanear tus respuestas o fotografiarlas y subirlas a la tarea abierta en la
sección EXÁMENES del Campus Virtual.
Se debe hacer la entrega antes de las 18:00.
Es conveniente que tengas abierta la sesión de BB Collaborate de la clase de teoría. Si tienes
alguna pregunta puedes hacerla por el Chat.
Examen
1. (2 ptos) ¿Para qué valores de a, b el sistema de ecuaciones siguiente es compatible? ¿Para qué
valores es determinado?
x +2y −z −2u +3v = 1
u −v +2w = 1
2x +4y −2z −4u +7v −4w = a
−u +v −2w = b
3x +6y −3z −6u +7v +8w = 1
2. (2 puntos) Considera la matriz
α 1 0
A(α) = 3 α 1
0 1 α
a) ¿Para qué valores de α el determinante de A(α) es nulo?
b) ¿Para qué valores de α la matriz A(α) tiene rango 2?
c) Calcula det(A(1) × A(−1))
d) ¿Existe la inversa de A(1)? En caso afirmativo, calcula su determinante.
1 0 1 0
0 1 1 0
3. (2 ptos) Decide si la matriz A =
2
1 3 1
0 2 1 0
es invertible. Si lo es, calcula A−1 . Puedes usar el método de Gauss o bien determinantes y la
matriz adjunta.
, Primer Control de Álgebra Lineal Grado de Ingeniería Química
Grupo T1 Grado de Ingeniería de Materiales
19 de octubre de 2020 Universidad de Barcelona
4. ( 2 ptos) Determina el rango de las siguientes matrices y explica el resultado. Da detalles de
los cálculos.
2 1 6
−1 −1 −2 1 2 −4 1
A= y B = −3 −1 −3 1 . Calcula también el producto B × A
3 4 4
−2 1 −7 1
3 5 2
y su rango.
5. (2 ptos) Recuerda que las reglas básicas de Gauss son las dos siguientes: sumar una fila a otra
(regla S) y multiplicar una fila por un escalar λ 6= 0 (regla Mλ ).
a) Demuestra que el método de Gauss es reversible: si la matriz B se obtiene a partir de
A mediante una aplicación de la regla S, ¿con qué transformaciones puedes obtener A a
partir de B? y lo mismo para la regla Mλ , si la matriz C se obtiene de A mediante la
regla Mλ , ¿qué transformaciones tienes que hacer a C para obtener A?
y Mλ ) es posibleintercam-
b) Explica cómo usando sólo estas dos reglas básicas deGauss (S
0 1 1 0
biar dos filas. Aplícalo para pasar de la matriz A = a la matriz B =
1 0 0 1
