lOMoARcPSD|58847208
, lOMoARcPSD|58847208
Table of Contents
pn pn
0. Communicating Mathematics pn
0.1 Learning Mathematics pn
0.2 What Others Have Said About Writing
pn pn pn pn pn
0.3 Mathematical Writing pn
0.4 Using Symbols pn
0.5 Writing Mathematical Expressions pn pn
0.6 Common Words and Phrases in Mathematics pn pn pn pn pn
0.7 Some Closing Comments About Writing
pn pn pn pn
1. Sets
1.1 Describing a Set pn pn
1.2 Subsets
1.3 Set Operations
pn
1.4 Indexed Collections of Sets pn pn pn
1.5 Partitions of Sets pn pn
1.6 Cartesian Products of Sets Exercises for Chapter 1
pn pn pn pn pn pn pn
2. Logic
2.1 Statements
2.2 Negations
2.3 Disjunctions and Conjunctions pn pn
2.4 Implications
2.5 More on Implications pn pn
2.6 Biconditionals
2.7 Tautologies and Contradictions pn pn
2.8 Logical Equivalence pn
2.9 Some Fundamental Properties of Logical Equivalence
pn pn pn pn pn
2.10 Quantified Statements pn
2.11 Characterizations Exercises for Chapter 2 pn pn pn pn
3. Direct Proof and Proof by Contrapositive
pn pn pn pn pn
3.1 Trivial and Vacuous Proofs pn pn pn
3.2 Direct Proofs pn
3.3 Proof by Contrapositive pn pn
3.4 Proof by Cases pn pn
3.5 Proof Evaluations pn
Exercises for Chapter
pn pn pn pn
3
4. More on Direct Proof and Proof by Contrapositive
pn pn pn pn pn pn pn
4.1 Proofs Involving Divisibility of Integers
pn pn pn pn
4.2 Proofs Involving Congruence of Integers
pn pn pn pn
4.3 Proofs Involving Real Numbers pn pn pn
4.4 Proofs Involving Sets pn pn
4.5 Fundamental Properties of Set Operations pn pn pn pn
4.6 Proofs Involving Cartesian Products of Sets Exercises for Chapter 4
pn pn pn pn pn pn pn pn pn
5. Existence and Proof by Contradiction
pn pn pn pn
5.1 Counterexamples
5.2 Proof by Contradiction pn pn
iv
5.3 A Review of Three Proof Techniques
pn pn pn pn pn
, lOMoARcPSD|58847208
5.4 Existence Proofs pn
5.5 Disproving Existence Statements Exercises for Chapter 5
pn pn pn pn pn pn
6. Mathematical Induction pn
6.1 The Principle of Mathematical Induction
pn pn pn pn
6.2 A More General Principle of Mathematical Induction
pn pn pn pn pn pn
6.3 The Strong Principle of Mathematical Induction
pn pn pn pn pn
6.4 Proof by Minimum Counterexample Exercises for Chapter 6
pn pn pn pn pn pn pn
7. Reviewing Proof Techniques
pn pn
7.1 Reviewing Direct Proof and Proof by Contrapositive
pn pn pn pn pn pn
7.2 Reviewing Proof by Contradiction and Existence Proofs
pn pn pn pn pn pn
7.3 Reviewing Induction Proofs pn pn
7.4 Reviewing Evaluations of Proposed Proofs Exercises for Chapter 7
pn pn pn pn pn pn pn pn
8. Prove or Disprove
pn pn
8.1 Conjectures in Mathematics pn pn
8.2 Revisiting Quantified Statements pn pn
8.3 Testing Statements Exercises for Chapter 8
pn pn pn pn pn
9. Equivalence Relations pn
9.1 Relations
9.2 Properties of Relations pn pn
9.3 Equivalence Relations pn
9.4 Properties of Equivalence Classes pn pn pn
9.5 Congruence Modulo n pn pn
9.6 The Integers Modulo n Exercises for Chapter 9
pn pn pn pn pn pn pn
10. Functions
10.1 The Definition of Function
pn pn pn
10.2 One-to-one and Onto Functions pn pn pn
10.3 Bijective Functions pn
10.4 Composition of Functions pn pn
10.5 Inverse Functions pn pn
Exercises for Chapter 10
pn pn pn
11. Cardinalities of Sets pn pn
11.1 Numerically Equivalent Sets pn pn
11.2 Denumerable Sets pn
11.3 Uncountable Sets pn
11.4 Comparing Cardinalities of Sets pn pn pn
11.5 The Schroder-Bernstein Theorem¨ Exercises for Chapter 11
pn pn pn pn pn pn
12. Proofs in Number Theory
pn pn pn
12.1 Divisibility Properties of Integers pn pn pn
12.2 The Division Algorithm
pn pn
12.3 Greatest Common Divisors pn pn
v
12.4 The Euclidean Algorithm
pn pn
12.5 Relatively Prime Integers pn pn
12.6 The Fundamental Theorem of Arithmetic
pn pn pn pn
12.7 Concepts Involving Sums of Divisors Exercises for Chapter 12
pn pn pn pn pn pn pn pn
, lOMoARcPSD|58847208
13. Proofs in Combinatorics
pn pn
13.1 The Multiplication and Addition Principles
pn pn pn pn
13.2 The Principle of Inclusion-Exclusion
pn pn pn
13.3 The Pigeonhole Principle
pn pn
13.4 Permutations and Combinations pn pn
13.5 The Pascal Triangle
pn pn
13.6 The Binomial Theorem
pn pn
13.7 Permutations and Combinations with Repetition Exercises for Chapter 13
pn pn pn pn pn pn pn pn
14. Proofs in Calculus
pn pn
14.1 Limits of Sequences pn pn
14.2 Infinite Series pn
14.3 Limits of Functions pn pn
14.4 Fundamental Properties of Limits of Functions pn pn pn pn pn
14.5 Continuity
14.6 Differentiability E pn
xercises for Chapter 14
pn pn pn
15. Proofs in Group Theory
pn pn pn
15.1 Binary Operations pn
15.2 Groups
15.3 Permutation Groups pn
15.4 Fundamental Properties of Groups pn pn pn
15.5 Subgroups
15.6 Isomorphic Groups Exercises for Chapter 15 pn pn pn pn pn
16. Proofs in Ring Theory (Online)
pn pn pn pn
16.1 Rings
16.2 Elementary Properties of Rings pn pn pn
16.3 Subrings
16.4 Integral Domains 16.5 Fields pn pn pn p
Exercises for Chapter 16
n pn pn pn
17. Proofs in Linear Algebra (Online)
pn pn pn pn
17.1 Properties of Vectors in 3-Space pn pn pn pn
17.2 Vector Spaces pn
17.3 Matrices
17.4 Some Properties of Vector Spaces
pn pn pn pn
17.5 Subspaces
17.6 Spans of Vectors pn pn
17.7 Linear Dependence and Independence
pn pn pn
17.8 Linear Transformations pn
17.9 Properties of Linear Transformations pn pn pn p
Exercises for Chapter 17
n pn pn pn
vi
18. Proofs with Real and Complex Numbers (Online)
pn pn pn pn pn pn
18.1 The Real Numbers as an Ordered Field
pn pn pn pn pn pn
18.2 The Real Numbers and the Completeness Axiom
pn pn pn pn pn pn
18.3 Open and Closed Sets of Real Numbers
pn pn pn pn pn pn
18.4 Compact Sets of Real Numbers pn pn pn pn
18.5 Complex Numbers pn
18.6 De Moivre’s Theorem and Euler’s Formula Exercises for Chapter 18
pn pn pn pn pn pn pn pn pn
, lOMoARcPSD|58847208
Table of Contents
pn pn
0. Communicating Mathematics pn
0.1 Learning Mathematics pn
0.2 What Others Have Said About Writing
pn pn pn pn pn
0.3 Mathematical Writing pn
0.4 Using Symbols pn
0.5 Writing Mathematical Expressions pn pn
0.6 Common Words and Phrases in Mathematics pn pn pn pn pn
0.7 Some Closing Comments About Writing
pn pn pn pn
1. Sets
1.1 Describing a Set pn pn
1.2 Subsets
1.3 Set Operations
pn
1.4 Indexed Collections of Sets pn pn pn
1.5 Partitions of Sets pn pn
1.6 Cartesian Products of Sets Exercises for Chapter 1
pn pn pn pn pn pn pn
2. Logic
2.1 Statements
2.2 Negations
2.3 Disjunctions and Conjunctions pn pn
2.4 Implications
2.5 More on Implications pn pn
2.6 Biconditionals
2.7 Tautologies and Contradictions pn pn
2.8 Logical Equivalence pn
2.9 Some Fundamental Properties of Logical Equivalence
pn pn pn pn pn
2.10 Quantified Statements pn
2.11 Characterizations Exercises for Chapter 2 pn pn pn pn
3. Direct Proof and Proof by Contrapositive
pn pn pn pn pn
3.1 Trivial and Vacuous Proofs pn pn pn
3.2 Direct Proofs pn
3.3 Proof by Contrapositive pn pn
3.4 Proof by Cases pn pn
3.5 Proof Evaluations pn
Exercises for Chapter
pn pn pn pn
3
4. More on Direct Proof and Proof by Contrapositive
pn pn pn pn pn pn pn
4.1 Proofs Involving Divisibility of Integers
pn pn pn pn
4.2 Proofs Involving Congruence of Integers
pn pn pn pn
4.3 Proofs Involving Real Numbers pn pn pn
4.4 Proofs Involving Sets pn pn
4.5 Fundamental Properties of Set Operations pn pn pn pn
4.6 Proofs Involving Cartesian Products of Sets Exercises for Chapter 4
pn pn pn pn pn pn pn pn pn
5. Existence and Proof by Contradiction
pn pn pn pn
5.1 Counterexamples
5.2 Proof by Contradiction pn pn
iv
5.3 A Review of Three Proof Techniques
pn pn pn pn pn
, lOMoARcPSD|58847208
5.4 Existence Proofs pn
5.5 Disproving Existence Statements Exercises for Chapter 5
pn pn pn pn pn pn
6. Mathematical Induction pn
6.1 The Principle of Mathematical Induction
pn pn pn pn
6.2 A More General Principle of Mathematical Induction
pn pn pn pn pn pn
6.3 The Strong Principle of Mathematical Induction
pn pn pn pn pn
6.4 Proof by Minimum Counterexample Exercises for Chapter 6
pn pn pn pn pn pn pn
7. Reviewing Proof Techniques
pn pn
7.1 Reviewing Direct Proof and Proof by Contrapositive
pn pn pn pn pn pn
7.2 Reviewing Proof by Contradiction and Existence Proofs
pn pn pn pn pn pn
7.3 Reviewing Induction Proofs pn pn
7.4 Reviewing Evaluations of Proposed Proofs Exercises for Chapter 7
pn pn pn pn pn pn pn pn
8. Prove or Disprove
pn pn
8.1 Conjectures in Mathematics pn pn
8.2 Revisiting Quantified Statements pn pn
8.3 Testing Statements Exercises for Chapter 8
pn pn pn pn pn
9. Equivalence Relations pn
9.1 Relations
9.2 Properties of Relations pn pn
9.3 Equivalence Relations pn
9.4 Properties of Equivalence Classes pn pn pn
9.5 Congruence Modulo n pn pn
9.6 The Integers Modulo n Exercises for Chapter 9
pn pn pn pn pn pn pn
10. Functions
10.1 The Definition of Function
pn pn pn
10.2 One-to-one and Onto Functions pn pn pn
10.3 Bijective Functions pn
10.4 Composition of Functions pn pn
10.5 Inverse Functions pn pn
Exercises for Chapter 10
pn pn pn
11. Cardinalities of Sets pn pn
11.1 Numerically Equivalent Sets pn pn
11.2 Denumerable Sets pn
11.3 Uncountable Sets pn
11.4 Comparing Cardinalities of Sets pn pn pn
11.5 The Schroder-Bernstein Theorem¨ Exercises for Chapter 11
pn pn pn pn pn pn
12. Proofs in Number Theory
pn pn pn
12.1 Divisibility Properties of Integers pn pn pn
12.2 The Division Algorithm
pn pn
12.3 Greatest Common Divisors pn pn
v
12.4 The Euclidean Algorithm
pn pn
12.5 Relatively Prime Integers pn pn
12.6 The Fundamental Theorem of Arithmetic
pn pn pn pn
12.7 Concepts Involving Sums of Divisors Exercises for Chapter 12
pn pn pn pn pn pn pn pn
, lOMoARcPSD|58847208
13. Proofs in Combinatorics
pn pn
13.1 The Multiplication and Addition Principles
pn pn pn pn
13.2 The Principle of Inclusion-Exclusion
pn pn pn
13.3 The Pigeonhole Principle
pn pn
13.4 Permutations and Combinations pn pn
13.5 The Pascal Triangle
pn pn
13.6 The Binomial Theorem
pn pn
13.7 Permutations and Combinations with Repetition Exercises for Chapter 13
pn pn pn pn pn pn pn pn
14. Proofs in Calculus
pn pn
14.1 Limits of Sequences pn pn
14.2 Infinite Series pn
14.3 Limits of Functions pn pn
14.4 Fundamental Properties of Limits of Functions pn pn pn pn pn
14.5 Continuity
14.6 Differentiability E pn
xercises for Chapter 14
pn pn pn
15. Proofs in Group Theory
pn pn pn
15.1 Binary Operations pn
15.2 Groups
15.3 Permutation Groups pn
15.4 Fundamental Properties of Groups pn pn pn
15.5 Subgroups
15.6 Isomorphic Groups Exercises for Chapter 15 pn pn pn pn pn
16. Proofs in Ring Theory (Online)
pn pn pn pn
16.1 Rings
16.2 Elementary Properties of Rings pn pn pn
16.3 Subrings
16.4 Integral Domains 16.5 Fields pn pn pn p
Exercises for Chapter 16
n pn pn pn
17. Proofs in Linear Algebra (Online)
pn pn pn pn
17.1 Properties of Vectors in 3-Space pn pn pn pn
17.2 Vector Spaces pn
17.3 Matrices
17.4 Some Properties of Vector Spaces
pn pn pn pn
17.5 Subspaces
17.6 Spans of Vectors pn pn
17.7 Linear Dependence and Independence
pn pn pn
17.8 Linear Transformations pn
17.9 Properties of Linear Transformations pn pn pn p
Exercises for Chapter 17
n pn pn pn
vi
18. Proofs with Real and Complex Numbers (Online)
pn pn pn pn pn pn
18.1 The Real Numbers as an Ordered Field
pn pn pn pn pn pn
18.2 The Real Numbers and the Completeness Axiom
pn pn pn pn pn pn
18.3 Open and Closed Sets of Real Numbers
pn pn pn pn pn pn
18.4 Compact Sets of Real Numbers pn pn pn pn
18.5 Complex Numbers pn
18.6 De Moivre’s Theorem and Euler’s Formula Exercises for Chapter 18
pn pn pn pn pn pn pn pn pn
