Applied Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems (5th Edition) by Richard Haberman – Complete Solutions Manual for All Chapters

Chapter @ y z 1. @ y z Heat @ y z Equation
Section @ y z 1.2
1.2.9 @ y z (d) @ y z Circular @yzcross @yzsection @yzmeans @yzthat @yzP @ y z = @yz2πr, @yzA @yz= @yzπr2, @yzand @yzthus
@yzP/A @yz= @yz2/r, @yz where @yz r @yzis @yzthe @yzradius. @yzAlso @yz γ @yz= @yz0.


1.2.9 @ y z (e) @ y z u(x, @yzt) @yz= @yzu(t) @yzimplies @yzthat
du 2h
cρ @ y z = @yz— @ y z
u @yz.
dt @ y z r @yz
The @yzsolution @yzof @yzthis @yzfirst-order @yzlinear @yzdifferential @yzequation @yzwith @yzconstant @yzcoefficients,
@yzwhich @yzsatisfies @yzthe @yzinitial @yzcondition @yzu(0) @yz= @yzu0, @yzis
· @yz2h ¸
u(t) @yz= @yzu0 exp —@yz
t
@ y z .
@yzcρr




Section @ y z 1.3
1.3.2 ∂u/∂x @ y z is @ y z continuous @ y z if @ y z K0(x0—) @y z = @yz K0(x0+), @ y z that @ y z is, @ y z if @ y z the @ y z conductivity @ y z is
@ y z continuous.




Section @ y z 1.4
1.4.1 (a) @ y zEquilibrium @ y z satisfies @ y z (1.4.14), @ y z d2u/dx2 @ y z = @ y z 0, @ y z whose @ y z general
@ y z solution @ y z is @ y z (1.4.17), @ y z u @ y z = @ y z c1 @ y z + @yzc2x. @ y z The @yzboundary @yzcondition @yz u(0) @yz=

@yz0 @yzimplies @yzc 1 @yz= @yz0 @yzand @yz u(L) @yz= @yzT @ y z implies @yzc 2 @yz= @yzT@yz/L @yzso @yzthat @yz u @yz= @yzT

@yzx/L.


1.4.1 (d) @ y z Equilibrium @ y z satisfies @ y z (1.4.14), @ y z d2u/dx2 @ y z = @ y z 0, @ y z whose @ y z general
@ y z solution @ y z (1.4.17), @ y z u @ y z = @ y z c1 @ y z + @ y z c2x. @ y z From @yzthe @ y z boundary @ y z conditions,

@ y z u(0) @yz = @yzT @ y z yields @ y z T @ y z = @yzc 1 @ y z and @ y z du/dx(L) @yz = @yz α @ y z yields @ y z α @yz= @yzc 2. @ y z Thus

@ y z u @yz= @yz T @ y z + @yzαx.


1.4.1 (f) @ y z In @yzequilibrium, @yz(1.2.9) @yzbecomes @yzd2u/dx2 @yz= @yz—Q/K0 @yz= @yz—x2 @yz, @yzwhose @yzgeneral
@yzsolution @yz(by @yzintegrating @yztwice) @yzis @yzu @yz= @yz—x /12 @yz+ @yzc 1 @yz+ @yzc 2x. @ y z The @yzboundary
4

@yzcondition @yz u(0) @yz= @yzT @ y z yields @yzc 1 @yz= @yzT @yz, @yzwhile @yz du/dx(L) @yz= @yz0 @yzyields @ y z c2 @ y z =

@ y z L /3. @ y z Thus @ y z u @ y z = @ y z —x /12 @yz + @yz L x/3 @yz + @yzT @yz.
3 4 3


1.4.1 (h) @ y z Equilibrium @yz satisfies @yz d2u/dx2 @ y z = @yz 0. @ y z One @yz integration @yz yields @yz du/dx @yz =
@yz c 2, @yz the @yz second @yz integration @yzyields @yzthe @yzgeneral @yzsolution @yz u @yz= @yzc1 @yz+ @yzc 2x.


x @yz = @yz 0 @yz—: @ y —
z @ y z c2 (c1 T@yz) @ y z = @ y z 0
x @yz= @yzL @yz: @ y z @ y z c2 @yz= @yzα @ y z and @ y z thus @ y z c1 @yz= @yzT @yz + @yzα.
Therefore, @ y z u @yz= @yz (T @ y z + @yzα) @yz+ @yzαx @yz= @yz T @ y z + @yzα(x @yz+ @yz1).
1.4.7 @ y z (a) @ y z For @ y z equilibrium:
d2 u @ y z x2 du
=
—1 @ y z implies @ y z u @yz= @yz — @ y z + @yzc1x @yz+ @yzc2 @ y z and @ y z = @yz —x @yz+ @yzc1.
dx2 2 @ y z dx @ y z
From @yzthe @yzboundary @ yz conditions dx
@yz
du
@yz(0) @yz= @yz1 @ y z and @ y z
dx
du
@yz(L) @yz= @yzβ, @yzc1 @yz= @yz1 @ yz and @ y z —L

@yz+ @yzc1 @yz= @yzβ @ y z which @ y z is @ y z consistent
2


only @ y z if @ y z β @yz+ @yzL @yz —= @yz1. @ y z If @ y z β @ y z = @yz1 @ y z @—y 2z L, @ y z there @ y z /is @— y z an

@ y z equilibrium @ y z solution @ y z (u @yz= @ y z @ y z @ y z @ y z + @yzx @yz+ @yzc2). @ y z If @ y z β @ y z = @yz1 @ y z
x

@ y z L, @yzthere @yzisn’t @yzan @yzequilibrium @yzsolution. @ y z The @yzdifficulty @yzis @yzcaused @yzby @yzthe

@yzheat @yzflow @yzbeing @yzspecified @yzat @yzboth @yzends @yzand @yza @yzsource @yzspecified @yzinside. @ y z An
/
@yzequilibrium @yzwill @yzexist @yzonly @yzif @yzthese @yzthree @yzare @yzin @yzbalance. @ y z This @yzbalance @yzcan

@yzbe @yzmathematically @yzverified @yzfrom @yzconservation @yzof @yzenergy:



1

, ∫ @yzL ∫ @yzL
@yz d @yz du du
cρu @ y z dx @yz= @yz—@yz (0) Q0 @yz dx @yz= @yz—1
dt 0 dx@yz 0 @yz+ @yzβ @yz+ @yzL.
@yz+ @ y z (L) @yz+
If @yzβ @yz+ @yzL @yz= @yz1, @yzthen @yzthe @yz dxtotal
@yz @yz thermal @yz energy @yz is @yzconstant @yz and @yz the @yzinitial @yz energy

@yz= @yzthe @yzfinal @yz energy:

∫ @yzL ∫ @yzL@yzµ @ y z @ y z 2 ¶
x
f@yz(x) — @yz dx, which @yz determines
0 @yzdx @yz= 0 2
@ y z @ y z c2.
+ @yzx
If @ yz β @yz+ @yzL @yz= @yz1, @ y z then @ y z the @ y@z total
y z
@ y z thermal @ y z energy @ y z is @ y z always @ y z changing @ y z in
@yz+ @yzc2
@ y z time @ y z and @ y z an @ y z equilibrium @ y z is @ y z never @yzreached.




2

, Section 1.5
¡ ¢
1.5.9 (a) In equilibrium, (1.5.14) using (1.5.19) becomes d rdu = 0. Integrating once yields rdu/dr = c1
dr dr
and integrating a second time (after dividing by r) yields u = c1 ln r + c2. An alternate general solution
is u = c1 ln(r/r1) + c3. The boundary condition u(r1) = T1 yields c3 = T1, while u(r2) = T2 yields
c1 = (T2 — T1)/ ln(r2/r1). Thus, u = ln(r21/r1) [(T2 — T1) ln r/r1 + T1 ln(r2/r1)].

1.5.11 For equilibrium, the radial flow at r = a, 2πaβ, must equal the radial flow at r = b, 2πb. Thus β = b/a.
¡ ¢
1.5.13 From exercise 1.5.12, in equilibrium d r2 du = 0. Integrating once yields r2du/dr = c1 and integrat-
dr dr
ing a second time (after dividing by r2 ) yields u = —c1/r + c2. The boundary condition¡s u(4)¢ = 80
and u(1) = 0 yields 80 = —c1/4 + c2 and 0 = —c1 + c2. Thus c1 = c2 = 320/3 or u = 3203 1 — 1r .




3

, Chapter @yz 2. @ y z Method @yz of @yz Separation @yz of @yz Variables
Section @ y z 2.3 ³ ´
2.3.1 @ y z (a) @ y z u(r, @yzt) @yz= @yzφ(r)h(t) @ry z@yieldsy z dr
dh
@ y z φ@yz @yz= @yz
kh
@ y z @yz @yz r@yz @yz . @ y z Dividing @ y z by
d dφ
kh @ y z dt rφ @yzdr dr
dt
dh @ y z
= @yz—λkh @ y z and @ y z 1 @ y z d dr
³ ´ @yz
@ y z kφh @ y z yields @yz= @yz = @yz—λ @ y z or
1 dh 1 d dφ
dt ³ @´y @yz
z @yz
r @ y z dr @ y z @yz @yz r @yz @yz
@yz


dφ
@yz @yz r@yz @yz =@
@yz —λφ.
y
z dr
2 2
d φ @yz
2.3.1 (c) @yz @yz u(x, @yzy) @ y z = @2yφz φ(x)h(y) @ y z yields 2@yzh + @yz φd h @ y z
= @ y z 0. @ y z @yz Dividing @yz by
@ y z φh @ y z yields @ y z = @ y z — @yz = @ y z —λ @ y z or
1 d @ y z 1 @yzd h @ y z
@yz
dx2 dy2 φ @yzdx2 h @ y z dy2
d2 φ
dx2
@yz
= @yz—λφdy@yz2 and
2
@yz
d h @yz
= @yzλh.
4
φ @yz
2.3.1 (e) @yz u(x,@yzt) @yz= @yz
4 φ(x)h(t) @yzyields @yzφ(x)@yz
dh
@ yz = @yzkh(t)@yz
d
. @ y z Dividing @yzby @yzkφh, @yzyields @ y z
1 d φ @yz
@yz = @ y z @yz = @yzλ.
1
@yz dh
@yz
dt dx4 kh @yz dt φ @yzdx4
2 2
φ @yz
2.3.1 (f) @yz u(x,@yzt) @yz= @yzφ(x)h(t) @yzyields
dt2
d
@yzφ(x)@yz2
dx
h @yz
= @yzc2h(t)@yzd . @ y z Dividing
c2 h
@yzby @yzc φh, @yzyields
φ
2
2 2
@ y z
1
@ y z
d h @yz
= @ y z 1 @yzd φ @yz
= @yz—λ. @yz dt2 @yzdx
2


2.3.2 (b) @ y z λ @yz= @yz(nπ/L)2 @ y z
with @yz L @yz= @yz1 @ y z so @ y z that @ y z λ @yz= @yzn2π2, @ y z n @yz= @yz1, @yz2, @yz. @yz. @yz.
2.3.2 (d)
√ √
(i) If @ y z λ @ y z > @ y z 0, @yzφ @ y z = @ y z c1 @yzcos @yz λx @yz+ @yzc2 @yzsin @yz λx.
@ y z φ(0) @ y z = @ y z 0

√
@ y z implies @ y z c1 @ y z = @ y z 0, @ y z while @ y z
dφ
@yz(L) @ y z = @ y z 0 @ y z implies

√ √ dx
c2 λ λL @ y z = @ y z 0. λL @yz= @yz—π/2 @yz+ @yznπ(n @yz= @yz1,@yz2, @yz. @yz. @yz.).
@yzco
@ y z Thus
s
(ii) If @yzλ @yz= @yz0, @yzφ @yz= @yzc1 @yz+ @yzc2x. @ y z φ(0) @yz= @yz0 @yzimplies @yzc1 @yz= @yz0 @yzand @yzdφ/dx(L) @yz=
@yz0 @yzimplies @yzc 2 @yz= @yz0. @ y z Therefore @yzλ @yz= @yz0 @yzis @yznot @yzan @yz eigenvalue.
√ √
(iii) If λ @yz 0,
< @yzlet
λ = —s@yand φ = c1 cosh @yzsx @c2y z + sx. @ ysinh
zφ @yz c1 (0) @yz= @yz 0 @yzimplies
dφ/dx
√ √
z

@yzL = @yz0 @yzand ( @ y z ) @yz= @yz0 @yzimplies @yzc2 s @yzcosh @yz sL @yz= @yz0. @ y z Thus @yzc2 @yz= @yz0
@yzand @yzhence @yzthere @yzare @yzno @yzeigenvalues @yzwith @yzλ @yz< @yz0.


2.3.2 (f) @ y z The @yzsimpliest @yzmethod @yzis @yzto @yzlet @yzx′ @yz= @yzx@yz—@yza. @ y z Then @yzd2φ/dx′2 @yz+@yzλφ @yz= @yz0
@yzwith @yzφ(0) @yz= @yz0 @yzand @yzφ(b@yz— @yza) @yz= @yz0. @yzThus @ yz (from @ y z p. @ y z 46) @yzL @yz= @yzb @yz— @yza

@ y z and @yzλ @yz= @yz[nπ/(b @yz— @yza)] @yz, @ y z n @yz= @yz1, @yz2, @yz. @yz. @yz..
2

Σ ∞ 2
2.3.3 From @yz(2.3.30), @yzu(x,@yzt) @yz= @yz n =1 @yzBn @yzsin @yznπx@yze—k(nπ/L) t. @ y z The @yz initial @yz condition @yz yields
Σ∞ @ y z @ y z L ∫ @yzL @yz
2 @yzcosL@yz3πx @yzn=1
= @yz n L
B @ y z sin @yznπxn@yz. @Lyz From
0
@yz (2.3.35), @yzB @ y z = @yz
L L
2
@yz 2 @yzcos @y
z




@yz
3πx
@yz sin @yznπx @ y z dx.
∫@yzL @yz Σ∞ @ y z @ y z
2.3.4 (a) @ y z @yz Total @yz heat @yz energy @ y z = @yz y z dx @ y z = @ y z cρA @yz
cρuA @ nπ B @ y z e—k(
y z) @ yz
@ t
2
@yz1—cos @yznπ @yz
, @ y z using @ y z (2.3.30)
@yz where @ y z B
n L nπ n
0 n=1 @ y z @ y z
L
satisfies @ y z (2.3.35).
2.3.4 @ y z(b)
heat @ y z flux @ y z to @ y z right @ y z = @yz —K0∂u/∂x
total @ y z heat @ y z flow @ y z to @ y z right¯ @ y z = @ y z —K0A∂u/∂x
∂u ¯
heat @ y z flow @ y z out @ y z at @ y z x ∂x @yz = @yz 0 @yz = @ y z K0A
¯ @yz
@ y z¯x=0
heat @ y z flow x = L) —K0A ∂u
@ y z out @ y z ( @yz=
∂x
∫ @yzL d @yz∫ @yzL @yzu @yzdx @yz= @yzk ∂u @yz¯
L @yz
z= @yz0
@ y z x=
2.3.4 @ y z (c) @ y z From @yzconservationL@yzt@of@y @yzthermal @yzenergy, @ y z
y z yields
=
dt @ yz @ yz 0
@yzk ∂ u @yz(L) @yz— @yzk ∂u @yz(0). @yzIntegrating @yzfrom 4