Chapter 1. Heat Equation
Section 1.2
1.2.9 (d) Circular cross section means that P = 2πr, A = πr2, and thus P/A = 2/r, where r is the radius.
Also γ = 0.
1.2.9 (e) u(x, t) = u(t) implies that
du 2h
cρ =— u.
dt r
The solution of this first-order linear differential equation with constant coefficients, which satisfies the
initial condition u(0) = u0, is
· 2h ¸
u(t) = u0 exp — t .
cρr
Section 1.3
1.3.2 ∂u/∂x is continuous if K0(x0—) = K0(x0+), that is, if the conductivity is continuous.
Section 1.4
1.4.1 (a) Equilibrium satisfies (1.4.14), d2u/dx2 = 0, whose general solution is (1.4.17), u = c1 + c2x. The
boundary condition u(0) = 0 implies c1 = 0 and u(L) = T implies c2 = T /L so that u = T x/L.
1.4.1 (d) Equilibrium satisfies (1.4.14), d2u/dx2 = 0, whose general solution (1.4.17), u = c1 + c2x. From
the boundary conditions, u(0) = T yields T = c1 and du/dx(L) = α yields α = c2. Thus u = T + αx.
1.4.1 (f) In equilibrium, (1.2.9) becomes d2u/dx2 = —Q/K0 = —x2 , whose general solution (by integrating
twice) is u = —x4/12 + c1 + c2x. The boundary condition u(0) = T yields c1 = T , while du/dx(L) = 0
yields c2 = L3/3. Thus u = —x4/12 + L3x/3 + T .
1.4.1 (h) Equilibrium satisfies d2u/dx2 = 0. One integration yields du/dx = c2, the second integration
yields the general solution u = c1 + c2x.
x = 0 : c2 — (c1 — T ) = 0
x = L : c2 = α and thus c1 = T + α.
Therefore, u = (T + α) + αx = T + α(x + 1).
1.4.7 (a) For equilibrium:
d2u x2 du
= —1 implies u = — + c1x + c2 and = —x + c1.
dx2 2 dx
From the boundary conditions dx du
(0) = 1 and dx
du
(L) = β, c1 = 1 and —L + c1 = β which is consistent
2
only if β + L = 1. If β = 1 — L, there is an equilibrium solution (u =— 2x + x + c2). If β /= 1— L,
there isn’t an equilibrium solution. The difficulty is caused by the heat flow being specified at both
ends and a source specified inside. An equilibrium will exist only if these three are in balance. This
balance can be mathematically verified from conservation of energy:
∫ ∫ L
d L du du
cρu dx = — (0) + (L) + Q0 dx = —1 + β + L.
dt 0 dx dx 0
If β + L = 1, then the total thermal energy is constant and the initial energy = the final energy:
∫L ∫ Lµ 2 ¶
x
f (x) dx = — + x + c2 dx, which determines c2.
0 0 2
If β + L = 1, then the total thermal energy is always changing in time and an equilibrium is never
reached.
1
, Section # y g 1.5
¡ ¢ #yg
1.5.9 # y g (a) # y g In # y g equilibrium, # y g (1.5.14) # y g using # y g (1.5.19) # y g becomes # y g #yg d
#yg # y g rdu#yg = # y g 0.
dr dr
# y g Integrating # y g once # y g yields # y g rdu/dr # y g = # y g c1
and #yg integrating # y g a # y g second # y g time # y g (after # y g dividing # y g by # y g r) # y g yields # y g u # y g = # y g c1 #ygln #ygr #yg+
#ygc2. # y g An # y g alternate # y g general # y g solution #ygis # y g u # y g = # y g c1 #ygln(r/r1) #yg+ #ygc 3. # y g The
# y g boundary # y g condition # y g u(r1) # y g = # y g T1 # y g yields # y g c3 # y g = # y g T1, # y g while # y g u(r2) # y g = # y g T2
ln(r2/r1)
# y g yields #ygc1 # y g = # y g (T2 # y g — #yg T1)/ #ygln(r2/r1). # y g Thus, # y g u # y g = # y g
1
# y g # y g # y g # y g
#yg[(T2 # y g — #yg T1) #ygln #ygr/r1 # y g + #ygT1 #ygln(r2/r1)].
1.5.11 # y g For # y g equilibrium, # y g the # y g radial # y g flow # y g at # y g r # y g = # y g a, # y g 2πaβ, # y g must # y g equal # y g the # y g radial # y g flow
# y g at # y g r # y g = # y g b, # y g 2πb. # y g Thus # y g β # y g = # y g b/a.
¡ ¢ #yg
1.5.13 # y g From # y g exercise # y g 1.5.12, # y g in # y g equilibrium # y g d #yg # y g r2 #ygdu#yg = # y g 0. # y g Integrating # y g once
#yg
dr dr
#yg yields # y g r2du/dr # y g = # y g c1 # y g and # y g integrat-
ing #yga #yg second #yg time #yg (after #yg dividing #yg by #ygr2 #yg ) #yg yields #yg u #yg= #yg—c1/r #yg+ #ygc2. # y g The #yg boundary
and
#yg condition ¡ = #u(4)
# y g u(1) # ysg#yg y g 0 # y=
¢#ygg yields
#yg80 # y g 80 # y g = # y g —c1/4 #yg + #yg c2 # y g and # y g 0 # y g = # y g —c1 # y g + 1 #yg— .
1
#ygc 2. # y g Thus # y g c1 # y g = # y g c2 # y g = # y g 320/3 # y g or # y g u #y g = # y g
320 #yg
3 r
2
,Chapter 2. #yg # y g Method of #yg #yg Separation of #yg #yg Variables
Section # y g 2.3 ³ ´
2.3.1 # y g (a) # y g u(r, #ygt) #yg= #ygφ(r)h(t) # y gryields # y g dr
# y g φ#yg
dh
#yg= #yg
kh
# y g #yg #yg r #yg #yg . # y g Dividing # y g by
d dφ
kh # y g dt rφ #ygdr dr
dt
dh # y g
= #yg—λkh # y g and # y g 1 # y g d #yg ³dr ´ #yg
dt g yields #yg= #yg = #yg—λ # y g or
1 dh 1 d dφ
# y g kφh # y³ ´ #yg
#yg #yg
#yg #yg r #yg #yg
#y g
r# y g dr # y g
dφ
#yg r#yg #yg = #yg—λφ.
#yg
dr
2 2
d φ #yg
2.3.1 (c) #yg #yg u(x, #ygy) # y g = # 2yφg φ(x)h(y) # y g yields2 # y g h + #yg φd h # y g
= # y g 0. # y g #yg Dividing #yg by
# y g φh # y g yields # y g = # y g — #yg = # y g —λ # y g or
1 d # y g 1 #ygd h # y g
#yg
dx2 dy2 φ #ygdx2 h # y g dy2
d2φ
dx2
#yg
= #yg—λφdy 2 and
#yg
2
#yg
d h #yg
= #ygλh.
4
φ #yg
2.3.1 (e) #yg 4 = #ygφ(x)h(t) #ygyields #ygφ(x)#yg
u(x, #ygt) #yg dh
#yg = #ygkh(t)#yg
d
. # y g Dividing #ygby #ygkφh, #ygyields # y g #yg 1
1 d φ #yg
#yg = # y g #yg = #ygλ.
dh
#yg
dt dx4 kh #yg dt φ #ygdx4
2 2
φ #yg
2.3.1 (f) #yg u(x, #ygt) #yg= #ygφ(x)h(t) #ygyields d h #yg
dt2 #ygφ(x)#yg dx2
= #ygc2h(t)#ygd . # y g Dividing
c2h #ygby #yg
φ c φh, #ygyields
2
# y g
1
2 2
# y g
d h #yg
= # y g 1 #ygd φ # y g = #yg—λ. #yg dt2 #ygdx2
2.3.2 (b) # y g λ #yg= #yg(nπ/L)2 # y g
with #yg L #yg= #yg1 # y g so # y g that # y g λ #yg= #ygn2π2, # y g n #yg= #yg1, #yg2, #yg. #yg. #yg.
2.3.2 (d)
√ √
(i) If # y g λ # y g > # y g 0, #ygφ
= # y g c1 #ygcos #yg λx #yg+ #ygc2 #ygsin #yg λx. # y g φ(0)
# y g # y g = # y g 0 # y g implies
√
# y g c1 # y g = # y g 0, # y g while # y g
dφ
#yg(L) # y g = # y g 0 # y g implies
√ √ dx
c2 λ λL # y g = # y g 0. λL #yg= #yg—π/2 #yg+ #ygnπ(n #yg= #yg1, #yg2, #yg. #yg. #yg.).
#ygcos
# y g Thus
(ii) If #ygλ #yg= #yg0,#ygφ #yg= #ygc1 #yg+ #ygc2x. # y g φ(0) #yg= #yg0 #ygimplies #ygc1 #yg= #yg0 #ygand #ygdφ/dx(L) #yg= #yg0
#ygimplies #ygc 2 #yg= #yg0. # y g Therefore #ygλ #yg= #yg0 #ygis #ygnot #ygan #ygeigenvalue.
√ √
(iii) If λ #yg <0, #ygletλ = —s#ygand φ = c1 cosh #ygsx #cy2g + sx. # y gsinh
φ #yg c1 (0) #yg= #ygdφ/dx
0 #ygimplies
√ √
#ygL = #yg0 #ygand ( # y g ) #yg= #yg0 #ygimplies #ygc2 s#ygcosh #yg sL #yg= #yg0. # y g Thus #ygc2 #yg= #yg0
#ygand #yghence #ygthere #ygare #ygno #ygeigenvalues #yg with #ygλ #yg< #yg0.
2.3.2 (f) # y g The #ygsimpliest #ygmethod #ygis #ygto #yglet #ygx′ #yg= #ygx#yg—#yga. # y g Then #ygd2φ/dx′2 #yg+#ygλφ #yg= #yg0
#ygwith #ygφ(0) #yg= #yg0 #ygand #ygφ(b #yg— #yga) #yg= #yg0. #yg Thus #yg (from # y g p. # y g 46) #yg L #yg= #ygb #yg— #yga # y g and
#yg λ #yg= #yg[nπ/(b #yg— #yga)] #yg, # y g n #yg= #yg1, #yg2, #yg. #yg. #yg..
2
Σ ∞ 2
2.3.3 From #yg(2.3.30), #ygu(x,#ygt) #yg= #yg n =1 #ygBn #ygsin #ygnπx#yge—k(nπ/L) t. # y g The #yg initial #yg condition #yg yields
Σ∞ # y g # y g L ∫ #ygL #yg
2 #ygcosL#yg3πx #yg= #yg
n=1 n L
B # y g sin #ygnπx#yg. n# yg From L 0
#yg (2.3.35), #ygB # y g = #yg #yg
L L
2
2 #ygcos #yg3πx #ygsin #yg
nπx
#yg #yg dx.
∫ #ygL #yg Σ∞
e—k( )
#yg #yg
2.3.4 (a) # y g Total # y g heat # y g energy # y g = # y g
#yg nπ # y g =
cρuA # y g dx #yg cρA #yg B #yg
# y
# y g t #yg1—cos #ygnπ #yg
, # y g using # y g (2.3.30) # y g where # y g B g 2
n L nπ n
0 n=1 # y g # y g
L
satisfies # y g (2.3.35).
2.3.4 # y g (b)
heat # y g flux # y g to # y g right # y g = #yg —K0∂u/∂x
total # y g heat # y g flow # y g to # y g right #¯ y g = # y g —K0A∂u/∂x
heat # y g flow # y g out # y g at # y g x #yg∂x= #yg ¯x=00 #yg = # y g K0A∂u#yg¯
# y g¯
heat #yg flow x = L) —K0A ∂u
# yg out # y g ( #yg=
∂x
# y g x=L ∫ #ygL #yg ¯L # y g
2.3.4 # y g (c) # y g From #ygconservation #ygof #ygthermal #ygenergy, ∂x
# y¯g
d
#yg u #ygdx #yg= #ygk ∂u #yg = #ygk∫∂u# y g t # yg ·#yg
dt # y g # y g 0 # y g
0 ∂u
t #y g = ∂#yg
u 0 # y g yields u(x, #yg0) #ygdx (L)
#yg(L) #yg— #ygk #yg(0). #yg Integrating #yg from
∫ #ygL ∫ #yg ∂x #yg
` #yg=
L
˛¸#ygk x ` ˛¸#yg—
x
u(x, #ygt) 3
# y g dx # y g —
, ∂ ¸
∂x ∂x
u (0) dx .
∂x
` 0
˛ ¸ x 0 0 ` ˛¸ # yx g
heat #yg e nergy initial integral integral
at #ygheat #ygof #ygof #ygflow
#ygt #ygenergy #ygflow #ygout #ygat
#ygin #ygat #ygx #yg=
#ygx #yg= #ygL
#ygL
2 √#yg
2.3.8 # y g (a) # y g The #yggeneral #ygsolution dx2 #yg of #ygk
d u #yg
= #ygαu #yg(α #yg> #ygk 0) # yg is # y g u(x)k #yg= #yga #ygcosh #yg α x #yg+
√#ygα
#ygb #ygsinh #yg x. # y g The #yg boundary
condition #ygu(0) #yg= #yg0 #ygyields #yga #yg= #yg0, #ygwhile #ygu(L) #yg= #yg0
#yg yields #ygb #yg= #yg0. # y g Thus #ygu #yg= #yg0.
4
Section 1.2
1.2.9 (d) Circular cross section means that P = 2πr, A = πr2, and thus P/A = 2/r, where r is the radius.
Also γ = 0.
1.2.9 (e) u(x, t) = u(t) implies that
du 2h
cρ =— u.
dt r
The solution of this first-order linear differential equation with constant coefficients, which satisfies the
initial condition u(0) = u0, is
· 2h ¸
u(t) = u0 exp — t .
cρr
Section 1.3
1.3.2 ∂u/∂x is continuous if K0(x0—) = K0(x0+), that is, if the conductivity is continuous.
Section 1.4
1.4.1 (a) Equilibrium satisfies (1.4.14), d2u/dx2 = 0, whose general solution is (1.4.17), u = c1 + c2x. The
boundary condition u(0) = 0 implies c1 = 0 and u(L) = T implies c2 = T /L so that u = T x/L.
1.4.1 (d) Equilibrium satisfies (1.4.14), d2u/dx2 = 0, whose general solution (1.4.17), u = c1 + c2x. From
the boundary conditions, u(0) = T yields T = c1 and du/dx(L) = α yields α = c2. Thus u = T + αx.
1.4.1 (f) In equilibrium, (1.2.9) becomes d2u/dx2 = —Q/K0 = —x2 , whose general solution (by integrating
twice) is u = —x4/12 + c1 + c2x. The boundary condition u(0) = T yields c1 = T , while du/dx(L) = 0
yields c2 = L3/3. Thus u = —x4/12 + L3x/3 + T .
1.4.1 (h) Equilibrium satisfies d2u/dx2 = 0. One integration yields du/dx = c2, the second integration
yields the general solution u = c1 + c2x.
x = 0 : c2 — (c1 — T ) = 0
x = L : c2 = α and thus c1 = T + α.
Therefore, u = (T + α) + αx = T + α(x + 1).
1.4.7 (a) For equilibrium:
d2u x2 du
= —1 implies u = — + c1x + c2 and = —x + c1.
dx2 2 dx
From the boundary conditions dx du
(0) = 1 and dx
du
(L) = β, c1 = 1 and —L + c1 = β which is consistent
2
only if β + L = 1. If β = 1 — L, there is an equilibrium solution (u =— 2x + x + c2). If β /= 1— L,
there isn’t an equilibrium solution. The difficulty is caused by the heat flow being specified at both
ends and a source specified inside. An equilibrium will exist only if these three are in balance. This
balance can be mathematically verified from conservation of energy:
∫ ∫ L
d L du du
cρu dx = — (0) + (L) + Q0 dx = —1 + β + L.
dt 0 dx dx 0
If β + L = 1, then the total thermal energy is constant and the initial energy = the final energy:
∫L ∫ Lµ 2 ¶
x
f (x) dx = — + x + c2 dx, which determines c2.
0 0 2
If β + L = 1, then the total thermal energy is always changing in time and an equilibrium is never
reached.
1
, Section # y g 1.5
¡ ¢ #yg
1.5.9 # y g (a) # y g In # y g equilibrium, # y g (1.5.14) # y g using # y g (1.5.19) # y g becomes # y g #yg d
#yg # y g rdu#yg = # y g 0.
dr dr
# y g Integrating # y g once # y g yields # y g rdu/dr # y g = # y g c1
and #yg integrating # y g a # y g second # y g time # y g (after # y g dividing # y g by # y g r) # y g yields # y g u # y g = # y g c1 #ygln #ygr #yg+
#ygc2. # y g An # y g alternate # y g general # y g solution #ygis # y g u # y g = # y g c1 #ygln(r/r1) #yg+ #ygc 3. # y g The
# y g boundary # y g condition # y g u(r1) # y g = # y g T1 # y g yields # y g c3 # y g = # y g T1, # y g while # y g u(r2) # y g = # y g T2
ln(r2/r1)
# y g yields #ygc1 # y g = # y g (T2 # y g — #yg T1)/ #ygln(r2/r1). # y g Thus, # y g u # y g = # y g
1
# y g # y g # y g # y g
#yg[(T2 # y g — #yg T1) #ygln #ygr/r1 # y g + #ygT1 #ygln(r2/r1)].
1.5.11 # y g For # y g equilibrium, # y g the # y g radial # y g flow # y g at # y g r # y g = # y g a, # y g 2πaβ, # y g must # y g equal # y g the # y g radial # y g flow
# y g at # y g r # y g = # y g b, # y g 2πb. # y g Thus # y g β # y g = # y g b/a.
¡ ¢ #yg
1.5.13 # y g From # y g exercise # y g 1.5.12, # y g in # y g equilibrium # y g d #yg # y g r2 #ygdu#yg = # y g 0. # y g Integrating # y g once
#yg
dr dr
#yg yields # y g r2du/dr # y g = # y g c1 # y g and # y g integrat-
ing #yga #yg second #yg time #yg (after #yg dividing #yg by #ygr2 #yg ) #yg yields #yg u #yg= #yg—c1/r #yg+ #ygc2. # y g The #yg boundary
and
#yg condition ¡ = #u(4)
# y g u(1) # ysg#yg y g 0 # y=
¢#ygg yields
#yg80 # y g 80 # y g = # y g —c1/4 #yg + #yg c2 # y g and # y g 0 # y g = # y g —c1 # y g + 1 #yg— .
1
#ygc 2. # y g Thus # y g c1 # y g = # y g c2 # y g = # y g 320/3 # y g or # y g u #y g = # y g
320 #yg
3 r
2
,Chapter 2. #yg # y g Method of #yg #yg Separation of #yg #yg Variables
Section # y g 2.3 ³ ´
2.3.1 # y g (a) # y g u(r, #ygt) #yg= #ygφ(r)h(t) # y gryields # y g dr
# y g φ#yg
dh
#yg= #yg
kh
# y g #yg #yg r #yg #yg . # y g Dividing # y g by
d dφ
kh # y g dt rφ #ygdr dr
dt
dh # y g
= #yg—λkh # y g and # y g 1 # y g d #yg ³dr ´ #yg
dt g yields #yg= #yg = #yg—λ # y g or
1 dh 1 d dφ
# y g kφh # y³ ´ #yg
#yg #yg
#yg #yg r #yg #yg
#y g
r# y g dr # y g
dφ
#yg r#yg #yg = #yg—λφ.
#yg
dr
2 2
d φ #yg
2.3.1 (c) #yg #yg u(x, #ygy) # y g = # 2yφg φ(x)h(y) # y g yields2 # y g h + #yg φd h # y g
= # y g 0. # y g #yg Dividing #yg by
# y g φh # y g yields # y g = # y g — #yg = # y g —λ # y g or
1 d # y g 1 #ygd h # y g
#yg
dx2 dy2 φ #ygdx2 h # y g dy2
d2φ
dx2
#yg
= #yg—λφdy 2 and
#yg
2
#yg
d h #yg
= #ygλh.
4
φ #yg
2.3.1 (e) #yg 4 = #ygφ(x)h(t) #ygyields #ygφ(x)#yg
u(x, #ygt) #yg dh
#yg = #ygkh(t)#yg
d
. # y g Dividing #ygby #ygkφh, #ygyields # y g #yg 1
1 d φ #yg
#yg = # y g #yg = #ygλ.
dh
#yg
dt dx4 kh #yg dt φ #ygdx4
2 2
φ #yg
2.3.1 (f) #yg u(x, #ygt) #yg= #ygφ(x)h(t) #ygyields d h #yg
dt2 #ygφ(x)#yg dx2
= #ygc2h(t)#ygd . # y g Dividing
c2h #ygby #yg
φ c φh, #ygyields
2
# y g
1
2 2
# y g
d h #yg
= # y g 1 #ygd φ # y g = #yg—λ. #yg dt2 #ygdx2
2.3.2 (b) # y g λ #yg= #yg(nπ/L)2 # y g
with #yg L #yg= #yg1 # y g so # y g that # y g λ #yg= #ygn2π2, # y g n #yg= #yg1, #yg2, #yg. #yg. #yg.
2.3.2 (d)
√ √
(i) If # y g λ # y g > # y g 0, #ygφ
= # y g c1 #ygcos #yg λx #yg+ #ygc2 #ygsin #yg λx. # y g φ(0)
# y g # y g = # y g 0 # y g implies
√
# y g c1 # y g = # y g 0, # y g while # y g
dφ
#yg(L) # y g = # y g 0 # y g implies
√ √ dx
c2 λ λL # y g = # y g 0. λL #yg= #yg—π/2 #yg+ #ygnπ(n #yg= #yg1, #yg2, #yg. #yg. #yg.).
#ygcos
# y g Thus
(ii) If #ygλ #yg= #yg0,#ygφ #yg= #ygc1 #yg+ #ygc2x. # y g φ(0) #yg= #yg0 #ygimplies #ygc1 #yg= #yg0 #ygand #ygdφ/dx(L) #yg= #yg0
#ygimplies #ygc 2 #yg= #yg0. # y g Therefore #ygλ #yg= #yg0 #ygis #ygnot #ygan #ygeigenvalue.
√ √
(iii) If λ #yg <0, #ygletλ = —s#ygand φ = c1 cosh #ygsx #cy2g + sx. # y gsinh
φ #yg c1 (0) #yg= #ygdφ/dx
0 #ygimplies
√ √
#ygL = #yg0 #ygand ( # y g ) #yg= #yg0 #ygimplies #ygc2 s#ygcosh #yg sL #yg= #yg0. # y g Thus #ygc2 #yg= #yg0
#ygand #yghence #ygthere #ygare #ygno #ygeigenvalues #yg with #ygλ #yg< #yg0.
2.3.2 (f) # y g The #ygsimpliest #ygmethod #ygis #ygto #yglet #ygx′ #yg= #ygx#yg—#yga. # y g Then #ygd2φ/dx′2 #yg+#ygλφ #yg= #yg0
#ygwith #ygφ(0) #yg= #yg0 #ygand #ygφ(b #yg— #yga) #yg= #yg0. #yg Thus #yg (from # y g p. # y g 46) #yg L #yg= #ygb #yg— #yga # y g and
#yg λ #yg= #yg[nπ/(b #yg— #yga)] #yg, # y g n #yg= #yg1, #yg2, #yg. #yg. #yg..
2
Σ ∞ 2
2.3.3 From #yg(2.3.30), #ygu(x,#ygt) #yg= #yg n =1 #ygBn #ygsin #ygnπx#yge—k(nπ/L) t. # y g The #yg initial #yg condition #yg yields
Σ∞ # y g # y g L ∫ #ygL #yg
2 #ygcosL#yg3πx #yg= #yg
n=1 n L
B # y g sin #ygnπx#yg. n# yg From L 0
#yg (2.3.35), #ygB # y g = #yg #yg
L L
2
2 #ygcos #yg3πx #ygsin #yg
nπx
#yg #yg dx.
∫ #ygL #yg Σ∞
e—k( )
#yg #yg
2.3.4 (a) # y g Total # y g heat # y g energy # y g = # y g
#yg nπ # y g =
cρuA # y g dx #yg cρA #yg B #yg
# y
# y g t #yg1—cos #ygnπ #yg
, # y g using # y g (2.3.30) # y g where # y g B g 2
n L nπ n
0 n=1 # y g # y g
L
satisfies # y g (2.3.35).
2.3.4 # y g (b)
heat # y g flux # y g to # y g right # y g = #yg —K0∂u/∂x
total # y g heat # y g flow # y g to # y g right #¯ y g = # y g —K0A∂u/∂x
heat # y g flow # y g out # y g at # y g x #yg∂x= #yg ¯x=00 #yg = # y g K0A∂u#yg¯
# y g¯
heat #yg flow x = L) —K0A ∂u
# yg out # y g ( #yg=
∂x
# y g x=L ∫ #ygL #yg ¯L # y g
2.3.4 # y g (c) # y g From #ygconservation #ygof #ygthermal #ygenergy, ∂x
# y¯g
d
#yg u #ygdx #yg= #ygk ∂u #yg = #ygk∫∂u# y g t # yg ·#yg
dt # y g # y g 0 # y g
0 ∂u
t #y g = ∂#yg
u 0 # y g yields u(x, #yg0) #ygdx (L)
#yg(L) #yg— #ygk #yg(0). #yg Integrating #yg from
∫ #ygL ∫ #yg ∂x #yg
` #yg=
L
˛¸#ygk x ` ˛¸#yg—
x
u(x, #ygt) 3
# y g dx # y g —
, ∂ ¸
∂x ∂x
u (0) dx .
∂x
` 0
˛ ¸ x 0 0 ` ˛¸ # yx g
heat #yg e nergy initial integral integral
at #ygheat #ygof #ygof #ygflow
#ygt #ygenergy #ygflow #ygout #ygat
#ygin #ygat #ygx #yg=
#ygx #yg= #ygL
#ygL
2 √#yg
2.3.8 # y g (a) # y g The #yggeneral #ygsolution dx2 #yg of #ygk
d u #yg
= #ygαu #yg(α #yg> #ygk 0) # yg is # y g u(x)k #yg= #yga #ygcosh #yg α x #yg+
√#ygα
#ygb #ygsinh #yg x. # y g The #yg boundary
condition #ygu(0) #yg= #yg0 #ygyields #yga #yg= #yg0, #ygwhile #ygu(L) #yg= #yg0
#yg yields #ygb #yg= #yg0. # y g Thus #ygu #yg= #yg0.
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